Lihat sumber Matriks stokastik

{{For|matriks dengan entri-entri yang stokastik|Matriks acak}}

Dalam [[matematika]], '''matriks stokastik''' adalah [[matriks persegi]] yang digunakan untuk peralihan yang terjadi pada [[rantai Markov]]. Matriks ini juga dikenal dengan sebutan '''matriks probabilitas''', '''matriks transisi''', '''matriks subtitusi''', dan '''matriks Markov'''.<ref name="Gagniuc2017" />{{rp|9-11}} Setiap entri pada matriks stokastik berupa [[bilangan real]] tak negatif yang menyatakan suatu [[probabilitas]].<ref name="Gagniuc2017">{{Cite book|last=Gagniuc|first=Paul A.|year=2017|title=Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation|location=USA, NJ|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-119-38755-8|pages=9–11}}</ref>{{rp|9-11}}<ref>{{Cite book|last1=Asmussen|first1=S. R.|year=2003|title=Applied Probability and Queues|isbn=978-0-387-00211-8|series=Stochastic Modelling and Applied Probability|volume=51|pages=3–8|chapter=Markov Chains|doi=10.1007/0-387-21525-5_1}}</ref> Matriks ini dikembangkan oleh [[Andrey Markov]] pada awal abad ke-20, dan saat ini digunakan pada banyak bidang sains, termasuk [[teori probabilitas]], [[statistika]], [[matematika keuangan]], dan [[aljabar linear]], juga [[ilmu komputer]] dan [[genetika populasi]].<ref name="Gagniuc2017" />{{rp|1–8}} Ada beberapa definisi berbeda dan tipe dari matriks stokastik:<ref name="Gagniuc2017" />{{rp|9–11}}

: '''Matriks stokastik kanan''' adalah matriks real persegi dengan jumlah dari setiap elemen pada baris sama dengan 1.
: '''Matriks stokastik kiri''' adalah matriks real persegi dengan jumlah dari setiap elemen pada kolom sama dengan 1.
: '''Matriks stokastik ganda''' adalah matriks persegi dengan elemen-elemen tak negatif dan jumlah dari setiap elemen pada baris maupun pada kolom sama dengan 1.

Dengan dasar yang sama, '''vektor stokastik''' (juga disebut '''vektor probabilitas''') adalah [[Vektor Euklides|vektor]] yang elemen-elemennya berupa bilangan real tak negatif dan totalnya sama dengan 1. Artikel ini menggunakan konvensi<ref name="Gagniuc2017" />{{rp|1–8}} matriks stokastik kanan dan vektor probabilitas berupa vektor baris, ketimbang matriks stokastik kiri dan vektor probabilitas berupa vektor kolom.

== Sejarah ==
[[Berkas:Andrej_Markov.jpg|jmpl|[[Andrey Markov]] pada tahun 1886]]
Matriks stokastik dikembangkan bersama dengan konsep [[rantai Markov]] oleh [[Andrey Markov]], seorang matematikawan Rusia dan profesor di [[Universitas Negeri Sankt-Peterburg|Universitas St. Petersburg]], yang mempublikasikan topik ini pada tahun 1906.<ref name="Gagniuc2017" />{{rp|1–8}}<ref name=":0">{{cite journal|last1=Hayes|first1=Brian|year=2013|title=First links in the Markov chain|journal=American Scientist|volume=101|issue=2|pages=92–96|doi=10.1511/2013.101.92}}</ref> Topik ini awalnya ditujukan untuk analisis linguistik dan subjek-subjek matematika lain seperti mengocok kartu, tapi rantai dan matriks Markov dengan cepat diterapkan pada bidang-bidang lain.<ref name="Gagniuc2017" />{{rp|1-8}}<ref name=":0" /><ref>''Charles Miller Grinstead; James Laurie Snell (1997). Introduction to Probability. American Mathematical Soc. pp. 464–466. {{isbn|978-0-8218-0749-1}}.''</ref>

