Varians

Dalam teori probabilitas dan statistika, varians atau ragam dari perubah acak (atau distribusi probabilitas) adalah ukuran yang menunjukkan dispersi statistik (seberapa jauh data tersebar di sekitar rata-rata). Varians atau ragam merupakan ukuran penyebaran dari data. Varians merupakan salah satu parameter dari suatu populasi, untuk data contoh, digunakan istilah simpangan baku. Simpangan baku ini merupakan penduga tak bias bagi varians atau ragam.

Istilah varians pertama kali diperkenalkan oleh Fisher dalam makalahnya pada tahun 1918 yang berjudul The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.

Definisi

Jika sebuah variabel random X mempunyai nilai rata-rata μ = E[X], maka varians dari X adalah:

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].\,$

Variabel Random Continuous

Jika variabel random X berasal dari data continues dengan fungsi probabilitas densiti f(x),

$\operatorname {Var} (X)=\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx\,,$

dimana$\mu$ adalah angka yang diharapkan, contoh.

$\mu =\int x\,f(x)\,dx\,,$

Variabel Random Discrete

Jika variabel random X berasal dari data Discrete dengan fungsi probabilitas massa (probability mass function) x₁ ↦ p₁, ..., x_n ↦ p_n, maka

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2}$

where $\mu$ is the expected value, i.e.

$\mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot x_{i}$ .

Contoh

Distribusi Eksponensial

Sebuah distribusi eksponensial dimana parameter λ merupakan distribusi continues dengan interval [0,∞). Maka fungsi probabilitas densiti dinyatakan dengan:

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\,$

dan nilai yang diharapkan untuk μ = λ⁻¹. Maka, varians menjadi:

$\int _{0}^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,dx=\int _{0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}(x-\lambda ^{-1})^{2}\,dx=\lambda ^{-2}.\,$

Maka distribusi eksponensial untuk variabel random σ² = μ².

Lemparan Dadu

Sebuah dadu enam muka dapat dijadikan model untuk menyatakan variabel random discrete dimana angka yang keluar dari 1 sampai 6. Asumsi bahwa keenam muka dadu memiliki kemungkinan yang sama untuk keluar, $\textstyle {\frac {1}{6}}$. Angka yang diharapkan adalah (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3.5. Maka varians dapat dihitung:

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{6}{\tfrac {1}{6}}(i-3.5)^{2}={\tfrac {1}{6}}\sum _{i=1}^{6}(i-3.5)^{2}&={\tfrac {1}{6}}\left((-2.5)^{2}{+}(-1.5)^{2}{+}(-0.5)^{2}{+}0.5^{2}{+}1.5^{2}{+}2.5^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{6}}\cdot 17.50={\tfrac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}$

Rumus umum untuk varians dari angka X dari dadu di sisi n adalah:

${\begin{aligned}\sigma ^{2}=E(X^{2})-(E(X))^{2}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{6}}(n+1)(2n+1)-{\tfrac {1}{4}}(n+1)^{2}\\&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}$

Pranala luar

• Makalah orisinil Fisher (pdf format)