Menyelesaikan bentuk kuadrat

Animasi yang menggambarkan proses penyelesaian persegi.

Dalam aljabar elementer, menyelesaikan bentuk kuadrat adalah teknik untuk mengubah polinomial kuadrat dalam bentuk $\textstyle ax^{2}+bx+c$ ke bentuk $\textstyle a(x-h)^{2}+k$ untuk nilai $h$ dan $k$ Dalam hal kuantitas baru $x-h$, ekspresi ini adalah polinomial kuadrat tanpa suku linier. Dengan melakukan isolasi pada $\textstyle (x-h)^{2}$ dan dengan mengambil akar kuadrat, persoalan kuadrat dapat disederhanakan menjadi persoalan linear.

Istilah menyelesaikan bentuk kuadrat berasal dari penggambaran geometris dengan $x$ mewakili ukuran sisi yang tidak diketahui. Maka nilai $\textstyle x^{2}$ mewakili luas persegi dengan sisi $x$ dan nilai ${\tfrac {b}{a}}x$ mewakili luas sepasang persegi panjang kongruen dengan panjang $x$ dan lebar ${\tfrac {b}{2a}}$. Pada persegi dan sepasang persegi panjang ini ditambahkan satu persegi lagi, dengan panjang sisi ${\tfrac {b}{2a}}$ . Langkah penting ini menyelesaikan persegi yang lebih besar dengan panjang sisi $x+{\tfrac {b}{2a}}$ .

Melengkapi kuadrat merupakan metode tertua dalam memecahkan persamaan kuadrat umum, digunakan pada tablet tanah liat Babilonia Kuno yang berasal dari tahun 1800–1600 SM, dan masih diajarkan dalam kursus aljabar dasar hingga saat ini. Ia juga digunakan untuk membuat grafik fungsi kuadrat, mendapatkan rumus kuadrat, dan secara lebih umum dalam perhitungan yang melibatkan polinomial kuadrat, misalnya dalam kalkulus yang mengevaluasi integral Gaussian dengan suku linier dalam eksponen, dan menemukan transformasi Laplace.

Sejarah

Grafik fungsi kuadratik bergeser ke kanan dengan "h"= 0,5, 10 dan 15.

Grafik fungsi kuadratik bergeser ke atas dengan "k"= 0,5, 10 dan 15.

Grafik fungsi kuadratik bergeser ke atas dan ke kanan dengan 0,5, 10 dan 15.

Teknik penyelesaian bentuk kuadrat pertama kali dikenal di Kekaisaran Babilonia Kuno. Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi, seorang polymath terkenal yang menulis risalah aljabar awal Al-Jabr, menggunakan teknik melengkapi kuadrat untuk memecahkan persamaan kuadrat.

Ringkasan

Latar belakang

Rumus dalam aljabar dasar untuk menghitung kuadrat binomial adalah: $$(x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.$$

Misalnya: $${\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}$$

Dalam setiap kuadrat sempurna, koefisien $x$ adalah dua kali bilangan $p$, dan suku konstanta sama dengan $p^{2}$.

Contoh dasar

Perhatikan polinomial kuadrat berikut: $$x^{2}+10x+28.$$

Kuadrat ini bukan kuadrat sempurna, karena 28 bukan kuadrat dari 5: $$(x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.$$

Namun, kuadrat asli dapat ditulis sebagai jumlah kuadrat ini dan suatu konstanta: $$x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.$$

Inilah disebut menyelesaikan bentuk kuadrat.

Deskripsi umum

Diberikan sembarang persamaan kuadrat monik $$x^{2}+bx+c,$$adalah mungkin untuk membentuk sebuah persegi yang memiliki dua suku pertama yang sama: $$\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.$$

Persegi ini berbeda dari kuadrat aslinya hanya pada nilai suku konstannya. Oleh karena itu, kita dapat menulis $$x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,$$Di mana $k=c-{\frac {b^{2}}{4}}$ . Operasi ini dikenal sebagai menyelesaikan kuadrat. Misalnya: $${\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}$$

Kasus non-monik

Diberikan polinomial kuadrat berbentuk $$ax^{2}+bx+c$$adalah mungkin untuk memfaktorkan keluar koefisien a, dan kemudian melengkapi kuadrat untuk polinomial monik yang dihasilkan.

Contoh: $${\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2)^{2}+5\right]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}$$Proses faktorisasi koefisien a dapat disederhanakan lagi dengan hanya memfaktorkannya dari 2 suku pertama. Bilangan bulat pada akhir polinomial tidak harus disertakan.

