Lihat sumber Bola (geometri)

[[Berkas:Bola.jpg|jmpl|Bangun bola dengan jari-jari '''<math>r</math>''']]
{{Kegunaanlain|Bola}}
Dalam [[geometri]], '''bola''' adalah bangun ruang [[tiga dimensi]] yang dibentuk oleh [[tak hingga]] [[lingkaran]] ber[[jari-jari]] sama panjang dan berpusat pada satu [[titik]] yang sama. Bola hanya memiliki 1 sisi.

== Persamaan ==
[[Berkas:Sphere and Ball.png|ka|jmpl|Dua jari-jari ortogonal dari suatu bola]]
{{Lihat pula|Fungsi trigonometri|Kordinat bola}}
Dalam geometri analitik , bola dengan pusat {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''z''<sub>0</sub>)}} dan jari jari {{mvar|r}} adalah lokus titik {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} sedemikian rupa sehingga
:<math> (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.</math>

biarkan {{mvar|a, b, c, d, e}} [[bilangan real]] dengan sebuah {{math|''a'' ≠ 0}} dan put
:<math>x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.</math>
Lalu persamaan
:<math>f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0</math>
tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika <math>\rho < 0</math> dan disebut persamaan '''bola imajiner'''. Jika <math>\rho = 0</math>, satu-satunya solusi <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah intinya <math>P_0 = (x_0,y_0,z_0)</math> dan persamaannya disebut persamaan '''titik bola'''. Akhirnya, dalam kasus ini <math>\rho > 0</math>, <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah persamaan bola yang pusatnya adalah <math>P_0</math> dan yang radiusnya adalah <math>\sqrt \rho</math>.<ref name=Albert54 />

Jika {{mvar|a}} dalam persamaan di atas adalah nol maka {{math|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') = 0}} adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.<ref name=Woods266>{{harvnb|Woods|1961|loc=p. 266}}.</ref>

Titik-titik di bola dengan jari-jari <math>r > 0</math> dan pusat <math>(x_0,y_0,z_0)</math> dapat diparameterisasi via
:<math>\begin{align} x &= x_0 + r \sin \theta  \; \cos\varphi \\
y &= y_0 + r \sin  \theta \; \sin\varphi \qquad (0 \leq  \theta \leq \pi,\;  0 \leq \varphi < 2\pi ) \\
z &= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}</math><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=342}}.</ref>

[[Keliling]] <math> \theta </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah ''z'' positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling <math> \varphi </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada ''xy-'' plane.

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan [[integral]] dari bentuk [[diferensial]] berikut:
:<math> x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.</math>

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik,{{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} dan {{math|(''dx'', ''dy'', ''dz'')}}, yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar [[lingkaran]] tentang semua [[diameter]]nya . Karena lingkaran adalah jenis [[elips] khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi [[spheroid prolate]] ; diputar tentang sumbu minor, sebuah [[spheroid oblate]].<ref>{{harvnb|Albert|2016|loc=p. 60}}.</ref>

== Rumus bola ==
=== [[Luas permukaan]] ===
Luas permukaan pada bola yaitu.
:<math>L = 4\pi r^2 \,</math>

[[Archimedes]] pertama kali memperoleh rumus ini<ref name=MathWorld_Sphere>{{MathWorld |title=Sphere |id=Sphere}}</ref> dari fakta bahwa proyeksi ke permukaan lateral dari silinder yang dibatasi adalah pengawet area.<ref>{{harvnb|Steinhaus|1969|loc=p. 221}}.</ref> Pendekatan lain untuk memperoleh rumus berasal dari fakta bahwa rumus tersebut sama dengan turunan rumus untuk volume sehubungan dengan <math>r</math> karena volume total di dalam bola jari-jari <math>r</math> dapat dianggap sebagai penjumlahan dari luas permukaan jumlah yang tidak terbatas dari cangkang bola dengan ketebalan sangat kecil yang ditumpuk secara konseptual di dalam satu sama lain dari jari jari <math>0</math> hingga jari jari <math>r</math>. Pada ketebalan sangat kecil perbedaan antara luas permukaan bagian dalam dan luar setiap shell yang diberikan sangat kecil, dan volume unsur pada jari-jari <math>r</math> hanyalah produk dari luas permukaan pada jari-jari <math>r</math> dan ketebalan sangat kecil.

