Eksponen Lyapunov

Dalam matematika, eksponen Lyapunov atau eksponen karakteristik Lyapunov dari suatu sistem dinamis adalah besaran yang mencirikan laju pemisahan antara lintasan-lintasan yang posisinya sangat berdekatan. Secara kuantitatif, dua lintasan dalam ruang fase dengan vektor pemisah awal ${\boldsymbol {\delta }}_{0}$ akan menyebar (divergen) dengan syarat bahwa penyebaran ini dapat dianalisis menggunakan aproksimasi linear dengan laju yang dinyatakan dalam persamaan:

$$|{\boldsymbol {\delta }}(t)|\approx e^{\lambda t}|{\boldsymbol {\delta }}_{0}|$$

dimana $\lambda$ adalah eksponen Lyapunov.

Laju pemisahan ini dapat berbeda-beda, bergantung pada orientasi vektor pemisah awal. Oleh karena itu, terdapat suatu spektrum eksponen Lyapunov yang jumlahnya sama dengan dimensi dari ruang fase. Eksponen dengan nilai terbesar umumnya disebut sebagai eksponen Lyapunov maksimum (MLE), karena nilai inilah yang menentukan tingkat prediktabilitas dari suatu sistem dinamis. Nilai MLE yang positif biasanya menjadi indikasi bahwa sistem tersebut bersifat kacau (chaotic), asalkan beberapa syarat lain terpenuhi (misalnya, ruang fase yang bersifat padat atau compact). Perlu dicatat bahwa sebuah vektor pemisah awal yang acak umumnya akan memiliki komponen pada arah yang terkait dengan MLE. Karena adanya laju pertumbuhan eksponensial, pengaruh dari eksponen-eksponen lainnya akan melemah seiring berjalannya waktu.

Eksponen ini dinamai menurut nama matematikawan Aleksandr Lyapunov.

Bacaan lanjutan

• Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Attractor Dimension Estimates for Dynamical Systems: Theory and Computation. Cham: Springer.
• M.-F. Danca & N.V. Kuznetsov (2018). "Matlab Code for Lyapunov Exponents of Fractional-Order Systems". International Journal of Bifurcation and Chaos. 25 (5): 1850067–1851392. arXiv:1804.01143. Bibcode:2018IJBC...2850067D. doi:10.1142/S0218127418500670.
• Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G. and Vattay G.Chaos: Classical and Quantum Niels Bohr Institute, Copenhagen 2005 – textbook about chaos available under Lisensi Dokumentasi Bebas
• Freddy Christiansen & Hans Henrik Rugh (1997). "Computing Lyapunov spectra with continuous Gram–Schmidt orthonormalization". Nonlinearity. 10 (5): 1063–1072. arXiv:chao-dyn/9611014. Bibcode:1997Nonli..10.1063C. doi:10.1088/0951-7715/10/5/004. S2CID 122976405. Diarsipkan dari asli tanggal 2006-04-25.
• Salman Habib & Robert D. Ryne (1995). "Symplectic Calculation of Lyapunov Exponents". Physical Review Letters. 74 (1): 70–73. arXiv:chao-dyn/9406010. Bibcode:1995PhRvL..74...70H. doi:10.1103/PhysRevLett.74.70. PMID 10057701. S2CID 19203665.
• Govindan Rangarajan; Salman Habib & Robert D. Ryne (1998). "Lyapunov Exponents without Rescaling and Reorthogonalization". Physical Review Letters. 80 (17): 3747–3750. arXiv:chao-dyn/9803017. Bibcode:1998PhRvL..80.3747R. doi:10.1103/PhysRevLett.80.3747. S2CID 14483592.
• X. Zeng; R. Eykholt & R. A. Pielke (1991). "Estimating the Lyapunov-exponent spectrum from short time series of low precision". Physical Review Letters. 66 (25): 3229–3232. Bibcode:1991PhRvL..66.3229Z. doi:10.1103/PhysRevLett.66.3229. PMID 10043734.
• E Aurell; G Boffetta; A Crisanti; G Paladin; A Vulpiani (1997). "Predictability in the large: an extension of the concept of Lyapunov exponent". J. Phys. A: Math. Gen. 30 (1): 1–26. arXiv:chao-dyn/9606014. Bibcode:1997JPhA...30....1A. doi:10.1088/0305-4470/30/1/003. S2CID 54697488.
• F Ginelli; P Poggi; A Turchi; H Chaté; R Livi; A Politi (2007). "Characterizing Dynamics with Covariant Lyapunov Vectors" (PDF). Physical Review Letters. 99 (13): 130601. arXiv:0706.0510. Bibcode:2007PhRvL..99m0601G. doi:10.1103/PhysRevLett.99.130601. hdl:2158/253565. PMID 17930570. S2CID 21992110. Diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 2008-10-31.

Perangkat lunak

• [1] R. Hegger, H. Kantz, and T. Schreiber, Nonlinear Time Series Analysis, TISEAN 3.0.1 (Maret 2007).
• [2] Produk ChaosKit dari Scientio menghitung eksponen Lyapunov dan ukuran kekacauan lainnya. Akses tersedia secara online melalui layanan web dan demo Silverlight.
• [3] Diarsipkan 2022-06-28 di Wayback Machine. Laboratorium perangkat lunak rekreasi matematika Dr. Ronald Joe Record mencakup klien grafis X11, lyap, untuk menjelajahi secara grafis eksponen Lyapunov dari peta logistik yang dipaksa dan peta lain pada interval unit. Isi dan halaman manual laboratorium perangkat lunak mathrec juga tersedia.
• [4] Perangkat lunak di halaman ini dikembangkan khusus untuk perhitungan efisien dan akurat dari seluruh spektrum eksponen. Ini termasuk LyapOde untuk kasus di mana persamaan gerak diketahui dan juga Lyap untuk kasus yang melibatkan data seri waktu eksperimental. LyapOde, yang mencakup kode sumber yang ditulis dalam “C”, juga dapat menghitung eksponen Lyapunov bersyarat untuk sistem identik yang terhubung. Tujuannya adalah memungkinkan pengguna untuk menyediakan set persamaan model mereka sendiri atau menggunakan salah satu yang disertakan. Tidak ada batasan bawaan pada jumlah variabel, parameter, dll. Lyap, yang mencakup kode sumber yang ditulis dalam Fortran, juga dapat menghitung vektor arah Lyapunov dan menggambarkan singularitas atraktor, yang merupakan alasan utama kesulitan dalam menghitung eksponen negatif yang lebih besar dari data seri waktu. Dalam kedua kasus, terdapat dokumentasi yang lengkap dan file input contoh. Perangkat lunak ini dapat dikompilasi untuk dijalankan pada sistem Windows, Mac, atau Linux/Unix. Perangkat lunak ini berjalan di jendela teks dan tidak memiliki kemampuan grafis, tetapi dapat menghasilkan file output yang dapat dengan mudah diplot menggunakan program seperti Excel.

Pranala luar

• Perron effects of Lyapunov exponent sign inversions