Pemetaan harmonik: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 5 November 2022 16.56

Pemetaan (halus) φ:M→N antara manifold Riemannian M dan N disebut harmonik jika ia adalah titik kritis dari fungsional energi E(φ).

Fungsional E ini akan didefinisikan secara presisidi bawah - satu cara memahaminya adalah membayangkan bahwa M dibuat dari karet dan N dibuat dari pualam (bentuk mereka diberikan oleh masing-masing mereka metrik), dan bahwasannya pemetaan φ:M→N menentukan bagaimana kita "menerapkan" karet ke pualam: E(φ) kemudian mewakili jumlah total energi potensial elastik yang dihasilkan dari tegangan dalam karet. Dalam istilah ini, φ adalah pemetaan harmonik jika karet, ketika "dilepaskan" masih terkendala untuk tinggal di setiap tempat kontak dengan pualam, telah menemukan dirinya sendiri dalam posisi keseimbangan dan oleh karenanya tidak "mengancing" ke bentuk lain.

Pemetaan harmonik diperkenalkan pada tahun 1964 oleh J. Eells dan J.H. Sampson.^[1]^[2]^[3]

Definisi matematika

Diberikan M, N dan φ seperti di atas, nyatakan dengan g dan h metrik pada M dan N. Maka energi φ pada titik x dalam M didefinisikan sebagai e(φ)(x)= $\textstyle {\frac {1}{2}}$ trace_gφ^*h.

Dalam koordinat lokal, sisi sebelah kanan dari persamaan ini terbaca $\textstyle {\frac {1}{2}}g^{ij}h_{\alpha \beta }{\frac {\partial \varphi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \varphi ^{\beta }}{\partial x^{j}}}$ .

Jika M adalah kompak, definisikan energi total pemetaan φ sebagai E(φ)= $\textstyle \int$ _Me(φ)dv_g (dimana dv_g menyatakan ukuran pada M yang diinduksi oleh metriknya).

Maka φ disebut pemetaan harmonik jika ia adalah titik kritis fungsional energi E. Definisi ini diperluas terhadap kasus dimana M tidak kompak dengan menanyakan pembatasan φ terhadap setiap domain kompak menjadi harmonik [1].

Referensi

^ J. Eells and J.H. Sampson, Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Amer. J. Math. 86 (1964), 109–160
^ J. Eells and L. Lemaire, A report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc. 10 (1978), 1–68
^ J. Eells and L. Lemaire, Another report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc. 20 (1988), 385–524

[1] J. Eells and J.H. Sampson, Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Amer. J. Math. 86 (1964), 109–160

[2] J. Eells and L. Lemaire, A report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc. 10 (1978), 1–68

[3] J. Eells and L. Lemaire, Another report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc. 20 (1988), 385–524

[1]

[2]

