Homotopi

Homotopi (dari bahasa Yunani ὁμός (hómoς) yang berarti "sama" dan τοπικός (topikós) yang berarti "tempat" atau "lokal") dalam Matematika, adalah suatu konsep dalam topologi yang menggambarkan cara dua fungsi kontinu dapat diubah satu sama lain secara kontinu melalui sebuah keluarga fungsi yang juga kontinu. Homotopi digunakan untuk mengkategorikan ruang dan fungsi berdasarkan "kemudahan" transformasi satu fungsi menjadi fungsi lain tanpa memutus kontinuitasnya.

Definisi

Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah ruang topologi dan \(f, g : X \to Y\) adalah fungsi kontinu. Kita mengatakan bahwa f dan g adalah homotopi satu sama lain, dan ditulis sebagai \(f \simeq g\), jika ada fungsi kontinu

\[ H : X \times [0,1] \to Y \]

yang memenuhi kondisi berikut:

1. Untuk setiap \(x \in X\), fungsi \( t \mapsto H(x,t) \) adalah fungsi kontinu dari \([0,1]\) ke \(Y\). 2. Untuk setiap \(x \in X\), \(H(x,0) = f(x)\) dan \(H(x,1) = g(x)\). 3. Untuk setiap \(t \in [0,1]\), fungsi \( x \mapsto H(x,t) \) adalah fungsi kontinu dari \(X\) ke \(Y\).

Fungsi \(H\) ini disebut homotopi dari \(f\) ke \(g\), dan disebut sebagai homotopi kontinu.

Notasi dan Konsep

Homotopi adalah konsep penting dalam topologi karena memungkinkan pengklasifikasian ruang topologi dan fungsi berdasarkan keberadaan transformasi kontinu di antara mereka. Homotopi juga membentuk sebuah relasi ekuivalen pada ruang fungsi kontinu dari \(X\) ke \(Y\).

Homotopi dapat digunakan untuk mendefinisikan konsep lain seperti:

- Kelompok homotopi \(\pi_n(X, x_0)\), yang mengklasifikasikan kelas homotopi dari peta dari bola bola berdimensi \(n\) ke ruang \(X\) yang memetakan titik pusat bola ke titik basis \(x_0\). - Kelompok fundamental \(\pi_1(X, x_0)\), yang merupakan kelompok dari kelas homotopi dari loop yang berpusat di titik \(x_0\).

Contoh dan Aplikasi

Contoh umum homotopi adalah transformasi dari peta yang memetakan seluruh ruang ke titik tertentu ke peta konstan ke titik tersebut. Misalnya, homotopi dari fungsi identitas ke fungsi konstan menunjukkan bahwa ruang tersebut kontraktif secara homotopi.

Aplikasi utama homotopi meliputi:

- Mengklasifikasikan ruang topologi berdasarkan struktur homotopi mereka. - Membuktikan sifat invariansi topologi. - Dalam teori homologi dan kohomologi, homotopi digunakan untuk mendefinisikan dan mempelajari struktur algebra dari ruang topologi.

Properti

Beberapa properti penting dari homotopi meliputi:

- Refleksivitas: \(f \simeq f\). - Simetri: Jika \(f \simeq g\), maka \(g \simeq f\). - Transitivitas: Jika \(f \simeq g\) dan \(g \simeq h\), maka \(f \simeq h\).

Homotopi juga membentuk sebuah relasi ekuivalen pada kelas fungsi kontinu dari \(X\) ke \(Y\).

Sejarah

Konsep homotopi pertama kali dikembangkan dalam konteks topologi selama abad ke-20 sebagai bagian dari usaha untuk mengklasifikasikan ruang-ruang topologi melalui invariannya.

Referensi

Munkres, James R. (2000). *Topology*. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9.
Hatcher, Allen. (2002). *Algebraic Topology*. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1.
Spanier, Edwin H. (1966). *Algebraic Topology*. McGraw-Hill Book Co.

Pranala luar

[Homotopy - Wikipedia](https://en.wiki-indonesia.club/wiki/Homotopy)
[Homotopy dan Aplikasinya dalam Topologi](https://mathworld.wolfram.com/Homotopy.html)