Hasil dari penyelesaian polinom kuadrat dapat dituliskan sebagai suatu rumus. Secara umum, suatu persamaan memiliki $$ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k,$$ dengan $$h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{dan}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.$$

Dengan memecahkan persamaan $a(x-h)^{2}+k=0$ dalam hal $x-h,$ dan dengan menata ulang ekspresi yang dihasilkan, kita memperoleh rumus kuadrat untuk akar-akar persamaan kuadrat : $$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$$

Rumus

Kasus skalar

Secara khusus, ketika a = 1, suatu persamaan memiliki $$x^{2}+bx+c=(x-h)^{2}+k,$$ dengan $$h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4}}.$$

Persamaan dengan akar kompleks dapat ditangani dengan cara yang sama. Misalnya: $${\begin{aligned}x^{2}+4x+5&=0\\[6pt](x+2)^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}$$

$${\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}$$

Kasus matriks

Kasus matriks memiliki kemiripan dengan skalar: $$x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k$$Di mana ${\textstyle h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b}$ dan ${\textstyle k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}$ . Perhatikan bahwa $A$ harus simetris.

Jika $A$ tidak simetris, rumus untuk $h$ Dan $k$ harus digeneralisasikan menjadi: $$h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b$$

Hubungan dengan grafik

Dalam geometri analitik, grafik fungsi kuadrat apa pun adalah parabola di bidang xy . Diberikan polinomial kuadrat berbentuk $$a(x-h)^{2}+k$$angka h dan k dapat diartikan sebagai koordinat kartesius titik puncak (atau titik stasioner ) parabola. Artinya, h adalah koordinat x dari sumbu simetri (yaitu sumbu simetri mempunyai persamaan x = h ), dan k adalah nilai minimum (atau nilai maksimum, jika < 0) dari fungsi kuadrat.

Salah satu cara untuk melihat hal ini adalah dengan memperhatikan bahwa grafik fungsi f(x) = x² adalah parabola yang titik puncaknya berada di titik asal. (0, 0). Oleh karena itu, grafik fungsi f(x − h) = (x − h)² adalah parabola yang digeser ke kanan sebesar h dan titik puncaknya berada di ( h , 0), seperti yang ditunjukkan pada gambar teratas. Sebaliknya, grafik fungsi f(x) + k = x² + k adalah parabola yang digeser ke atas sebesar k yang titik puncaknya berada di (0, k), seperti yang ditunjukkan pada gambar di tengah. Menggabungkan pergeseran horisontal dan vertikal menghasilkan f(x − h) + k = (x − h)² + k adalah parabola yang digeser ke kanan sebesar h dan ke atas sebesar k yang titik puncaknya berada di (h, k), seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah.

Memecahkan persamaan kuadrat

Melengkapi kuadrat dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun. Misalnya: $$x^{2}+6x+5=0.$$

Langkah pertama adalah melengkapi persegi tersebut: $$(x+3)^{2}-4=0.$$

Selanjutnya kita selesaikan persamaan kuadratnya: $$(x+3)^{2}=4.$$

Dapat menjadi$$x+3=-2\quad {\text{atau}}\quad x+3=2,$$ dan oleh karena itu $$x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.$$

Akar irasional dan kompleks

Berbeda dengan metode yang melibatkan pemfaktoran persamaan, yang hanya dapat diandalkan jika akar-akarnya rasional, melengkapkan kuadrat akan menemukan akar-akar persamaan kuadrat, bahkan jika akar-akar tersebut irasional atau kompleks . Misalnya, perhatikan persamaan $$x^{2}-10x+18=0.$$

Menyelesaikan kuadrat akan menghasilkan $$(x-5)^{2}-7=0,$$ Maka,$$(x-5)^{2}=7.$$ Lalu menjadi$$x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{atau}}\quad x-5={\sqrt {7}}.$$

Dalam bahasa yang lebih ringkas: $$x-5=\pm {\sqrt {7}},$$ Maka,$$x=5\pm {\sqrt {7}}.$$

Melengkapi kuadrat pada penyebut menghasilkan: $$\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.$$

Kasus non-monik

Untuk persamaan yang melibatkan kuadrat non-monik, langkah pertama untuk menyelesaikannya adalah membagi dengan koefisien x ² . Misalnya:

Hal ini sekarang dapat dievaluasi dengan menggunakan substitusi u = X + 3, yang menghasilkan $$\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.$$

Menerapkan prosedur ini pada bentuk umum persamaan kuadrat menghasilkan rumus kuadrat.

Aplikasi lainnya

Integrasi

Melengkapi kuadrat dapat digunakan untuk mengevaluasi integral apa pun dalam bentuk $$\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}$$ menggunakan integral dasar $$\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{dan}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.$$

Misalnya, perhatikan integral,$$\int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.$$

Ini $$(x^{2})^{2}+(18)^{2},$$jadi suku tengahnya adalah $2(x^{2})(18)=36x^{2}$. Jadi kita mendapatkan $${\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{perbedaan dari dua persegi}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}$$(baris terakhir ditambahkan hanya untuk mengikuti konvensi penurunan derajat istilah).

