Gelanggang matriks

Dalam aljabar abstrak, gelanggang matriks adalah sekumpulan matriks dengan entri dalam gelanggang R yang membentuk gelanggang di bawah penjumlahan matriks dan perkalian matriks.^[1] Himpunan semua matriks n × n dengan entri dalam R adalah gelanggang matriks yang dilambangkan M _n ( R )^[2]^[3]^[4]^[5] (notasi alternatif: Mat _n (R)^[3] dan R^n×n^[6]). Beberapa himpunan matriks tak terhingga membentuk gelanggang matriks tak terhingga. Subgelanggang dari gelanggang matriks juga merupakan gelanggang matriks.

Jika R merupakan gelanggang komutatif, maka gelanggang matriks M_n (R) merupakan aljabar asosiatif atas R, dan dapat disebut aljabar matriks. Dalam pengaturan ini, jika M adalah matriks dan r ada di R, maka matriks rM adalah matriks M dengan setiap entri dikalikan dengan r .

Contoh

Himpunan semua matriks persegi $n\times n$ atas $R$ , dinotasikan dengan $M_{n}(R)$ . Ini kadang-kadang disebut "gelanggang penuh matriks $n\times n$ ".
Himpunan semua matriks segitiga atas atas $R$ .
Himpunan semua matriks segitiga bawah atas $R$ .
Himpunan semua matriks diagonal atas $R$ . Subaljabar $M_{n}(R)$ ini isomorfis dengan hasil kali langsung dari n buah salinan $R$ .
Untuk sembarang himpunan indeks I, gelanggang endomorfisma dari modul $R$ kanan ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$ adalah bersifat isomorfik ke gelanggang $\mathbb {CFM} _{I}(R)$ pada matriks kolom berhingga dengan isi berindeks I x I dan tiap kolom hanya berisi entri bukan nol. Gelanggang endomorfisma dari M dianggap sebagai modul $R$ kiri adalah bersifat isomorfik ke gelanggang $\mathbb {RFM} _{I}(R)$ pada matriks baris berhingga.
Jika $R$ adalah aljabar Banach, maka kondisi ketakterhinggaan baris atau kolom pada poin sebelumnya dapat dilonggarkan. Dengan adanya norma, deret konvergen absolut dapat digunakan sebagai pengganti jumlah terbatas. Sebagai contoh, matriks-matriks yang jumlah kolomnya merupakan deret konvergen mutlak membentuk sebuah gelanggang. Secara analog tentu saja, matriks-matriks yang jumlah barisnya merupakan deret konvergen juga membentuk sebuah gelanggang. Ide ini dapat digunakan untuk merepresentasikan operator pada ruang Hilbert, sebagai contoh.
Irisan dari baris-batas dan kolom-batas gelanggang matriks membentuk sebuah gelanggang $\mathbb {RCFM} _{I}(R)$ .
Jika $R$ komutatif, maka $M_{n}(R)$ memiliki struktur *-aljabar atas $R$ , di mana involusi * pada $M_{n}(R)$ adalah transposisi matriks.
Jika A adalah suatu C*-aljabar, maka $M_{n}(A)$ adalah bentuk C*-aljabar. Jika A adalah non-unit, maka $M_{n}(A)$ juga bersifat non-unit. Menggunakan teorema Gelfand-Naimark, terdapat ruang Hilbert $H$ dan suatu isometrik *-isomorfisme dari A menuju subaljabar tertutup-norma dari aljabar B(H) dari operator-operator kontinu; hal ini mengidentifikasikan $M_{n}(A)$ dengan subaljabar $B(H^{\oplus n})$ . Untuk menyederhanakan, bila diasumsikan bahwa $H$ dapat dipisah dan $A\subseteq B(H)$ merupakan C*-aljabar yang bersifat unital, $A$ dapat dipecah menjadi gelanggang matriks di atas bagian C*-aljabar lain yang lebih kecil. Hal tersebut dapat dilakukan dengan menetapkan proyeksikan $p$ secara orthogonal menjadi $1-p$ ; $A$ dapat diidentifikasikan dengan

