Lihat sumber Integral

{{Kalkulus|Integral}}
[[Berkas:Integral example.svg|jmpl|Integral tertentu suatu fungsi dapat digambarkan sebagai area yang dibatasi oleh kurva fungsinya.]]
'''Integral''' adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam [[matematika]]. Integral dan inversnya, [[turunan|diferensiasi]], adalah operasi utama dalam [[kalkulus]]. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi, yaitu matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah {{nowrap|<math display="inline">\int</math>.}}

Bila diberikan suatu [[fungsi (matematika)|fungsi]] ''f'' dari [[variabel (matematika)|variabel]] [[bilangan real|real]] ''x'' dengan [[interval (matematika)|interval]] {{nowrap|<nowiki>[</nowiki>''a'', ''b''<nowiki>]</nowiki>}} dari sebuah garis lurus, '''integral tertentu'''

: <math>\int_a^b \! f(x)\,dx</math>

didefinisikan sebagai [[area (geometri)|area]] yang dibatasi oleh [[grafik fungsi|kurva]] ''f'', sumbu-''x'', sumbu-''y'', serta garis vertikal {{nowrap|''x'' {{=}} ''a''}} dan {{nowrap|''x'' {{=}} ''b''}} dengan area yang berada di atas sumbu-''x'' bernilai positif dan area di bawah sumbu-''x'' bernilai negatif.

Kata ''integral'' juga dapat digunakan untuk merujuk pada [[antiturunan]], sebuah fungsi ''F'' yang turunannya adalah fungsi ''f''. Pada kasus ini, ia disebut sebagai ''integral tak tentu'' dan notasinya ditulis sebagai berikut.

: <math>F = \int f(x)\,dx</math>

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Leibniz]] pada akhir abad ke-17. Melalui [[teorema fundamental kalkulus]] yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika ''f'' adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah [[interval tertutup]] {{nowrap|[''a'', ''b'']}}, jika antiturunan ''F'' dari ''f'' diketahui, integral tertentu dari ''f'' pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

: <math>\int_a^b \! f(x)\,dx = F(b) - F(a)</math>

Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan [[teknik]].

== Terminologi dan notasi ==

=== Standar ===
Integral terhadap {{mvar|x}} dari [[fungsi nilai riil]] {{math|''f''}} dari variabel riil {{mvar|x}} pada interval {{math|[''a'', ''b'']}} dapat ditulis sebagai<ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=":2" />

:<math> \int_a^b f(x)\,dx.</math>

Tanda integral {{math|∫}} mewakili integrasi. Simbol {{mvar|dx}}, disebut [[Diferensial (infinitesimal)|diferensial]] dari variabel {{mvar|x}},<ref name=":0" /> menunjukkan bahwa variabel integrasi adalah {{mvar|x}}. Fungsi dari {{math|''f''(''x'')}} untuk mengintegrasikan dapat disebut yaitu integran. Simbol {{mvar|dx}} dipisahkan dari integrand oleh spasi (seperti yang ditunjukkan). Suatu fungsi dikatakan dapat diintegralkan jika integral dari fungsi di atas domainnya berhingga. Intinya {{mvar|a}} dan {{mvar|b|}} disebut batas integral. Suatu integral dimana batas ditentukan disebut integral pasti. Integral dikatakan melebihi interval {{math|[''a'', ''b'']}}.

Bila integral dipindahkan dari nilai terbatas ''a'' ke batas atas tak terhingga, integral menyatakan batas integral dari ''a'' menjadi nilai ''b'' karena ''b'' tak terhingga. Bila nilai integral semakin mendekati nilai berhingga, maka integral tersebut dikatakan [[konvergensi (matematika)|dapat menyatu]] ke nilai tersebut. Jika tidak, integral dikatakan menyimpang.

Ketika batas dihilangkan, seperti pada
:<math>\int f(x) \,dx,</math>
integral disebut integral tak tentu,<ref name=":0" /><ref name=":1" /> yang merepresentasikan kelas fungsi ([[antiturunan]]) yang turunannya adalah integran. [[Teorema dasar kalkulus]] menghubungkan evaluasi integral pasti ke integral tak tentu. Kadang-kadang, batas integrasi dihilangkan untuk integral tertentu ketika batas yang sama muncul berulang kali dalam konteks tertentu. Biasanya, penulis akan menjelaskan konvensi ini di awal teks yang relevan.

