Perkalian matriks

Agar perkalian matriks dapat dilakukan, matriks A perlu memiliki jumlah kolom yang sama dengan jumlah baris pada matriks B. Hasil perkalian keduanya adalah matriks dengan jumlah baris yang sama dengan matriks A dan jumlah kolom yang sama dengan matriks B.

Dalam matematika, perkalian matriks adalah suatu operasi biner dari dua matriks yang menghasilkan sebuah matriks. Agar dua matriks dapat dikalikan, banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua. Matriks hasil perkalian keduanya, akan memiliki baris sebanyak baris matriks pertama, dan kolom sebanyak kolom matriks kedua. Perkalian matriks A dan B dinyatakan sebagai AB.

Perkalian matriks didefinisikan pertama kali oleh matematikawan Prancis Jacques Philippe Marie Binet pada tahun 1812. Definisi ini digunakannya untuk merepresentasikan komposisi dari pemetaan-pemetaan linear yang dinyatakan dalam bentuk matriks. Perkalian matriks selanjutnya menjadi konsep dasar dalam aljabar linear, dan memiliki banyak penerapan di berbagai bidang matematika, matematika terapan, statistika, fisika, ekonomi, dan teknik. Menghitung hasil perkalian matriks adalah operasi yang penting dalam semua penerapan komputasi dari bidang allabar linear.

Notasi

Artikel ini akan menggunakan konvensi penulisan berikut: matriks dinyatakan oleh huruf kapital dengan cetak tebal, contohnya $\mathbf {A}$; vektor dinyatakan oleh huruf kecil dengan cetak tebal, contohnya $\mathbf {a}$; dan entri-entri (elemen) dari vektor dan matriks akan dinyatakan dalam huruf miring (karena mereka anggota dari suatu lapangan), contohnya $A$ dan $a$. Notasi indeks sering digunakan untuk menyatakan suatu definisi, dan dipakai sebagai format baku dalam literatur-literatur. Entri ke-$i,j$ dari matriks $\mathbf {A}$ umumnya dinyatakan sebagai $(\mathbf {A} )_{ij}$, $A_{ij}$, atau $a_{ij}$; sedangkan label yang menyatakan bahwa matriks merupakan sebuah elemen dari suatu koleksi dari matriks umumnya hanya ditulis sebagai $\mathbf {A} _{1}$, $\mathbf {A} _{2}$, dan lain-lain.

Definisi

Jika $\mathbf {A}$ adalah matriks berukuran $m\times n$ dan $\mathbf {B}$ adalah matriks berukuran $n\times p$, dengan elemen-elemen sebagai berikut,

$$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{np}\\\end{pmatrix}}$$

Hasil perkalian kedua matriks tersebut, $\mathbf {C} =\mathbf {AB}$ (dinyatakan tanpa menggunakan tanda kali atau titik), adalah sebuah matriks berukuran $m\times p$.

$$\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mp}\\\end{pmatrix}}$$

dengan setiap entri pada matriks $\mathbf {C}$ didefinisikan sebagai

$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+\cdots +a_{in}b_{nj}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},$$

untuk nilai $i=1,\,\dots ,\,m$ dan nilai $i=1,\,\dots ,\,p$. Dengan kata lain, entri $c_{ij}$ adalah hasil yang didapatkan dengan mengalikan secara berpasang-pasangan entri di baris ke-$i$ matriks $\mathbf {A}$ dengan entri di kolom ke-$j$ matriks $\mathbf {B}$, lalu menjumlahkan semua hasil perkalian ini. Intepretasi lain dari proses ini, entri $c_{ij}$ adalah hasil perkalian titik baris ke-$i$ matriks $\mathbf {A}$ dengan kolom ke-$j$ matriks $\mathbf {B}$. Dengan demikian, $\mathbf {AB}$ juga dapat ditulis sebagai

$$\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+\cdots +a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+\cdots +a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1p}+\cdots +a_{1n}b_{np}\\a_{21}b_{11}+\cdots +a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+\cdots +a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1p}+\cdots +a_{2n}b_{np}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+\cdots +a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+\cdots +a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1p}+\cdots +a_{mn}b_{np}\\\end{pmatrix}}$$

Hal ini menyebabkan hasil perkalian $\mathbf {AB}$ hanya terdefinisi jika dan hanya jika banyaknya kolom di $\mathbf {A}$ sama dengan banyaknya baris di $\mathbf {B}$, yang dalam kasus ini sebanyak $n$.

