Lihat sumber Grup-p

{{periksaterjemahan|en|p-group}}
{{Distinguish|grup-N (teori kategori)}}
{{Group theory sidebar |Finite}}
{{DISPLAYTITLE:grup-{{mvar|p}}}}
Dalam [[matematika]], khususnya [[teori grup]], pada [[bilangan prima]] ''p'', a '''grup-''p''''' adalah [[Grup (matematika) | grup]] di mana [[Urutan elemen grup | urutan]] dari setiap elemen adalah [[Daya (matematika) | daya]] dari '' p ''. Artinya, untuk setiap elemen '' g '' dari grup-'' p '' '' G '', terdapat [[bilangan bulat nonnegatif]] '' n '' sehingga produk dari ''p<sup>n</sup>'' salinan '' g '', dan tidak lebih sedikit, sama dengan [[elemen identitas]]. Urutan elemen yang berbeda mungkin kekuatan yang berbeda dari '' p ''.

[[Grup Abelian | Abelian]] '' p '' - grup juga disebut '''primer-''p''''' atau hanya '''primer'''.

Sebuah [[grup terbatas]] adalah grup '' p '' jika dan hanya jika [[Urutan grup | urutan]] (jumlah elemennya) adalah pangkat dari '' p ''. Diberikan grup terbatas '' G '', [[Teorema Sylow]] menjamin keberadaan [[subgrup]] dari '' G '' dengan urutan '' p<sup> n </sup> '' untuk setiap [[prime power]] '' p<sup> n </sup> '' yang membagi urutan '

Sisa artikel ini membahas grup '' p '' terbatas. Untuk contoh grup abelian '' p '' tak hingga, lihat [[Grup Prüfer]], dan untuk contoh grup [[Grup sederhana | sederhana]] '' p '' tak terbatas, lihat [[Grup monster Tarski]].

== Sifat ==

Setiap grup-'' p '' adalah [[grup periodik | periodik]] karena menurut definisi setiap elemen memiliki [[urutan hingga]].

Jika '' p '' adalah bilangan prima dan '' G '' adalah segrup urutan ''p''<sup>''k''</sup>, kemudian '' G '' memiliki subgrup biasa ''p''<sup>''m''</sup> untuk setiap 1 ≤ ''m'' ≤ ''k''.  Ini diikuti oleh induksi, menggunakan [[Teorema Cauchy (teori grup) | Teorema Cauchy]] dan [[Teorema Korespondensi (teori grup) | Teorema Korespondensi]] untuk grup. Sketsa buktinya adalah sebagai berikut: karena [[pusat grup | pusat]] '' Z '' dari '' G '' adalah [[grup trivial | non-trivial]] (lihat di bawah), menurut [[Teorema Cauchy (teori grup) | Teorema Cauchy]] '' Z '' memiliki subgrup '' H '' dari urutan '' p ''. Menjadi pusat di '' G '', '' H '' selalu normal di '' G ''.  Sekarang kita dapat menerapkan hipotesis induktif ke '' G/H '', dan hasilnya mengikuti Teorema Korespondensi.

== Pusat non-trivial ==
Salah satu hasil standar pertama yang menggunakan [[persamaan kelas]] adalah bahwa pusat grup '' p '' berhingga non-trivial, tidak boleh menjadi subgrup trivial.<ref>[[Kelas konjugasi#Contoh | bukti]]</ref>

This forms the basis for many inductive methods in ''p''-groups.

Misalnya, [[normalizer]] '' N '' dari [[subgrup yang tepat]] '' H '' dari '' p '' terbatas, grup '' G '' dengan benar berisi '' H '', karena untuk [[contoh counter]] dengan ''H'' = ''N'', pusat '' Z '' ada di '' N '', dan begitu juga di '' H '', tapi kemudian ada contoh yang lebih kecil ''H''/''Z'' yang normalnya masuk ''G''/''Z'' adalah ''N''/''Z'' = ''H''/''Z'', menciptakan keturunan yang tak terbatas. Sebagai akibatnya, setiap grup '' p '' yang terbatas adalah [[grup nilpoten | nilpoten]].

Di arah lain, setiap [[subgrup normal]] dari '' p '' terbatas - kelompok memotong pusat secara non-sepele seperti yang dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan elemen '' N '' yang diperbaiki ketika '' G '' bekerja pada '' N '' melalui konjugasi. Karena setiap subgrup pusat normal, Oleh karena itu, setiap subkelompok normal minimal dari grup '' p '' terbatas adalah pusat dan memiliki urutan '' p ''. Memang, [[socle (matematika) | socle]] dari grup '' p '' berhingga adalah subkelompok dari pusat yang terdiri dari elemen pusat urutan '' p ''.

