Persamaan diferensial homogen

Persamaan diferensial homogen dapat memiliki dua artian.

Persamaan diferensial orde pertama yang homogen

Persamaan diferensial biasa orde pertama dalam bentuk:

$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$

dapat dianggap homogen jika fungsi M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi homogen dengan tingkat yang sama, n. Dalam kata lain, jika setiap variabel dikalikan dengan parameter  $\lambda$, dapat diperoleh

$M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\,$     and     $N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.$

sehingga:

${\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.$

Solusi

Dalam hasil bagi   ${\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}$, jika diasumsikan   $t=1/x$   untuk menyederhanakan hasil bagi ini menjadi fungsi $f$ dengan satu variabel $y/x$:

${\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.$

Kemudian dilakukan perubahan variabel $y=ux$; lalu diturunkan dengan aturan produk:

${\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u,$

sehingga mengubah persamaan diferensial ini menjadi bentuk yang dapat dipisahkan

$x{\frac {du}{dx}}=f(u)-u\,;$

Persamaan ini kini dapat diintegralkan secara langsung.

Kasus khusus

Persamaan diferensial tingkat persama dalam bentuk berikut: (a, b, c, e, f, g semuanya konstanta)

$(ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0\,$

dengan af ≠ be dapat diubah menjadi persamaan homogen lewat transformasi linear kedua variabel ($\alpha$ dan $\beta$ adalah konstanta):

$t=x+\alpha ;\,\,\,\,z=y+\beta \,.$

Persamaan diferensial linear homogen

Persamaan diferensial linear dapat dikatakan homogen jika memenuhi kondisi berikut:

$Ly=0\,$

L adalah operator diferensial dan y adalah fungsi yang tidak diketahui.

Contoh

$ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0$ adalah persamaan diferensial linear homogen orde kedua.

$a(x)y'(x)+b(x)y(x)=0$ adalah persamaan diferensial linear homogen orde pertama

Referensi

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Elementary differential equations and boundary value problems (edisi ke-10th), Wiley, ISBN 978-0470458310 . (This is a good introductory reference on differential equations.)
• Ince, E. L. (1956), Ordinary differential equations, New York: Dover Publications, ISBN 0486603490 . (This is a classic reference on ODEs, first published in 1926.)