Matriks stokastik dikembangkan lebih jauh oleh [[Andrey Kolmogorov]], yang memperumumnya untuk proses Markov dengan waktu yang kontinu.<ref>{{cite journal|last1=Kendall|first1=D. G.|last2=Batchelor|first2=G. K.|last3=Bingham|first3=N. H.|last4=Hayman|first4=W. K.|last5=Hyland|first5=J. M. E.|last6=Lorentz|first6=G. G.|last7=Moffatt|first7=H. K.|last8=Parry|first8=W.|last9=Razborov|first9=A. A.|year=1990|title=Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987)|journal=Bulletin of the London Mathematical Society|volume=22|issue=1|page=33|doi=10.1112/blms/22.1.31|last10=Robinson|first10=C. A.|last11=Whittle|first11=P.}}</ref> Pada tahun 1950-an, makalah yang menggunakan matriks stokastik muncul pada bidang [[ekonometrika]]<ref>{{Cite journal|last=Solow|first=Robert|date=1 January 1952|title=On the Structure of Linear Models|journal=Econometrica|volume=20|issue=1|pages=29–46|doi=10.2307/1907805|jstor=1907805}}</ref> dan [[teori sirkuit]].<ref>{{Cite journal|last=Sittler|first=R.|date=1 December 1956|title=Systems Analysis of Discrete Markov Processes|journal=IRE Transactions on Circuit Theory|volume=3|issue=4|pages=257–266|doi=10.1109/TCT.1956.1086324|issn=0096-2007}}</ref> Satu dekade kemudian, matriks stokastik muncul pada lebih banyak bidang, dari [[ilmu perilaku]]<ref>{{Cite journal|last=Evans|first=Selby|date=1 July 1967|title=Vargus 7: Computed patterns from markov processes|journal=Behavioral Science|language=en|volume=12|issue=4|pages=323–328|doi=10.1002/bs.3830120407|issn=1099-1743}}</ref> ke [[geologi]]<ref>{{Cite journal|last=Gingerich|first=P. D.|date=1 January 1969|title=Markov analysis of cyclic alluvial sediments|journal=Journal of Sedimentary Research|language=en-US|volume=39|issue=1|pages=330–332|bibcode=1969JSedR..39..330G|doi=10.1306/74d71c4e-2b21-11d7-8648000102c1865d|issn=1527-1404}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Krumbein|first=W. C.|last2=Dacey|first2=Michael F.|date=1 March 1969|title=Markov chains and embedded Markov chains in geology|journal=Journal of the International Association for Mathematical Geology|language=en|volume=1|issue=1|pages=79–96|doi=10.1007/BF02047072|issn=0020-5958}}</ref> sampai rencana tata ruang.<ref>{{Cite journal|last=Wolfe|first=Harry B.|date=1 May 1967|title=Models for Conditioning Aging of Residential Structures|journal=Journal of the American Institute of Planners|volume=33|issue=3|pages=192–196|doi=10.1080/01944366708977915|issn=0002-8991}}</ref> Dalam masa ini pula, aspek teoritis dikembangkan untuk memperluas fungsi dan kegunaan matriks stokastik dan rantai Markov.

Dari tahun 1970-an sampai saat ini, penggunaan matriks stokastik dapat ditemukan pada hampir semua bidang yang memerlukan analisis formal, dari [[teknik struktur]]<ref>{{Cite journal|last1=Krenk|first1=S.|date=November 1989|title=A Markov matrix for fatigue load simulation and rainflow range evaluation|journal=Structural Safety|language=en|volume=6|issue=2–4|pages=247–258|doi=10.1016/0167-4730(89)90025-8}}</ref> sampai [[Diagnosis (medis)|diagnosis medis]]<ref>{{Cite journal|last=Beck|first=J.Robert|last2=Pauker|first2=Stephen G.|date=1 December 1983|title=The Markov Process in Medical Prognosis|journal=Medical Decision Making|language=en|volume=3|issue=4|pages=419–458|doi=10.1177/0272989X8300300403|issn=0272-989X|pmid=6668990}}</ref> sampai [[Manajemen sumber daya manusia|manajemen personalia]].<ref>{{Cite journal|last=Gotz|first=Glenn A.|last2=McCall|first2=John J.|date=1 March 1983|title=Sequential Analysis of the Stay/Leave Decision: U.S. Air Force Officers|journal=Management Science|volume=29|issue=3|pages=335–351|doi=10.1287/mnsc.29.3.335|issn=0025-1909}}</ref>