${\textstyle {\begin{pmatrix}pAp&pA(1-p)\\(1-p)Ap&(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}}$ dengan matriks perkalian bekerja sesuai dengan baik karena sifat proyeksi yang ortogonal. Untuk mengidentifikasikan $A$ dengan gelanggang matriks di atas C*-aljabar, dibutuhkan $p$ dan $1-p$ yang berada dalam "derajat" yang sama; atau tepatnya, dibutuhkan dibutuhkan $p$ dan $1-p$ yang memiliki sifat kesetaraan Murray-von Neumann, i.e. terdapat isometri parsial $u$ dengan $p=uu^{*}$ dan $1-p=u^{*}u$ . Dari bentuk ini dapat digeneralisasikan ke dalam matriks yang lebih besar.

Aljabar matriks kompleks $M_{n}C$ adalah, sampai dengan isomorfisme, satu-satunya aljabar asosiatif sederhana berdimensi hingga atas lapangan C bilangan kompleks. Sebelum penemuan aljabar matriks, Hamilton pada tahun 1853 memperkenalkan sebuah gelangang, yang elemen-elemennya ia sebut sebagai bikuaternion^[7] dan peneliti modern kemudian menyebutnya sebagai tensor di $C\otimes _{R}H$ , yang kemudian terbukti isomorfis terhadap $M_{2}(C)$ . Satu basis dari $M_{2}(C)$ terdiri dari empat matriks satuan (matriks-matriks dengan satu entri 1 dan semua entri lainnya 0); basis yang lain diberikan oleh matriks identitas dan tiga matriks Pauli.
Suatu gelanggang matriks di atas suatu lapangan adalah aljabar Frobenius, dengan bentuk Frobenius berada dalam hasil perkalian: $\sigma (A,B)=tr(AB)$

Referensi

^ Lam, T. Y. (1999). Lectures on modules and rings. Graduate texts in mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98428-5.
^ Lam, T. Y. (2001). A First Course in Noncommutative Rings. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 131. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95325-0.
^ ^a ^b Undergraduate Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (dalam bahasa Inggris). Springer New York. 2005. doi:10.1007/0-387-27475-8. ISBN 978-0-387-22025-3.
^ Serre, Jean-Pierre (1992). Lie Algebras and Lie Groups. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1500. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-540-70634-2. ISBN 978-3-540-55008-2.
^ Serre, Jean-Pierre (1979). "Local Fields". Graduate Texts in Mathematics (dalam bahasa Inggris). doi:10.1007/978-1-4757-5673-9. ISSN 0072-5285.
^ Artin, Michael (2018). Algebra (dalam bahasa Inggris). Pearson. ISBN 978-0-13-468960-9.
^ Hamilton, Sir William Rowan (1853). Lectures on Quaternions (dalam bahasa Inggris). Hodges and Smith.

[1] Lam, T. Y. (1999). Lectures on modules and rings. Graduate texts in mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98428-5.

[2] Lam, T. Y. (2001). A First Course in Noncommutative Rings. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 131. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95325-0.

[:0-3] Undergraduate Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (dalam bahasa Inggris). Springer New York. 2005. doi:10.1007/0-387-27475-8. ISBN 978-0-387-22025-3.

[4] Serre, Jean-Pierre (1992). Lie Algebras and Lie Groups. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1500. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-540-70634-2. ISBN 978-3-540-55008-2.

[5] Serre, Jean-Pierre (1979). "Local Fields". Graduate Texts in Mathematics (dalam bahasa Inggris). doi:10.1007/978-1-4757-5673-9. ISSN 0072-5285.

[6] Artin, Michael (2018). Algebra (dalam bahasa Inggris). Pearson. ISBN 978-0-13-468960-9.

[7] Hamilton, Sir William Rowan (1853). Lectures on Quaternions (dalam bahasa Inggris). Hodges and Smith.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]