Konjektur Mersenne

Dalam matematika, konjektur Mersenne adalah sebuah konjektur yang melibatkan karakterisasi dari jenis bilangan prima yang disebut bilangan prima Mersenne, bilangan priam yang ditulis dalam ekspresi perpangkatan dari dua dikurangi satu.

Konjektur asli

Konjektur aslinya, yang disebut konjektur Mersenne, menyatakan bahwa bilangan $2^{n}-1$ merupakan bilangan prima untuk $n$ bernilai 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257, serta merupakan bilangan komposit untuk semua bilangan bulat positif lain $n\leq 257$ . Konjektur ini dinamai dari Marin Mersenne, dan terdapat di dalam Cogitata Physico-Mathematica^[1]. Bilangan-bilangan yang sangat banyak jumlahnya mengakibatkan Mersenne tidak dapat menguji semuanya di abad ke-17. Akan tetapi setelah tiga abad kemudian dan tersedianya pengujian yang baru, yaitu uji Lucas–Lehmer, konjektur Mersenne memiliki lima kesalahan. . Letak kesalahan tersebut di antaranya adalah dua bilangan komposit ( $n=67,257$ ) dan tiga bilangan prima ( $n=61,89,107$ ) saat disubstitusi ke bilangan prima Mersenne. Bilangan yang benar adalah $n$ bernilai 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 dan 127.

Konjektur baru

Konjektur Mersenne baru atau konjektur Bateman–Selfridge–Wagstaff menyatakan bahwa untuk sebarang bilangan asli ganjil $p$ , jika dua dari syarat berikut berlaku, maka syara ketiga juga berlaku:^[2]

$p=2^{k}\pm 1$ atau $p=4^{k}\pm 3$ untuk suatu bilangan asli $k$ . ( A122834)
$2^{p}-1$ adalah sebuah bilangan prima Mersenne. ( A000043)
$(2^{p}+1)/3$ adalah sebuah bilangan priam Wagstaff. ( A000978)

Jika $p$ adalah bilangan komposit ganjil, maka $2^{p}-1$ dan $(2^{p}+1)/3$ adalah komposit. Oleh karena itu, pengujian bilangan prima hanya diperlukan untuk membenarkan kebenaran dari konjektur tersebut.

Referensi

{{reflist|refs= ^[2] ^[1]

^ ^a ^b Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers. Carnegie Institute of Washington. hlm. 31. OL 6616242M. Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5. }}
^ ^a ^b Bateman, P. T.; Selfridge, J. L.; Wagstaff Jr., Samuel S. (1989). "The new Mersenne conjecture". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 96 (2): 125–128. doi:10.2307/2323195. JSTOR 2323195. MR 0992073.

[dickson-1] Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers. Carnegie Institute of Washington. hlm. 31. OL 6616242M. Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5. }}

[bateman-2] Bateman, P. T.; Selfridge, J. L.; Wagstaff Jr., Samuel S. (1989). "The new Mersenne conjecture". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 96 (2): 125–128. doi:10.2307/2323195. JSTOR 2323195. MR 0992073.

[1]

[2]