Ada beberapa ekstensi notasi integral untuk mencakup integrasi pada domain tak terbatas, dan atau dalam beberapa dimensi (lihat bagian selanjutnya dari artikel ini).

=== Arti simbol {{math|''dx''}} ===
Secara historis, simbol ''dx'' diambil untuk mewakili "bagian kecil" yang sangat kecil dari [[variabel independen]] ''x'', yang akan dikalikan dengan integrand dan dijumlahkan dalam arti yang tak terbatas. Sedangkan pengertian ini masih berguna secara heuristik, matematikawan kemudian menganggap jumlah yang sangat kecil tidak dapat dipertahankan dari sudut pandang sistem bilangan riil.<ref>Pada abad ke-20, [[Analisis non-standar|analisis non-standar]] dikembangkan sebagai pendekatan baru untuk kalkulus yang menggabungkan konsep ketat infinitesimals dengan menggunakan sistem bilangan yang diperluas yang disebut [[bilangan hiperriil]]. Meskipun ditempatkan pada pijakan aksiomatik yang sehat dan kepentingan dalam dirinya sendiri sebagai area investigasi baru, analisis nonstandar tetap agak kontroversial dari sudut pandang pedagogis, dengan pendukung menunjukkan sifat intuitif infinitesimals untuk siswa pemula kalkulus dan penentang mengkritik kompleksitas logis dari sistem secara keseluruhan.</ref> Dalam kalkulus pengantar, ungkapan ''dx'' oleh karena itu tidak diberi arti yang independen; sebaliknya, ia dipandang sebagai bagian dari simbol integrasi dan berfungsi sebagai pembatasnya di sisi kanan ekspresi yang diintegrasikan.

Dalam konteks yang lebih canggih, ''dx'' dapat memiliki signifikansinya sendiri, artinya bergantung pada bidang matematika tertentu yang sedang dibahas. Saat digunakan dengan salah satu cara ini, notasi Leibnitz asli dipilih untuk diterapkan pada generalisasi definisi asli integral. Beberapa interpretasi umum dari ''dx'' termasuk: fungsi integrator dalam [[integral Riemann – Stieltjes | Integrasi Riemann-Stieltjes]] (ditunjukkan dengan ''dα'' (''x'') secara umum), a [[Ukuran (matematika)|ukuran]] dalam teori Lebesgue (ditunjukkan dengan ''dμ'' secara umum), atau [[bentuk diferensial]] dalam kalkulus eksterior (ditunjukkan dengan <math>dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}</math> secara umum). Dalam kasus terakhir, bahkan huruf ''d'' memiliki arti tersendiri sebagai operator [[turunan eksterior]] pada bentuk diferensial.

Sebaliknya, dalam pengaturan lanjutan, tidak jarang meninggalkan ''dx'' ketika hanya integral Riemann sederhana yang digunakan, atau jenis integral yang tepat tidak penting. Contohnya, seseorang mungkin menulis <math display="inline">\int_a^b (c_1f+c_2g) = c_1\int_a^b f + c_2\int_a^b g </math> untuk mengungkapkan linearitas integral, properti yang dimiliki oleh integral Riemann dan semua generalisasinya.

=== Varian ===
Dalam [[notasi matematika Arab modern]], simbol integral yang dipantulkan [[Berkas:ArabicIntegralSign.svg|16px]] digunakan sebagai pengganti simbol {{math|∫}}, karena skrip Arab dan ekspresi matematika dari kanan ke kiri.<ref>{{Harv|W3C|2006}}.</ref>

Beberapa penulis, terutama yang berasal dari Eropa, menggunakan "d" tegak untuk menunjukkan variabel integrasi (yaitu, {{math|d''x''}} alih-alih {{math|''dx''}}), karena berbicara dengan benar, "d" bukan bagian variabel.

