Lompat ke isi

Daftar identitas logaritma

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Logaritma
Domain dan Citra
Domain dari fungsi
Daerah hasil fungsi
Nilai-nilai spesifik
Nilai di
Nilai maksimumTidak ada
Nilai minimumTidak ada
Sifat khusus
Akar
Invers
Turunan
Antiturunan

Identitas logaritma atau dikenal sebagai hukum logaritma, ialah kumpulan rumus-rumus yang melibatkan logaritma dan bertujuan untuk mempermudah kalkulasi pada bentuk-bentuk yang cukup rumit.

Fungsi logaritma dapat didefinisikan sebagai

.

dimana adalah adalah basis atau bilangan pokok[1] dari logaritma, dengan syarat atau , adalah bilangan yang dilogaritmakan yang disebut dengan numerus[2], dan bilangan positif adalah hasil dari logaritma[1][2] yang disebut dengan antilogaritma.[butuh rujukan]

Sebagai catatan, notasi logaritma yang dipakai dalam halaman ini tetap memiliki makna yang sama dengan , kendatipun notasinya berbeda.

Berikut adalah daftar identitas logaritma beserta dengan pembuktian-pembuktiannya, antara lain:

Sifat dasar

[sunting | sunting sumber]

Sifat trivial

[sunting | sunting sumber]

Salah satu yang paling mendasar dalam identitas logaritma, ialah , karena . Terdapat sifat dasar lain, yaitu

  • , karena .
  • .

Sebagai pengecualian, logaritma dengan tidak memiliki nilai. Hasil limit dari ketika . Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep ini, lihat buktinya di sini.

Perkalian dan pembagian

[sunting | sunting sumber]
  • [3]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Misalkan dan . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh dan . Maka,

.

Ambil logaritma basis pada kedua ruas sehingga

.[butuh rujukan]

Sifat ini dapat diperumum ke kasus dengan numerus merupakan hasil perkalian banyak suku,

.
  • [3]
Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Misalkan dan . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh dan . Maka,

Ambil logaritma basis pada kedua ruas sehingga

.[butuh rujukan]

Penambahan dan pengurangan

[sunting | sunting sumber]

Lebih umumnya lagi,

.

Perubahan basis

[sunting | sunting sumber]

Perubahan basis dapat dirumuskan sebagai

[3]

dengan syarat dan dan , dengan mengikuti definisi logaritma.[4]

Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Misal . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh . Maka, kita tuliskan sebagai

Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka

Substitusi kembali sehingga didapati

.[3]

Perkalian dan pembagian dalam basis logaritma

[sunting | sunting sumber]

Pertukaran basis

[sunting | sunting sumber]

Pertukaran basis pada logaritma dapat dirumuskan sebagai

.
Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Dengan menggunakan sifat perubahan basis, maka kita dapat memisalkan akan memperoleh

. [butuh rujukan]

Logaritma dalam eksponen

[sunting | sunting sumber]
  • atau
Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Menggunakan sifat perubahan basis, akan memperoleh

.

Membatalkan eksponen

[sunting | sunting sumber]

Sama halnya dengan penambahan dan pengurangan, maupun perkalian dan pembagian, logaritma dapat membatalkan eksponen karena kedua operasi tersebut saling invers. Secara matematis ini mengartikan,

karena ; dan
karena .[5]

Perhatikan bahwa sifat logaritma di atas dapat kita pakai untuk membuktikan bahwa .

Logaritma dengan basis lain

[sunting | sunting sumber]

Logaritma natural

[sunting | sunting sumber]

Logaritma dalam kalkulus

[sunting | sunting sumber]
Untuk , ketika , maka grafik menunjukkan bahwa nilai yang diperoleh menuju dengan drastis dan ketika , maka menuju secara perlahan.

Untuk membuktikan limit tersebut, perhatikan grafik fungsi logaritma basis sembarang (untuk ). Sebagai catatan, untuk ,

Pembuktian yang serupa terhadap limit dari fungsi logaritma alami.

Sebagai tambahan, berikut adalah identitas logaritma dalam limit.

  • jika
  • jika

Turunan logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai

, dengan , , dan .
Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Perhatikan bahwa
jika dan hanya jika ,

maka kita memperoleh

.

Dengan substitusi kembali, diperoleh

.

Jika kita turunkan, maka kita mendapatkan

[6]

Turunan dalam basis lain, antara lain

Integral logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai

[7]

Integral dalam basis lain, antara lain

Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Buktinya dapat kita pakai identitas integral terhadap logaritma, dengan memisalkan . Ada bukti lain, ialah integrasi parsial. Dengan memisalkan , , dan , maka

.

Sebagai catatan, halaman ini hanya menjelaskan dasar-dasarnya saja. Lihat Daftar integral dari fungsi logaritmik sebagai identitas adisionalnya.

Pendekatan logaritma

[sunting | sunting sumber]
  • [8]
  • [8]

Bentuk pecahan berlanjut

[sunting | sunting sumber]

Logaritma alami

[sunting | sunting sumber]

Lihat pula

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ a b Archangelia Maria Lelu, Desain Pembelajaran Pada Materi Fungsi Logaritma Menggunakan Pendekatan Pembelajaran Berbasis Masalah dan Hasil Pembelajaran Ditinjau dari Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Kelas X MIPA Diarsipkan 2021-10-22 di Wayback Machine., hlm. 15.
  2. ^ a b Entis Sutisna, S.Pd, Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X Diarsipkan 2021-10-21 di Wayback Machine., hlm. 29.
  3. ^ a b c d Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016). Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-8. 
  4. ^ Referensinya (pada bagian definisi) mencakup di sini.
  5. ^ "Antilogarithm". Wolfram MathWorld. 
  6. ^ Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 336. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
  7. ^ "Logarithm Rules". RapidTables. 
  8. ^ a b "approximation of the log function". planetmath.org. Diakses tanggal 2013-03-22 15:18:38.