Dalam sebagian besar kasus, entri dari matriks akan berupa bilangan. Namun entri dari matriks dapat berupa sembarang objek matematika, asal memiliki sifat penjumlahan dan perkalian. Sifat ini mengartikan objek matematika tersebut haruslah asosiatif, penjumlahannya komutatif, dan perkaliannya distributif terhadap penjumlahan. Sebagai contoh, entri dari matriks dapat berupa matriks, lihat artikel tentang matriks blok.

Ilustrasi

Gambar berikut memberikan diagram hasil perkalian dari dua matriks $\mathbf {A}$ dan $\mathbf {B}$, menunjukkan bagaimana setiap perpotongan di matriks hasil perkalian berkorespodensi dengan sebuah baris di $\mathbf {A}$ dan sebuah kolom di $\mathbf {B}$.

$${\overset {{\text{matriks }}4\times 2}{\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\\cdot &\cdot \\{a_{31}}&{a_{32}}\\\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}{\overset {{\text{matriks }}2\times 3}{\begin{bmatrix}\cdot &{b_{12}}&{b_{13}}\\\cdot &{b_{22}}&{b_{23}}\\\end{bmatrix}}}={\overset {{\text{matriks }}4\times 3}{\begin{bmatrix}\cdot &c_{12}&c_{13}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &c_{32}&c_{33}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}$$

Nilai pada matriks hasil perkalian, yang ditandai dengan simbol lingkaran, adalah:

$${\begin{aligned}c_{12}&={a_{11}}{b_{12}}+{a_{12}}{b_{22}}\\c_{33}&={a_{31}}{b_{13}}+{a_{32}}{b_{23}}\end{aligned}}$$

Penggunaan yang fundamental

Secara historis, perkalian matriks diperkenalkan untuk membantu dan memperjelas perhitungan-perhitungan dalam aljabar linear.

Pemetaan linear

Jika suatu ruang vektor memiliki basis yang terbatas, semua vektornya dapat dinyatakan secara unik oleh sebuah barisan skalar yang terhingga. Barisan ini dinamakan vektor koordinat, dengan entri-entrinya adalah koordinat dari vektor terhadap vektor-vektor basis. Vektor-vektor koordinat juga membentuk suatu ruang vektor lain, yang isomorfik dengan ruang vektor asalnya. Vektor koordinat umumnya disusun sebagai matriks kolom (juga disebut dengan vektor kolom), yakni sebuah matriks yang berisi satu kolom. Jadi, sebuah vektor kolom menyatakan suatu vektor koordinat, sekaligus vektor di ruang vektor asalnya.

Sebuah peta linear $A$ dari suatu ruang vektor berdimensi $n$ ke suatu ruang vektor berdimensi $m$, akan memetakan suatu vektor kolom

$$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$$

Menjadi vektor kolom

$\mathbf {y} =A(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}.$

Dengan demikian, peta linear $A$ dapat didefinisikan oleh sebuah matriks

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},$

dan pemetaan vektor kolom $\mathbf {x}$ dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks

$\mathbf {y} =\mathbf {Ax} .$

Misalkan $B$ adalah suatu peta linear yang lain, yang memetakan ruang vektor berdimensi $m$ ke suatu ruang vektor berdimensi $p$. Peta linear $B$ dapat direpresentasikan sebagai sebuah matriks $\mathbf {B}$ berukuran $p\times m$. Dengan menjabarkan perhitungan, dapat ditunjukkan matriks yang dihasilkan komposisi pemetaan $B\circ A$ adalah matriks hasil perkalian $\mathbf {BA} .$

Sistem persamaan linear

Bentuk umum dari sebuah sistem persamaan linear adalah

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{matrix}}.$

Dengan menggunakan notasi yang dijelaskan di atas, sistem tersebut setara dengan persamaan matriks $\mathbf {Ax} =\mathbf {b} .$

Sifat-sifat umum

Perkalian matriks memiliki berapa sifat yang sama dengan perkalian pada umumnya. Namun, perkalian matriks tidak terdefinisi jika jumlah kolom pada faktor yang pertama berbeda dengan jumlah baris pada faktor yang kedua. Perkalian matriks juga tidak komutatif, bahkan jika hasil perkalian tetap terdefinisi setelah urutan perkalian ditukar.