Jika '' G '' adalah grup '' p '' -, maka ''G''/''Z'', dan karena itu juga memiliki pusat non-trivial. Preimage dalam '' G '' dari pusat '' G ''/'' Z '' disebut [[Pusat (teori grup)#Pusat yang lebih tinggi | pusat kedua]] dan grup ini memulai pusat atas. Menggeneralisasi komentar sebelumnya tentang socle, sebuah '' p '' yang terbatas, grup dengan urutan '' p<sup> n </sup> '' berisi subgrup normal dari order '' p<sup> i </sup> '' dengan 0 ≤ ''i'' ≤ ''n'', dan subgrup normal manapun ''p<sup>i</sup>'' terkandung di pusat '' i '' ''Z''<sub>''i''</sub>. Jika subgrup normal tidak terdapat di ''Z''<sub>''i''</sub>, lalu perpotongannya dengan ''Z''<sub>''i''+1</sub> memiliki ukuran setidaknya ''p''<sup>''i''+1</sup>.

== Automorfisme ==
Grup [[automorfisme grup | automorfisme]] grup '' p '' dipelajari dengan baik. Sama seperti setiap grup '' p '' yang terbatas memiliki pusat non-trivial sehingga [[grup automorfisme dalam]] adalah hasil bagi grup yang tepat, setiap grup '' p '' terbatas memiliki non-trivial [[grup automorfisme luar]]<!-- Gaschuetz. Faktanya orang mencoba mencari tahu seberapa besar itu, dugaan, minimal counterexample order p^6, yada yada-->. Setiap automorfisme dari '' G '' menginduksi automorfisme ''G''/Φ(''G''), dimana Φ(''G'') adalah [[subgrup Frattini]] dari '' G ''. Hasil bagi G/Φ(''G'') adalah [[grup abelian dasar]] dan [[grup automorfisme]] adalah [[grup linear umum]], jadi sangat dipahami. Peta dari kelompok automorfisme '' G '' ke dalam kelompok linier umum ini telah dipelajari oleh [[William Burnside | Burnside]], yang menunjukkan bahwa kernel dari peta ini adalah grup '' p ''. <!-- berikan teorema yang sesuai untuk aksi pada Ω dan socle -->

== Lihat pula ==
* [[Grup elementer]]
* [[Peringkat Prüfer]]
* [[Grup-P reguler]]<!-- termasuk struktur komutator daya -->

== Referensi ==
{{Reflist}}
'''Catatan buku'''
{{Refbegin}}
*{{Citation | last1=Besche | first1=Hans Ulrich | last2=Eick | first2=Bettina | last3=O'Brien | first3=E. A. | title=A millennium project: constructing small groups | mr=1935567 | year=2002 | journal=International Journal of Algebra and Computation | volume=12 | issue=5 | pages=623–644 | doi=10.1142/S0218196702001115 | url=https://semanticscholar.org/paper/6daa8b686620e9dadd43b4e3a61a199367abaec3 }}
*{{Citation | last1=Burnside | first1=William | author1-link=William Burnside | title=Theory of groups of finite order | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1897 | url=https://books.google.com/books?id=yBgPAAAAIAAJ&printsec=titlepage }}
*{{Citation | last1=Glauberman | first1=George | author1-link=George Glauberman | title=Finite simple groups (Proc. Instructional Conf., Oxford, 1969) | publisher=[[Academic Press]] | location=Boston, MA | mr=0352241 | year=1971 | chapter=Global and local properties of finite groups | pages=1–64}}
*{{citation | last1=Hall Jr. | first1=Marshall | author-link1 = Marshall Hall (mathematician) | last2=Senior | first2=James K. | title=The Groups of Order 2''<sup>n</sup>'' (''n'' ≤ 6) | publisher=Macmillan | location=London | year=1964 | mr=168631 | lccn=64016861}} — An exhaustive catalog of the 340 non-abelian groups of order dividing 64 with detailed tables of defining relations, constants, and [[Lattice of subgroups|lattice]] presentations of each group in the notation the text defines. "Of enduring value to those interested in [[finite groups]]" (from the preface).
*{{Citation | last1=Hall | first1=Philip | author1-link=Philip Hall | title=The classification of prime-power groups | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00217491X | doi=10.1515/crll.1940.182.130 | mr=0003389 | year=1940 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | issn=0075-4102 | volume=1940 | issue=182 | pages=130–141 | accessdate=2020-12-20 | archive-date=2021-03-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210304132626/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00217491X | dead-url=no }}
*{{Citation | last1=Leedham-Green | first1=C. R. | author1-link=Charles Leedham-Green | last2=McKay | first2=Susan | title=The structure of groups of prime power order | publisher=[[Oxford University Press]] | series=London Mathematical Society Monographs. New Series | isbn=978-0-19-853548-5 | mr=1918951 | year=2002 | volume=27}}
*{{Citation | last1=Sims | first1=Charles | title=Enumerating p-groups | mr=0169921 | year=1965 | journal=Proc. London Math. Soc. |series=Series 3 | volume=15 | pages=151–166 | doi=10.1112/plms/s3-15.1.151}}
{{Refend}}
[[Kategori:Grup-P| ]]