Klosur aljabar

Dalam matematika, khususnya dalam aljabar abstrak, klosur aljabar (ketertutupan aljabar) dari suatu lapangan K merupakan ekstensi aljabar dari lapangan K yang bersifat tertutup. Klosur aljabar adalah salah satu dari banyak sifat ketertutupan dalam matematika.

Dengan menggunakan lemma Zorn^[1]^[2]^[3] atau lemma ultrafilter yang lebih lemah,^[4]^[5] dapat didemonstrasikan bahwa setiap lapangan memiliki penutup aljabar, dan bahwa ketertutupan aljabar dari medan K bersifat unik hingga mencapai suatu isomorfisme yang menjadi titik tetap setiap dari anggota K. Karena keunikan esensial ini, istilah yang lebih sering digunakan adalah penutupan aljabar K, daripada suatu penutup aljabar K.

Ketertutupan aljabar dari suatu lapangan K dapat dianggap sebagai ekstensi aljabar terbesar dari K. Untuk melihat ini, perhatikan bahwa jika L adalah ekstensi aljabar apa pun dari K, maka ketertutupan aljabar dari L juga merupakan ketertutupan aljabar dari K, dan dengan demikian L juga terkandung dalam ketertutupan aljabar dari K. Ketertutupan aljabar dari K juga merupakan lapangan aljabar tertutup terkecil yang memuat K, karena jika M adalah lapangan aljabar tertutup apa pun yang memuat K, maka elemen-elemen M yang memberikan ekstensi aljabar atas K, juga membentuk ketertutupan aljabar dari K.

Ketertutupan aljabar suatu lapangan K mempunyai kardinalitas yang sama dengan K jika K tak terhingga, dan terhitung tak terhingga jika K berhingga.^[3]

Contoh

Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa ketertutupan aljabar dari lapangan bilangan riil adalah lapangan bilangan kompleks .
Ketertutupan aljabar dari lapangan bilangan rasional adalah lapangan bilangan aljabar.
Ada banyak lapangan aljabar tertutup yang dapat dihitung dalam bilangan kompleks, dan secara ketat memuat bidang bilangan aljabar; ini adalah ketertutupan aljabar dari ekstensi transendental bilangan rasional, misalnya ketertutupan aljabar Q (π).
Untuk medan berhingga dengan orde pangkat prima q, ketertutupan aljabarnya adalah medan tak terhingga terhitung yang memuat salinan medan dengan orde q ⁿ untuk setiap bilangan bulat positif n (dan sebenarnya merupakan gabungan dari salinan-salinan ini).^[6]

Eksistensi penutupan aljabar dan pemisahan lapangan

Suatu himpunan $S=\{f_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}$ adalah himpunan semua polinomial monik tak tereduksi di K [ x ]. Untuk setiap $f_{\lambda }\in S$ , ditetapkan variabel baru $u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}$ Di mana $d={\rm {degree}}(f_{\lambda })$ . Suatu ring R menjadi ring polinomial di atas K yang dihasilkan oleh $u_{\lambda ,i}$ untuk semua $\lambda \in \Lambda$ dan semuanya $i\leq {\rm {degree}}(f_{\lambda })$ . Dituliskan sebagai

f_{\lambda }-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda ,i})=\sum _{j=0}^{d-1}r_{\lambda ,j}\cdot x^{j}\in R[x]

dengan $r_{\lambda ,j}\in R$ . I adalah ideal di R yang dihasilkan oleh $r_{\lambda ,j}$ . Karena I secara ketat lebih kecil dari R, lemma Zorn menyiratkan bahwa ada ideal maksimal M di R yang memuat I. Medan K ₁ = R / M mempunyai sifat bahwa setiap polinomial $f_{\lambda }$ dengan koefisien dalam K split sebagai produk dari $x-(u_{\lambda ,i}+M),$ dan karenanya memiliki semua akar di K ₁ . Dengan cara yang sama, perluasan K ₂ dari K ₁ dapat dibangun, dan seterusnya. Gabungan dari semua perluasan ini adalah ketertutupan aljabar dari K, karena setiap polinomial dengan koefisien di medan baru ini mempunyai koefisiennya di beberapa K _n dengan n yang cukup besar, dan kemudian akar-akarnya ada di K _{n +1}, dan dengan demikian di dalam gabungan itu sendiri.

