Trigonometri bola

Segitiga bola adalah segitiga yang dibentuk dari perpotongan tiga "lingkaran besar" dalam sebuah bola, seperti segitiga ABC dalam gambar. Trigonometri bola mempelajari hubungan antara fungsi trigonometri dengan sisi-sisi dan sudut-sudut segitiga tersebut.

Trigonometri bola (Inggris: spherical trigonometry) adalah cabang geometri yang mempelajari hubungan antara fungsi trigonometri dengan sisi-sisi serta sudut-sudut yang dibentuk oleh segitiga bola. Segitiga bola adalah segitiga yang dibentuk oleh tiga lingkaran besar (lingkaran yang pusatnya sama dengan pusat bola) pada permukaan bola.

Rumus-rumus dalam trigonometri bola

Di antara rumus yang berlaku dalam sebuah segitiga bola dengan tiga sudut $A$, $B$, $C$ dan tiga sisi $a$, $b$, $c$ adalah hukum kosinus, yaitu:

$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\!$

$\cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\!$

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,\!$

hukum sinus, yaitu:

${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}},$

dan hukum kotangen, yaitu:

${\begin{array}{lll}{\text{(CT1)}}\quad &\cos b\,\cos C=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C,\\[0ex]{\text{(CT2)}}&\cos b\,\cos A=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A,\\[0ex]{\text{(CT3)}}&\cos c\,\cos A=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A,\\[0ex]{\text{(CT4)}}&\cos c\,\cos B=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B,\\[0ex]{\text{(CT5)}}&\cos a\,\cos B=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B,\\[0ex]{\text{(CT6)}}&\cos a\,\cos C=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C.\end{array}}$

Sisi-sisi sebuah segitiga bola dapat diambil sinus dan kosinusnya, karena sisi-sisi tersebut sebenarnya adalah busur dari lingkaran besar sehingga dapat dinyatakan dalam satuan sudut seperti radian atau derajat.

Penerapan

Hisab arah kiblat

Lihat pula: Kiblat § Hisab dengan trigonometri bola

Rumus trigonometri bola dapat diterapkan untuk menghitung (hisab) arah kiblat dari koordinat tertentu. Untuk menghitungnya, digunakan segitiga bola $\triangle UTQ$ terdiri dari tiga titik: lokasi tempat tersebut $T$, lokasi kiblat $Q$, dan kutub utara adalah $U$. Arah kiblat adalah arah $TQ$, atau searah lingkaran besar yang melewati $T$ dan $Q$. Arah ini dapat juga dinyatakan sebagai sudut terhadap arah utara yaitu $\angle UTQ$ atau $\angle q$. Arah ini dapat dihitung sebagai fungsi dari posisi lintang setempat $L_{T}$, posisi lintang kiblat $L_{Q}$, serta selisih bujur antara lokasi setempat dengan lokasi kiblat$\Delta B$.

Dari hukum kotangen trigonometri bola dapat diturunkan:

$\cot q={\frac {\sin L_{T}\cos \Delta B-\cos L_{T}\tan L_{Q}}{\sin \Delta B}}$, atau
$q=\cot ^{-1}{\frac {\sin L_{T}\cos \Delta B-\cos L_{T}\tan L_{Q}}{\sin \Delta B}}$

Arah kiblat dari suatu lokasi dapat dihitung dengan trigonometri bola. Ilustrasi penentuan arah kiblat dari Yogyakarta, Indonesia dengan metode ini.

Daftar pustaka

• King, David A. (1986). "Ḳibla: Astronomical Aspects". Dalam Bosworth, C. E.; van Donzel, E.; Lewis, B.; Pellat, Ch. Encyclopaedia of Islam. Volume V: Khe–Mahi (edisi ke-2). Leiden: E. J. Brill. hlm. 83–88. ISBN 978-90-04-07819-2. 
• Hadi Bashori, Muhammad (2015). Pengantar Ilmu Falak. Jakarta: Pustaka Al Kautsar. ISBN 978-979-592-701-3. 
• Todhunter, I. (1886). Spherical Trigonometry (edisi ke-5th). MacMillan.