Simbol {{mvar|dx}} tidak selalu ditempatkan setelah {{math|''f''(''x'')}}, seperti misalnya di
:<math>\int\limits_0^1 \frac{3\ dx}{x^2+1}\quad \text{ atau } \quad\int_0^1 dx \int_0^1 dy\ e^{-(x^2+y^2)}. </math>
Pada ekspresi pertama, diferensial diperlakukan sebagai faktor "perkalian" yang sangat kecil, secara formal mengikuti "properti komutatif" saat "dikalikan" dengan ekspresi tersebut 3/(''x''<sup>2</sup>+1). Pada ekspresi kedua, menunjukkan perbedaan pertama menyoroti dan mengklarifikasi variabel yang diintegrasikan terkait praktik yang sangat populer di kalangan fisikawan.

== Sejarah ==
{{Lihat pula|Sejarah kalkulus}}

===Integrasi pra-kalkulus===
Teknik sistematis terdokumentasi pertama yang mampu menentukan integral adalah [[metode kelelahan]] dari [[Yunani kuno]] astronom [[Eudoxus Cnidus|Eudoxus]] (''ca.'' 370 SM), yang berusaha untuk menemukan luas dan volume dengan memecahnya menjadi beberapa divisi yang luas atau volumenya diketahui. Metode tersebut dikembangkan lebih lanjut dan digunakan oleh [[Archimedes]] pada abad ke-3 SM dan digunakan untuk menghitung [[luas lingkaran]], [[luas permukaan]] dan [[volume]] [[bola]], luas [[elips]], luas di bawah [[parabola]], volume segmen revolusi [[paraboloid]], volume segmen [[hiperboloid]] revolusi, dan luas [[spiral]].<ref>{{Cite book|last=Heath|first=Thomas Little|title=Karya Archimedes|publisher=Cambridge University Publications|year=1897|isbn=|location=Inggris|pages=}}</ref>

Metode serupa dikembangkan secara independen di Tiongkok sekitar abad ke-3 M oleh [[Liu Hui]], yang menggunakan untuk mencari luas lingkaran. Metode ini kemudian digunakan pada abad ke-5 oleh ahli matematika ayah dan anak Tionghoa [[Zu Chongzhi]] dan [[Zu Geng (matematikawan)|Zu Geng]] untuk mencari volume bola ({{harvnb|Shea | 2007}}; {{harvnb|Katz|2004|pp=125–126}}).

Di Timur Tengah, Hasan Ibn al-Haytham, dalam bahasa Latin sebagai [[Alhazen]] ({{c.|lk=no|965|1040}}&nbsp;AD) menurunkan rumus untuk jumlah [[pangkat empat]] s. Dia menggunakan hasil untuk melakukan apa yang sekarang disebut integrasi fungsi ini, di mana rumus untuk jumlah kuadrat integral dan [[paraboloid]].<ref name=katz>Katz, V.J. 1995. "Ide Kalkulus dalam Islam dan India." ''Majalah Matematika'' (Asosiasi Matematika Amerika), 68(3):163–174.</ref>

Kemajuan signifikan berikutnya dalam kalkulus integral baru mulai muncul pada abad ke-17. Pada saat ini, karya [[Bonaventura Cavalieri|Cavalieri]] dengan [[metode Indivisibles]] miliknya, dan karya [[Pierre de Fermat|Fermat]], mulai meletakkan dasar-dasar kalkulus modern, dengan Cavalieri menghitung integral dari {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} dengan derajat nilai {{math|''n'' {{=}} 9}} dalam [[rumus kuadrat Cavalieri]]. Langkah selanjutnya dibuat pada awal abad ke-17 oleh [[Isaac Barrow|Barrow]] dan [[Evangelista Torricelli|Torricelli]], yang memberikan petunjuk pertama tentang hubungan antara integrasi. Barrow memberikan bukti pertama dari [[teorema fundamental kalkulus]]. [[John Wallis]] menggeneralisasi metode Cavalieri, menghitung integral dari nilai {{mvar|x}} menjadi kekuatan umum, termasuk kekuatan negatif dan kekuatan pecahan.