Hal ini dapat ditunjukkan dengan cara yang sama bahwa untuk setiap subset S dari K [ x ], terdapat medan pemisah dari S atas K .

Ketertutupan yang dapat dipisahkan

Ketertutupan aljabar K ^alg dari K mengandung suatu ekstensi terpisah unik K ^sep dari K yang memuat semua ekstensi (aljabar) terpisah dari K dalam K ^alg . Subekstensi ini disebut penutupan yang dapat dipisahkan dari K. Karena suatu perluasan yang dapat dipisahkan dari suatu perluasan yang dapat dipisahkan juga dapat dipisahkan, maka tidak ada perluasan yang dapat dipisahkan yang terbatas dari K ^sep, dengan derajat > 1. Dengan kata lain, K terkandung dalam medan ekstensi aljabar tertutup terpisah . Ini unik ( hingga mencapai isomorfisme).^[1]

Ketertutupan yang dapat dipisahkan adalah ketertutupan aljabar penuh jika dan hanya jika K adalah medan sempurna . Misalnya, jika K adalah medan karakteristik p dan jika X transendental terhadap K, $K(X)({\sqrt[{p}]{X}})\supset K(X)$ adalah perluasan bidang aljabar yang tidak dapat dipisahkan.

Secara umum, grup Galois absolut K adalah grup Galois K ^sep atas K.^[7]

Lihat juga

Ekstensi aljabar

Referensi

^ ^a ^b McCarthy, Paul J. (1991-04-01). Algebraic Extensions of Fields (dalam bahasa Inggris). Courier Corporation. ISBN 978-0-486-66651-8.
^ Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (1994-02-21). Introduction To Commutative Algebra (dalam bahasa Inggris). Avalon Publishing. ISBN 978-0-8133-4544-4.
^ ^a ^b Kaplansky, Irving (1972). Fields and Rings (dalam bahasa Inggris). University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-42451-4.
^ Banaschewski, Bernhard (1992), "Algebraic closure without choice.", Z. Math. Logik Grundlagen Math., 38 (4): 383–385, doi:10.1002/malq.19920380136, Zbl 0739.03027
^ "Is the statement that every field has an algebraic closure known to be equivalent to the ultrafilter lemma?". MathOverflow (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2025-04-15.
^ Brawley, Joel V.; Schnibben, George E. (1989), "2.2 The Algebraic Closure of a Finite Field", Infinite Algebraic Extensions of Finite Fields, Contemporary Mathematics, 95, American Mathematical Society, hlm. 22–23, ISBN 978-0-8218-5428-0, Zbl 0674.12009 .
^ Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Field arithmetic. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 11 (edisi ke-3rd). Springer-Verlag. hlm. 12. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.

[:0-1] McCarthy, Paul J. (1991-04-01). Algebraic Extensions of Fields (dalam bahasa Inggris). Courier Corporation. ISBN 978-0-486-66651-8.

[2] Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (1994-02-21). Introduction To Commutative Algebra (dalam bahasa Inggris). Avalon Publishing. ISBN 978-0-8133-4544-4.

[:1-3] Kaplansky, Irving (1972). Fields and Rings (dalam bahasa Inggris). University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-42451-4.

[4] Banaschewski, Bernhard (1992), "Algebraic closure without choice.", Z. Math. Logik Grundlagen Math., 38 (4): 383–385, doi:10.1002/malq.19920380136, Zbl 0739.03027

[5] "Is the statement that every field has an algebraic closure known to be equivalent to the ultrafilter lemma?". MathOverflow (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2025-04-15.

[6] Brawley, Joel V.; Schnibben, George E. (1989), "2.2 The Algebraic Closure of a Finite Field", Infinite Algebraic Extensions of Finite Fields, Contemporary Mathematics, 95, American Mathematical Society, hlm. 22–23, ISBN 978-0-8218-5428-0, Zbl 0674.12009 .

[FJ12-7] Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Field arithmetic. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 11 (edisi ke-3rd). Springer-Verlag. hlm. 12. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]