Tidak komutatif

Suatu operasi dikatakan komutatif jika, untuk sebarang dua elemen $\mathbf {A}$ dan $\mathbf {B}$ dengan hasil perkalian $\mathbf {A} \mathbf {B}$ yang terdefinisi, maka hasil perkalian $\mathbf {B} \mathbf {A}$ juga terdefinisi dan memenuhi hubungan $\mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {B} \mathbf {A} .$ Jika $\mathbf {A}$ dan $\mathbf {B}$ masing-masing adalah matriks berukuran $m\times n$ dan $p\times q$, maka $\mathbf {A} \mathbf {B}$ terdefinisi ketika $n=p$, dan $\mathbf {B} \mathbf {A}$ terdefinisi ketika $m=q$. Jadi, secara umum jika salah satu hasil perkalian terdefinisi, hasil perkalian yang lain (dengan urutan yang ditukar) tidak terdefinisi. Pada kasus $m=q\neq n=p$, maka kedua perkalian terdefinisi, tapi menghasilkan matriks dengan ukuran yang berbeda; sehingga tidak mungkin sama. Hanya pada kasus $m=q=n=p$, yakni ketika $\mathbf {A}$ dan $\mathbf {B}$ adalah matriks persegi dengan ukuran yang sama, kedua perkalian terdefinisi dan juga memiliki ukuran yang sama. Namun bahkan untuk kasus ini, secara umum berlaku

$$\mathbf {A} \mathbf {B} \neq \mathbf {B} \mathbf {A} .$$

Sebagai contoh

$${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},$$

tapi

$${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.$$

Satu kasus khusus, sifat komutatif terjadi ketika $\mathbf {D}$ dan $\mathbf {E}$ adalah matriks persegi diagonal yang berukuran sama; maka $\mathbf {DE} =\mathbf {ED}$.

Sifat distributif

Perkalian matriks bersifat distributif terhadap penjumlahan matriks. Misalkan $\mathbf {A}$, $\mathbf {B}$, $\mathbf {C}$, dan $\mathbf {B}$ masing-masing adalah matriks berukuran $m\times n$, $n\times p$, $n\times p$, dan $p\times q$. Sifat distributif mengartikan matriks memiliki sifat distributif (kiri)

$$\mathbf {A} (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {AB} +\mathbf {AC} ,$$

dan sifat distributif (kanan)

$$(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\mathbf {D} =\mathbf {BD} +\mathbf {CD} .$$

Sifat distributif ini dapat dituliskan dalam bentuk entri pada matriks, sebagai

$$\sum _{k}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum _{k}a_{ik}b_{kj}+\sum _{k}a_{ik}c_{kj}$$

$$\sum _{k}(b_{ik}+c_{ik})d_{kj}=\sum _{k}b_{ik}d_{kj}+\sum _{k}c_{ik}d_{kj}.$$

Perkalian dengan skalar

Jika $\mathbf {A}$ adalah sebuah matriks dan $c$ adalah sebuah skalar, maka matriks $c\mathbf {A}$ dan $\mathbf {A} c$ dihasilkan dengan mengalikan (dari kiri atau dari kanan) semua entri di $\mathbf {A}$ dengan $c$. Ketika skalar $c$ bersifat komutatif, didapatkan hubungan $c\mathbf {A} =\mathbf {A} c.$

Pada kasus hasil perkalian $\mathbf {AB}$ terdefinisi (dengan kata lain, banyaknya kolom di $\mathbf {A}$ sama dengan banyaknya baris di $\mathbf {B}$), akan berlaku

$c(\mathbf {AB} )=(c\mathbf {A} )\mathbf {B}$ dan $(\mathbf {A} \mathbf {B} )c=\mathbf {A} (\mathbf {B} c).$

Jika skalar bersifat komutatif, keempat matriks tersebut sama. Sifat ini muncul dari ke-bilinear-an (bilinearity) hasil kali skalar:

$c\left(\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right)=\sum _{k}(ca_{ik})b_{kj}=\sum _{k}a_{ik}(b_{kj}c)=\left(\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right)c.$

Transpos

Jika entri pada matriks bersifat komutatif, maka transpos dari hasil perkalian matriks-matriks adalah hasil perkalian dengan urutan yang dibalik, dari transpos dari matriks-matriks tersebut. Secara simbolis ini dinyatakan sebagai

$(\mathbf {AB} )^{\mathsf {T}}=\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}$

dengan ^T menyatakan operasi transpos, yakni operasi yang mengubah kolom matriks menjadi baris dan sebaliknya. Hal ini tidak berlaku bagi matriks dengan entri yang tidak komutatif; karena entri-entri yang dihasilkan dari perkalian akan berubah ketika urutan perkalian dibalik.