== Definisi dan sifat-sifat ==
Matriks stokastik mencirikan suatu [[rantai Markov]] {{math|'''''X'''''<sub>''t''</sub>}} atas [[ruang probabilitas]] [[Himpunan hingga|terhingga]] ''S'' dengan [[kardinalitas]] {{mvar|S}}. Misalkan [[Peluang (matematika)|peluang]] dari berpindah dari keadaan {{mvar|i}} ke keadaan {{mvar|j}} dalam satu tahap waktu adalah {{math|1=Pr(''j''{{!}}''i'') = ''P''<sub>''i'',''j''</sub>}}. Misalkan pula matriks stokastik <math>\mathbf P</math> dengan {{math|''P''<sub>''i'',''j''</sub>}} menyatakan elemen baris ke-{{mvar|i}} dan kolom ke-{{mvar|j}}, yakni

<math display="block">\mathbf P=\left[\begin{matrix}
P_{1,1}&P_{1,2}&\dots&P_{1,j}&\dots&P_{1,S}\\
P_{2,1}&P_{2,2}&\dots&P_{2,j}&\dots&P_{2,S}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\
P_{i,1}&P_{i,2}&\dots&P_{i,j}&\dots&P_{i,S}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\
P_{S,1}&P_{S,2}&\dots&P_{S,j}&\dots&P_{S,S}\\
\end{matrix}\right].</math>

Karena peluang berpindah dari keadaan {{mvar|i}} ke semua kemungkinan keadaan haruslah sama dengan 1, <math display="block">\sum_{j=1}^S P_{i,j}=1;\,</math>maka matriks <math>\mathbf P</math> adalah matriks stokastik kanan.<ref name="Gagniuc2017" />{{rp|1–8}}

Penjumlahan elemen-demi-elemen dari baris ke-{{mvar|i}} matriks <math>\mathbf P</math> dapat ditulis secara ringkas sebagai <math>\mathbf {P1} = \mathbf 1</math>, dengan <math>\mathbf1</math> adalah vektor berdimensi-{{mvar|S}} dengan semua elemennya bernilai 1. Menggunakan persamaan ini, dapat ditunjukkan bahwa perkalian dua matriks stokastik <math>\mathbf P'</math> dan <math>\mathbf P''</math> juga berupa matriks stokastik:<math>\mathbf {P'P''1} = \mathbf {P'}(\mathbf{P''1}) = \mathbf {P'}\mathbf1 = \mathbf1</math>. Dinyatakan secara umum, <math>\mathbf P^k</math> sebagai matriks pangkat ke-{{mvar|k}} dari <math>\mathbf P</math> juga berupa matriks stokastik kanan. Matriks perpangkatan ini menyimpan informasi peralihan antar keadaan secara lebih umum. Matriks elemen-elemen <math>\mathbf P^k</math> berisi peluang peralihan dari satu keadaan ke keadaan lain dalam {{mvar|k}} tahap Sebagai contoh, peluang peralihan dari keadaan {{mvar|i}} ke keadaan {{mvar|j}} dalam dua tahap dapat terlihat dari elemen ke-{{math|(''i'', ''j'')}} kuadrat <math>\mathbf P</math>:

: <math>\left(\mathbf P^2\right)_{i,j}.</math>

== Referensi ==
{{Reflist}}{{Kelas matriks}}
{{Authority control}}