Pada jari-jari tertentu <math>r</math>, volume tambahan {{math|''( δV )''}} sama dengan produk dari luas permukaan pada jari-jari {{math|''r ( A ( r )''}} dan ketebalan cangkang {{math|''( δr )''}}:
:<math>\delta V \approx A(r) \cdot \delta r. </math>

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume shell:
:<math>V \approx \sum A(r) \cdot \delta r.</math>

Dalam batas ketika {{mvar|''approachesr''}} mendekati nol <ref name="delta">{{cite book
|author1=E.J. Borowski |author2=J.M. Borwein |title=Collins Dictionary of Mathematics
|isbn=978-0-00-434347-1|pages=141, 149}}</ref> persamaan ini menjadi:
:<math>V = \int_0^r A(r) \, dr.</math>

Pengganti <math>V</math>:
:<math>\frac43\pi r^3 = \int_0^r A(r) \, dr.</math>

Membedakan kedua sisi persamaan ini sehubungan dengan <math>r</math> menghasilkan <math>L</math> sebagai fungsi <math>r</math>:
:<math>4\pi r^2 = L(r).</math>

di mana r sekarang dianggap sebagai jari-jari bola yang tetap.

Atau, elemen luas pada bola diberikan dalam [[koordinat bola]] oleh {{math|1=''dA'' = ''r''<sup>2</sup> sin ''θ dθ dφ''}}. Dalam [[Sistem kordinat Kartesius|Kordinat Kartesius]], elemen luas adalah
: <math>dS=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-{\displaystyle \sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}}\prod_{i\ne k}dx_{i},\;\forall k.</math>

Total luas dengan demikian dapat diperoleh dengan [[integral]]:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\varphi = 4\pi r^2.</math>

Bola memiliki [[luas permukaan]] terkecil dari semua permukaan yang membungkus [[volume]] tertentu, dan melingkupi volume terbesar di antara semua permukaan tertutup dengan luas permukaan tertentu.<ref>{{cite journal |last1=Osserman |first1=Robert |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |title=The isoperimetric inequality |date=1978 |volume=84 |page=1187 |url=https://www.ams.org/journals/bull/1978-84-06/S0002-9904-1978-14553-4/ |accessdate=14 December 2019 |ref=Osserman}}</ref> Karenanya bola muncul di alam: misalnya, gelembung dan tetesan air kecil secara kasar berbentuk bola karena tegangan permukaan secara lokal meminimalkan luas permukaan.

[[Luas permukaa]]n relatif terhadap massa bola disebut '''luas permukaan spesifik''' dan dapat dinyatakan dari persamaan yang dinyatakan di atas sebagai
:<math>\mathrm{LPS} = \frac{A}{V\rho} = \frac{3}{r\rho},</math>

di mana ρ adalah kepadatan (rasio massa terhadap volume).

=== [[Volume]] ===
Volume pada bola yaitu:
:<math>V = \frac{4}{3}\pi r^3</math>

Pada setiap <math>x</math> yang diberikan , volume tambahan {{math|''( δV )''}} sama dengan produk dari luas penampang disk pada <math>x</math> dan ketebalannya {{math|''( δx )''}}:
: <math>\delta V \approx \pi y^2 \cdot \delta x.</math>

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume tambahan:
: <math>V \approx \sum \pi y^2 \cdot \delta x.</math>

Dalam batas ketika {{math|''δx''}} mendekati nol,<ref name="delta"/> [[persamaan]] ini menjadi:
: <math>V = \int_{-r}^{r} \pi y^2 dx.</math>

Pada setiap ''x'' yang diberikan , segitiga siku-siku menghubungkan ''x'' , ''y'' dan ''r'' ke titik asal; karenanya, menerapkan [[Teorema Pythagoras]] menghasilkan:
: <math>y^2 = r^2 - x^2.</math>