[3]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
+{{rapikan}}
-Pemetaan (halus) φ:''M''→''N'' antara [[manifold Riemannian]] ''M'' dan ''N'' disebut '''harmonik''' jika ia adalah [[Kalkulus variasi|titik kritis]] dari fungsional energi ''E''(φ).
+Pemetaan (halus) φ:''M''→''N'' antara [[manifold Riemannian]] ''M'' dan ''N'' disebut '''harmonik''' jika ia adalah [[Kalkulus variasi|titik kritis]] dari [[fungsional energi]] ''E''(φ).
-Fungsional ''E'' ini akan didefinisikan secara presisidi bawah - satu cara memahaminya adalah membayangkan bahwa ''M'' dibuat dari [[karet]] dan ''N'' dibuat dari pualam (bentuk mereka diberikan oleh masing-masing mereka [[Tensor metrik|metrik]]), dan bahwasannya pemetaan φ:''M''→''N'' menentukan bagaimana kita "menerapkan" karet ke pualam: ''E''(φ) kemudian mewakili jumlah total [[energi potensial elastik]] yang dihasilkan dari tegangan dalam karet. Dalam istilah ini, φ adalah pemetaan harmonik jika karet, ketika "dilepaskan" masih terkendala untuk tinggal di setiap tempat kontak dengan pualam, telah menemukan dirinya sendiri dalam posisi keseimbangan dan oleh karenanya tidak "mengancing" ke bentuk lain.
+Fungsional ''E'' ini akan didefinisikan secara [[presisidi]] bawah - satu cara memahaminya adalah membayangkan bahwa ''M'' dibuat dari [[karet]] dan ''N'' dibuat dari pualam (bentuk mereka diberikan oleh masing-masing mereka [[Tensor metrik|metrik]]), dan bahwasannya pemetaan φ:''M''→''N'' menentukan bagaimana kita "menerapkan" karet ke pualam: ''E''(φ) kemudian mewakili jumlah total [[energi potensial elastik]] yang dihasilkan dari tegangan dalam karet. Dalam istilah ini, φ adalah pemetaan harmonik jika karet, ketika "dilepaskan" masih terkendala untuk tinggal di setiap tempat kontak dengan pualam, telah menemukan dirinya sendiri dalam posisi keseimbangan dan oleh karenanya tidak "mengancing" ke bentuk lain.
-Pemetaan harmonik diperkenalkan pada tahun [[1964]] oleh J. Eells dan J.H. Sampson.<ref>J. Eells and J.H. Sampson, Harmonic mappings of Riemannian manifolds, ''Amer. J. Math.'' '''86''' (1964), 109&ndash;160</ref><ref>J. Eells and L. Lemaire, A report on harmonic maps, ''Bull. London Math. Soc.'' '''10''' (1978), 1&ndash;68</ref><ref>J. Eells and L. Lemaire, Another report on harmonic maps, ''Bull. London Math. Soc.'' '''20''' (1988), 385&ndash;524</ref>
+Pemetaan harmonik diperkenalkan pada tahun [[1964]] oleh [[J. Eells]] dan [[J.H. Sampson]].<ref>J. Eells and J.H. Sampson, Harmonic mappings of Riemannian manifolds, ''Amer. J. Math.'' '''86''' (1964), 109–160</ref><ref>J. Eells and L. Lemaire, A report on harmonic maps, ''Bull. London Math. Soc.'' '''10''' (1978), 1–68</ref><ref>J. Eells and L. Lemaire, Another report on harmonic maps, ''Bull. London Math. Soc.'' '''20''' (1988), 385–524</ref>
-== Definisi matematika ==
+== '''Definisi matematika''' ==
-Diberikan ''M'', ''N'' dan φ seperti di atas, nyatakan dengan ''g'' dan ''h'' [[Tensor metrik|metrik]] pada ''M'' dan ''N''. Maka '''energi'''  φ pada titik ''x'' dalam ''M'' didefinisikan sebagai ''e''(φ)(''x'')=<math>\textstyle\frac12</math>trace<sub>''g''</sub>φ<sup>*</sup>h.
+Diberikan ''M'', ''N'' dan φ seperti di atas, nyatakan dengan ''g'' dan ''h'' [[Tensor metrik|metrik]] pada ''M'' dan ''N''. Maka '''energi''' [[Fi|φ]] pada titik ''x'' dalam ''M'' didefinisikan sebagai ''e''(φ)(''x'')=<math>\textstyle\frac12</math>trace<sub>''g''</sub>φ<sup>*</sup>h.
 Dalam [[koordinat lokal]], sisi sebelah kanan dari persamaan ini terbaca <math>\textstyle\frac12g^{ij}h_{\alpha\beta}\frac{\partial\varphi^\alpha}{\partial x^i}\frac{\partial\varphi^\beta}{\partial x^j}</math>.
-Jika ''M'' adalah [[kompak]], definisikan '''energi total''' pemetaan φ sebagai ''E''(φ)=<math>\textstyle\int</math><sub>''M''</sub>''e''(φ)dv<sub>''g''</sub> (dimana dv<sub>''g''</sub> menyatakan [[Ukuran (matematika)|mengukur]] pada ''M'' diinduksi oleh metriknya).
+Jika ''M'' adalah [[kompak]], definisikan '''energi total''' pemetaan φ sebagai ''E''(φ)=<math>\textstyle\int</math><sub>''M''</sub>''e''(φ)dv<sub>''g''</sub> (dimana dv<sub>''g''</sub> menyatakan [[Ukuran (matematika)|ukuran]] pada ''M'' yang diinduksi oleh metriknya).
 Maka φ disebut '''pemetaan harmonik''' jika ia adalah titik kritis fungsional energi ''E''. Definisi ini diperluas terhadap kasus dimana ''M'' tidak kompak dengan menanyakan pembatasan φ terhadap setiap domain kompak menjadi harmonik [http://en.wiki-indonesia.club/wiki/Harmonic_map].
+== '''Referensi''' ==
+{{reflist}}
+{{Authority control}}
+[[Kategori:Geometri]]