Lihat sumber Diferensial total

{{Kalkulus| Diferensial}}
'''Diferensial total''' suatu fungsi dapat berarti [[gradien]] dari fungsi tersebut, yang merupakan jumlah dari semua diferensial parsial terhadap semua variabel independen.

== Penjelasan ==
Mengikuti {{harvtxt|Goursat|1904|loc=I, §15}}, untuk fungsi-fungsi dengan lebih dari satu variabel independen,<ref>{{Citation | last1=Goursat | first1=Édouard <!--| authorlink=Édouard Goursat-->|title=A course in mathematical analysis: Vol 1: Derivatives and differentials, definite integrals, expansion in series, applications to geometry| publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | others= E. R. Hedrick | mr=0106155  | year=1904 | publication-date=1959|url=http://www.archive.org/details/coursemathanalys01gourrich}}.
</ref>

: <math> y = f(x_1,\dots,x_n), \, </math>

'''diferensial parsial''' ''y'' terhadap setiap variabel&nbsp;''x''<sub>1</sub> merupakan bagian utama perubahan ''y'' yang dihasilkan dari suatu perubahan&nbsp;''dx''<sub>1</sub> dalam variabel tunggal tersebut. Maka, diferensial parsial adalah

: <math> \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 </math>

melibatkan [[partial derivative|derivatif parsial]] ''y'' terhadap &nbsp;''x''<sub>1</sub>. Jumlah semua diferensial parsial itu terhadap semua variabel independen itulah yang merupakan '''diferensial total'''

: <math> dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n, </math>

yang merupakan bagian utama perubahan dalam ''y'' sebagai hasil perubahan-perubahan dalam variabel independen&nbsp;''x''<sub>''i''</sub>.

Lebih tepatnya, dalam konteks kalkulus multivariabel, mengikuti {{harvtxt|Courant|1937ii}}, jika ''f'' adalah sebuah fungsi yang dapat didiferensiasi, maka menurut [[Fréchet derivative|definisi dapatnya suatu fungsi itu didiferensiasi]], inkremen

:<math>\begin{align}
\Delta y &{}\stackrel{\mathrm{def}}{=} f(x_1+\Delta x_1, \dots, x_n+\Delta x_n) - f(x_1,\dots,x_n)\\
&{}= \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n + \varepsilon_1\Delta x_1 +\cdots+\varepsilon_n\Delta x_n
\end{align}</math>

di mana elemen kesalahan (''error term'') ε<sub>&nbsp;''i''</sub> mendekati nol karena inkremen Δ''x''<sub>''i''</sub> bergabung bersama mendekati nol. Jadi, diferensial total dapat secara ketat didefinisikan sebagai

:<math>dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n.</math>
<!--
Since, with this definition,
:<math>dx_i(\Delta x_1,\dots,\Delta x_n) = \Delta x_i,</math>
one has
:<math>dy = \frac{\partial y}{\partial x_1}\,d x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n}\,d x_n.</math>

As in the case of one variable, the approximate identity holds

:<math>dy \approx \Delta y</math>

in which the total error can be made as small as desired relative to <math>\sqrt{\Delta x_1^2+\cdots +\Delta x_n^2}</math> by confining attention to sufficiently small increments.
-->
== Lihat pula ==
* [[Diferensial]]
* [[Diferensial parsial]]
* [[Persamaan diferensial]]

== Referensi ==
{{reflist}}

== Pustaka ==
* {{Citation | last1=Courant | first1=Richard |authorlink=Richard Courant | title=Differential and integral calculus. Vol. I | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-60842-4 | mr=1009558  | year=1937i|publication-date=1988}}.
* {{Citation | last1=Courant | first1=Richard | authorlink=Richard Courant |title=Differential and integral calculus. Vol. II | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-60840-0 | mr=1009559  | year=1937ii|publication-date=1988}}.
* {{Citation | last1=Courant | first1=Richard | authorlink1=Richard Courant| last2=John | first2=Fritz |authorlink2=Fritz John| title=Introduction to Calculus and Analysis Volume 1|series=Classics in Mathematics| publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=3-540-65058-X | year=1999 | mr=1746554  }}
* {{Citation| author1-link=David Eisenbud|first1=David|last1=Eisenbud|author2-link=Joe Harris (mathematician)|first2=Joe|last2=Harris| year = 1998 |title = The Geometry of Schemes| publisher = Springer-Verlag| isbn = 0-387-98637-5}}.
* {{Citation | last1=Fréchet | first1=Maurice | author1-link= Maurice Fréchet | title=La notion de différentielle dans l'analyse générale | mr=1509268  | year=1925 | journal=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série | issn=0012-9593 | volume=42 | pages=293–323}}.

[[Kategori:Persamaan diferensial]]
[[Kategori:Persamaan matematika]]
[[Kategori:Persamaan]]