Menggunakan substitusi ini memberi
: <math>V = \int_{-r}^{r} \pi \left(r^2 - x^2\right)dx,</math>

yang dapat dievaluasi untuk memberikan hasilnya
: <math>V = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) = \frac43\pi r^3.</math>

Rumus alternatif ditemukan menggunakan koordinat bola , dengan elemen volume
: <math> dV=r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi</math>

begitu
: <math>V=\int_0^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta\, d\varphi 
= 2\pi \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta
= 4\pi \int_0^r r'^2\, dr'\ 
=\frac43\pi r^3.</math>
Untuk tujuan paling praktis, volume di dalam bola yang tertulis dalam kubus dapat diperkirakan sekitar 52,4% dari volume kubus, karena {{math|1=''V'' = {{sfrac|{{pi}}|6}} ''d''<sup>3</sup>}}, di mana d adalah diameter bola dan juga panjang sisi kubus dan
{{sfrac|{{pi}}|6}}&nbsp;≈&nbsp;0.5236. Sebagai contoh, bola dengan diameter 1  m memiliki 52,4% volume kubus dengan panjang tepi 1  m, atau sekitar 0,524 m 3

== Geometri bola ==
Elemen dasar geometri bidang Euclidean adalah titik dan garis . Di bola, titik didefinisikan dalam arti biasa. Analog dari "garis" adalah geodesik , yang merupakan lingkaran besar ; ciri utama dari lingkaran besar adalah bahwa bidang yang berisi semua titiknya juga melewati pusat bola. Mengukur dengan panjang busur menunjukkan bahwa jalur terpendek antara dua titik yang terletak di bola adalah segmen yang lebih pendek dari lingkaran besar yang mencakup titik-titik tersebut.

Banyak teorema dari geometri klasik juga berlaku untuk geometri bola, tetapi tidak semua melakukannya karena bola gagal memenuhi beberapa postulat geometri klasik , termasuk postulat paralel . Dalam trigonometri bola , sudut didefinisikan antara lingkaran besar. [[Trigonometri]] bola berbeda dari trigonometri biasa dalam banyak hal. Misalnya, jumlah sudut interior segitiga bulat selalu melebihi 180 derajat. Juga, dua segitiga bundar yang serupa adalah kongruen.

== Gambar ==
[[Berkas:Einstein gyro gravity probe b.jpg|jmpl|Gambar salah satu bidang buatan manusia yang paling akurat, karena membiaskan gambar Einstein di latar belakang. Bola ini adalah giroskop kuarsa berfusi untuk percobaan Gravity Probe B , dan berbeda dalam bentuk dari bola sempurna dengan ketebalan tidak lebih dari 40 atom (kurang dari 10 nm). Diumumkan pada 1 Juli 2008 bahwa para ilmuwan Australia telah menciptakan bola yang bahkan hampir sempurna, akurat hingga 0,3 nm, sebagai bagian dari perburuan internasional untuk menemukan kilogram standar global baru.]]

== Lihat pula ==
* [[N-Bola]]

* [[Frustum bola]]

* [[Fungsi lantai dan langit]]

== Referensi ==
{{Reflist}}

== Pranala luar ==
{{Sister project links}}
* [[planetmath:186|Sphere (PlanetMath.org website)]]
* {{MathWorld |id=Sphere |title=Sphere}}
* [http://en.wikibooks.org/wiki/Mathematica/Uniform_Spherical_Distribution Mathematica/Uniform Spherical Distribution]
* {{cite video
|title=Outside In
|url=http://video.google.com/videoplay?docid=-6626464599825291409
|date=2007-11-14
|accessdate=2007-11-24}} (computer animation showing how the inside of a sphere can turn outside.)
* [http://www.start2code.com/Cresources/sphere-program-cpp.html Program in C++ to draw a sphere using parametric equation]
* [http://mathschallenge.net/index.php?section=faq&ref=geometry/surface_sphere Surface area of sphere proof.]
{{Use dmy dates|date=March 2011}}
{{bangun}}
{{geometri-stub}}

[[Kategori:Geometri]]
[[Kategori:Bentuk]]