Sifat asosiatif

Untuk sebarang matriks $\mathbf {A}$, $\mathbf {B}$, dan $\mathbf {C}$, hasil perkalian $(\mathbf {AB} )\mathbf {C}$ dan $\mathbf {A} (\mathbf {BC} )$ terdefinisi jika dan hanya banyaknya kolom di $\mathbf {A}$ sama dengan banyaknya baris di $\mathbf {B}$, dan banyaknya kolom di $\mathbf {B}$ sama dengan banyaknya baris di $\mathbf {C}$. Jika salah satu hasil perkalian tersebut terdefinisi, hasil perkalian yang lain juga terdefinisi. Dalam kasus ini, matriks memiliki sifat asosiatif

$$(\mathbf {AB} )\mathbf {C} =\mathbf {A} (\mathbf {BC} ).$$

Seperti sembarang operasi asosiatif lainnya, penggunaan tanda kurung tidak diperlukan, sehingga cukup menulis hasil perkalian tersebut sebagai $\mathbf {ABC} .$ Sifat ini dapat diperumum ke perkalian yang melibatkan banyak matriks, asal dimensi mereka memungkinkan perkalian terjadi. Dengan kata lain, jika $\mathbf {A} _{1},\,\mathbf {A} _{2},\,\dots ,\,\mathbf {A} _{n}$ adalah matriks-matriks, dengan banyaknya kolom $\mathbf {A} _{i}$ sama dengan banyak baris $\mathbf {A} _{i+1}$ untuk $i=1,\,\dots ,\,n-1$, maka hasil perkalian

$$\prod _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{n}$$

terdefinisi dan hasilnya tidak bergantung pada urutan perkalian yang dilakukan, selama urutan dari matriks-matriks tidak berubah.

Sifat ini dapat dibuktikan secara langsung tapi rumit dengan melakukan manipulasi penjumlahan. Sifat ini juga merupakan hasil dari fakta matriks menyatakan pemetaan linear. Dengan demikian, sifat asosiatif matriks adalah kasus spesifik dari sifat asosiatif komposisi fungsi.

Kompleksitas tidak asosiatif

Walaupun hasil perkalian matriks tidak bergantung pada urutan operasi yang dilakukan (selama urutan matriks-matriks tidak diubah), kompleksitas komputasi perkalian dapat sangat bergantung pada urutan operasi. Sebagai contoh, misalkan $\mathbf {A}$, $\mathbf {B}$, dan $\mathbf {C}$ masing-masing merupakan matriks berukuran $10\times 30$, $30\times 5$, dan $5\times 60$. Menghitung $(\mathbf {AB} )\mathbf {C}$ memerlukan $10\times 30\times 5+10\times 5\times 60=4500$ operasi perkalian; sedangkan menghitung $\mathbf {A} (\mathbf {BC} )$ memerlukan $30\times 5\times 60+10\times 30\times 60=27000$ perkalian.

Algoritma-algoritma telah dikembangkan untuk mencari urutan perkalian yang terbaik. Ketika banyaknya matriks yang perlu dikali, $n$, meningkat, dapat ditunjukkan pemilihan urutan perkalian yang terbaik memiliki kompleksitas ${\mathcal {O}}(n\log n).$

Detail

perkalian matriks adalah suatu operasi biner yang menghasilkan suatu matriks dari dua matriks dengan entri dalam suatu medan, atau secara lebih umum dalam suatu gelanggang atau bahkan suatu semigelanggang. Produk matriks dirancang untuk menampilkan komposisi peta linear yang diwakili oleh matriks-matriks. Oleh sebab itu pengalian matriks merupakan operasi paling mendasar dalam bidang aljabar linier, dan karena itu banyaknya penerapannya di bidang matematika. Pengalian matriks juga merupakan operasi yang penting dalam matematika terapan, fisika, dan teknik. Secara lebih rinci, jika A adalah suatu matriks n × m dan B adalah suatu matriks m × p, hasil pengalian matriks AB adalah suatu matriks n × p, dimana entri m di sepanjang baris A dikalikan dengan entri m di sepanjang kolom B dan dijumlahkan untuk menghasilkan suatu entri dari AB. Apabila dua peta linear diwakili oleh matriks-matriks, maka pengalian matriks mewakili komposisi dua peta.

Definisi produk matriks membutuhkan adanya entri-entri dari suatu semigelanggang, dan tidak membutuhkan pengalian unsur-unsur semigelanggang agar komutatif. Dalam banyak penerapan, unsur-unsur matriks menjadi bagian suatu medan, meskipun semigelanggang tropikal juga merupakan suatu pilihan umum untuk masalah jarak terpendek. Bahkan dalam kasus matriks-matriks atas medan-medan, hasil pengaliannya pada umumnya tidak komutatif, meskipun dalam penjumlahan matriks bersifat asosiatif dan distributif. Matriks-matriks identitas (yaitu matriks persegi dimana entri-entrinya bernilai nol di luar diagonal utama dan 1 pada diagonal utama) adalah unsur-unsur identitas dari pengalian matriks. Maka dari itu, matriks n x n pada suatu gelanggang membentuk suatu gelanggang, yang tidak komutatif kecuali jika n=1 dan gelanggang dasarnya komutatif.