===Leibniz dan Newton===
Kemajuan besar dalam integrasi terjadi pada abad ke-17 dengan penemuan independen dari [[teorema dasar kalkulus]] oleh [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] dan [[Isaac Newton|Newton]]. Leibniz menerbitkan karyanya tentang kalkulus sebelum Newton. Teorema menunjukkan hubungan antara integrasi dan diferensiasi. Hubungan tersebut, dikombinasikan dengan kemudahan pembedaan, dapat dimanfaatkan untuk menghitung integral. Secara khusus, teorema dasar kalkulus memungkinkan seseorang untuk memecahkan masalah kelas yang jauh lebih luas. Sama pentingnya adalah kerangka matematika komprehensif yang dikembangkan oleh Leibniz dan Newton. Diberikan nama kalkulus sangat kecil, tersebut memungkinkan untuk analisis fungsi yang tepat dalam domain kontinu. Kerangka ini akhirnya menjadi modern [[kalkulus]], yang notasinya untuk integral diambil langsung dari karya Leibniz.
<!--- Harap, jangan dihapus: berguna untuk verifikasi
Kalimat terakhir awalnya mengatakan 'karya Newton dan Leibniz', tetapi untuk integral, hanya notasi Leibniz yang digunakan. --->

===Formalisasi===
Sementara Newton dan Leibniz memberikan pendekatan sistematis untuk integrasi, pekerjaan mereka tidak memiliki derajat [[Kekakuan#Ketelitian matematika|rigor]]. [[George Berkeley|Bishop Berkeley]] secara mengesankan menyerang langkah langkah yang digunakan Newton, memanggil mereka "[[Analis#Kandungan|hantu dari jumlah yang telah pergi]]". Kalkulus memperoleh pijakan yang lebih kokoh dengan pengembangan [[Limit (matematika)|limit]]. Integrasi pertama kali diformalkan secara ketat, menggunakan batasan, oleh [[Bernhard Riemann | Riemann]]. Meskipun semua fungsi kontinu bagian yang dibatasi adalah Riemann-integrable pada interval yang dibatasi, selanjutnya fungsi yang lebih umum dipertimbangkan terutama dalam konteks [[analisis Fourier]] yang mendefinisikan Riemann tidak berlaku, dan [[Henri Lebesgue|Lebesgue]] merumuskan [[integral#Lebesgue|definisi integral yang berbeda]], didirikan di [[Ukur (matematika)|teori ukuran]] (subbidang dari [[analisis nyata]]). Definisi integral lainnya, memperluas pendekatan Riemann dan Lebesgue, telah diusulkan. Pendekatan ini berdasarkan sistem bilangan real adalah yang paling umum saat ini, tetapi ada pendekatan alternatif, seperti definisi integral sebagai [[bagian standar]] dari jumlah Riemann tak terbatas, berdasarkan sistem [[bilangan hiperreal]].

===Notasi sejarah===
Notasi untuk integral tak tentu diperkenalkan oleh [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] pada tahun 1675 ({{Harvnb|Burton|1988|loc=p.&nbsp;359}}; {{Harvnb|Leibniz|1899|loc=p.&nbsp;154}}). Dia mengadaptasi [[simbol integral]], '''[[∫]]''', dari lambang berbentuk ''[[ſ]]'', singkatan dari ''summa'' (ditulis sebagai ''ſumma''; dari [[Bahasa Latin]] "sum" atau "total"). Notasi modern untuk integral pasti, dengan batas di atas dan di bawah integral, pertama kali digunakan oleh [[Joseph Fourier]] ''Mémoires'' dari Akademi Prancis sekitar tahun 1819–2020, dicetak ulang dalam bukunya tahun 1822 ({{Harvnb|Cajori|1929|loc=pp.&nbsp;249–250}}; {{Harvnb|Fourier|1822|loc=§231}}).

[[Isaac Newton]] menggunakan batang vertikal kecil di atas variabel untuk menunjukkan integrasi, atau menempatkan variabel di dalam kotak. Bilah vertikal mudah dikacaukan pada nilai {{math|{{overset|'''.'''|''x''}}}} atau {{math|''x''′}}, yang digunakan untuk menunjukkan diferensiasi, dan notasi kotak sulit untuk direproduksi oleh printer, jadi notasi tersebut tidak digunakan secara luas.