Argumen yang sama menunjukkan bahwa $x^{4}+4a^{4}$ selalu dapat difaktorkan sebagai $$x^{4}+4a^{4}=\left(x^{2}+2ax+2a^{2}\right)\left(x^{2}-2ax+2a^{2}\right)$$ (Juga dikenal sebagai identitas Sophie Germain ).

Angka kompleks

Perhatikan ekspresi berikut $$|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,$$di mana z dan b adalah bilangan kompleks, z ^* dan b ^* masing-masing adalah konjugat kompleks dari z dan b, dan c adalah bilangan riil. Dengan menggunakan identitas | u | ² = uu ^* kita dapat menulis ulang ini sebagai $$|z-b|^{2}-|b|^{2}+c,$$ yang jelas merupakan jumlah riil. hal ini dikarenakan $${\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}$$

Sebagai contoh lain, ekspresi $$ax^{2}+by^{2}+c,$$di mana a, b, c, x, dan y adalah bilangan riil, dengan a > 0 dan b > 0, dapat dinyatakan dalam kuadrat nilai absolut suatu bilangan kompleks. Mendefinisikan $$z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.$$

Kemudian $${\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\[1ex]&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}$$ maka,$$ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.$$

Matriks idempoten

Matriks M bersifat idempoten jika M ² = M . Matriks idempoten menggeneralisasi sifat-sifat idempoten 0 dan 1. Penyelesaian metode kuadrat untuk mengatasi persamaan $$a^{2}+b^{2}=a,$$ menunjukkan bahwa beberapa matriks idempoten 2×2 diparameterisasi oleh lingkaran pada bidang ( a, b ):

Matriks ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ akan menjadi idempoten asalkan $a^{2}+b^{2}=a,$ yang setelah melengkapi persegi tersebut, menjadi $$(a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.$$Pada bidang ( a, b ), ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat (1/2, 0) dan jari-jari 1/2.

Perspektif geometris

Pertimbangkan untuk melengkapi kuadrat persamaan tersebut $$x^{2}+bx=a.$$

Karena x2 menyatakan luas persegi dengan panjang sisi x, dan bx menyatakan luas persegi panjang dengan panjang sisi b dan x, proses melengkapi persegi dapat dilihat sebagai manipulasi visual persegi panjang.

Variasi pada teknik

Seperti yang diajarkan secara konvensional, melengkapi kuadrat terdiri dari menambahkan suku ketiga, v ² ke $$u^{2}+2uv$$untuk mendapatkan persegi. Ada juga kasus di mana seseorang dapat menambahkan suku tengah, baik 2 uv atau − 2 uv, ke $$u^{2}+v^{2}$$untuk mendapatkan persegi.

Contoh: jumlah bilangan positif dan kebalikannya

Dengan menulis $${\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}$$ kami menunjukkan bahwa jumlah bilangan positif x dan kebalikannya selalu lebih besar dari atau sama dengan 2. Kuadrat dari ekspresi riil selalu lebih besar atau sama dengan nol, yang memberikan batasan yang dinyatakan; dan di sini kita memperoleh 2 tepat ketika x adalah 1, yang menyebabkan kuadratnya hilang.

Contoh: memfaktorkan polinomial kuartik sederhana

Perhatikan masalah pemfaktoran polinomial $$x^{4}+324.$$

Hal ini memungkinkan penulisan polinomial kuadrat apa pun dalam bentuk $$a(x-h)^{2}+k.$$

Menyelesaikan bentuk kubus

"Menyelesaikan bentuk kuadrat" berarti menyatakan bahwa dua suku pertama dari polinomial kuadrat juga merupakan suku pertama dari kuadrat polinomial linier, dan menggunakan ini untuk menyatakan polinomial kuadrat sebagai penjumlahan dari kuadrat dan konstanta.

Lebih tepatnya, jika

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

adalah polinomial di x sedemikian rupa sehingga $a\neq 0,$ dua suku pertama adalah dua suku pertama dari bentuk diperluas dari

$t=x+{\frac {b}{3a}}$

Jadi, perubahan variabel

menyediakan polinomial kubik dalam $t$ tanpa suku berderajat dua, yang disebut bentuk tertekan dari polinomial asli.

Transformasi ini secara umum merupakan langkah pertama dalam metode penyelesaian persamaan kubik umum.

Secara lebih umum, transformasi serupa dapat digunakan untuk menghilangkan istilah derajat $n-1$ dalam polinomial derajat $n$, yang disebut transformasi Tschirnhaus.

Tautan eksternal

• Completing the square di PlanetMath.