Gelanggang polinomial

Dalam matematika, khususnya di bidang aljabar, gelanggang polinomial (polynomial ring atau polynomial algebra) adalah sebuah gelanggang yang dibentuk dari himpunan semua polinomial dalam satu atau lebih peubah tak tentu (indeterminate, kadang juga disebut variabel) dengan koefisien berasal dari suatu gelanggang lain, yang sering kali berupa sebuah lapangan.

Istilah "cincin polinomial" sering secara implisit merujuk pada kasus khusus, yaitu gelanggang polinomial dalam satu peubah tak tentu di atas suatu lapangan. Pentingnya gelanggang polinomial ini terletak pada banyaknya sifat-sifat yang serupa dengan gelanggang bilangan bulat, sehingga sangat berguna dalam berbagai teori dan aplikasi.

Gelanggang polinomial muncul, dan sering kali menjadi dasar, dalam berbagai cabang matematika seperti teori bilangan, aljabar komutatif, dan geometri aljabar. Dalam teori gelanggang, banyak kelas gelanggang telah diperkenalkan untuk menggeneralisasi sifat-sifat gelanggang polinomial, seperti domain faktorisasi unik, gelanggang reguler, gelanggang kelompok, gelanggang deret daya formal, polinomial Ore, dan gelanggang bertingkat.

Konsep yang sangat berkaitan dengan ini yaitu gelanggang fungsi polinomial pada ruang vektor, dan lebih umum lagi, gelanggang fungsi reguler pada suatu varietas aljabar.

Definisi (kasus satu variabel)

Misalkan K adalah sebuah lapangan atau, secara lebih umum, sebuah gelanggang komutatif.

Gelanggang polinomial dalam peubah X di atas K, yang dilambangkan dengan K[X], dapat didefinisikan dalam beberapa cara yang ekuivalen. Salah satunya adalah sebagai himpunan ekspresi—yang disebut polinomial dalam X—dengan bentuk

$p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},$

di mana p₀, p₁, …, p_m, adalah koefisien-koefisien dari polinomial p, dan semuanya merupakan elemen dari K, p_m ≠ 0 jika m > 0, dan X, X², …, adalah simbol-simbol yang dianggap sebagai "pangkat" dari X, dan mengikuti aturan eksponensiasi biasa: X⁰ = 1, X¹ = X, dan $X^{k}\,X^{l}=X^{k+l}$ untuk setiap bilangan bulat tak-negatif k dan l. Simbol X disebut peubah tak tentu (indeterminate) atau variabel. (Istilah "variabel" berasal dari konteks fungsi polinomial. Namun dalam konteks ini, X tidak memiliki nilai tertentu dan tidak dapat berubah, karena ia diperlakukan sebagai suatu konstanta formal di dalam gelanggang polinomial.)