=== Penggunaan pertama dari istilah tersebut ===
Istilah ini pertama kali dicetak dalam [[bahasa Latin]] pada tahun 1690: "Ergo et horum Integralia aequantur" ([[Jacob Bernoulli|Bernoulli]], Opera 1744, Vol. 1, hal. 423)<ref>{{Citation|last=Roero|first=C.S.|chapter=Gottfried Wilhelm Leibniz, tiga makalah pertama tentang kalkulus (1684, 1686, 1693)|date=2005|title=Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940|pages=46–58|publisher=Elsevier|language=en|doi=10.1016/b978-044450871-3/50085-1|isbn=978-0-444-50871-3}}</ref>.

Istilah ini digunakan dalam paragraf yang mudah dipahami dari [[Guillaume de l'Hôpital]] pada tahun 1696:<ref>{{Cite book|last=L'Hospital|first=Guillaume-François-Antoine de (1661-1704) Auteur du texte|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k205444w|title=Analyse des infiniment petits, pour l'intelligence des lignes courbes|date=1696|language=Bahasa Inggris}}</ref><blockquote>Dans tout cela il n'y a encore que la premiere partie du calcul de M. Leibniz, laquelle consiste à descendre des grandeurs entiéres à leur différences infiniment petites, et à comparer entr'eux ces infiniment petits de quelque genre qu'ils soient: c'est ce qu'on appel calcul différentiel. Pour l'autre partie, qu'on appelle Calcul intégral, et qui consiste à remonter de ces infiniment petits aux grandeurs ou aux touts dont ils sont les différences, c'est-à-dire à en trouver les sommes, j'avois aussi dessein de le donner. Mais M. Leibniz m'ayant écrit qu'il y travailloit dans un Traité qu'il intitule De Scientia infiniti, je n'ay eu garde de prive le public d'un si bel Ouvrage qui doit renfermer tout ce qu'il y a de plus curieux pour la Méthode inverse des Tangentes...</blockquote>"Dalam semua itu, hanya ada bagian pertama dari kalkulus M. Leibniz, yang terdiri dari turun dari besaran integral ke perbedaan kecil tak terhingga, dan dalam membandingkan antara satu sama lain yang sangat kecil tak terhingga dari jenis yang mungkin: inilah yang disebut kalkulus diferensial. Adapun bagian lain, yang disebut kalkulus integral, dan itu terdiri dari kembali ke atas dari yang sangat kecil ke kuantitas, atau bagian penuh dari perbedaan mereka, yaitu untuk menemukan jumlah mereka, saya juga berniat untuk mengungkapkannya. Tetapi mengingat M. Leibniz menulis kepada saya bahwa dia sedang mengerjakannya di sebuah buku yang dia sebut De Scientia infiniti, Saya berhati-hati untuk tidak menghilangkan publik dari karya yang begitu indah yang karena mengandung semua yang paling aneh dalam metode kebalikan dari garis singgung..."

== Interpretasi dari integral ==
Integral muncul dalam banyak situasi praktis. Bila sebuah kolam renang berbentuk persegi panjang dengan dasar datar, maka dari panjang, lebar, dan dalamnya kita dapat dengan mudah menentukan volume air yang dapat ditampungnya (untuk mengisinya), luas permukaannya (untuk menutupinya), dan panjang tepinya (untuk mengikatnya). Tetapi jika berbentuk oval dengan dasar bulat, semua besaran ini membutuhkan integral. Perkiraan praktis mungkin cukup untuk contoh sepele seperti itu, tetapi [[teknik presisi]] (dari disiplin apa pun) membutuhkan nilai yang tepat dan teliti untuk elemen ini.

[[Berkas:Integral approximations.svg|thumb|right|Perkiraan ke integral dari {{radic|{{mvar|x}}}} dari 0 hingga 1, dengan 5 <span style="color:#fec200">■</span>&nbsp; (kuning) partisi titik akhir kanan dan 12 <span style="color:#009246">■</span>&nbsp; (hijau) partisi titik akhir kiri|alt=Contoh perkiraan integral]]
Untuk memulai, pertimbangkan kurva {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} antara {{math|''x'' {{=}} 0}} dan {{math|''x'' {{=}} 1}} dengan {{math|''f''(''x'') {{=}} {{sqrt|''x''}}}} (lihat gambar). Kami bertanya:
:Berapakah luas di bawah fungsi {{mvar|f}}, dalam interval dari 0 sampai 1?
dan menyebut luas dari (belum diketahui) sebagai (pasti) '''integral''' dari {{mvar|f}}. Notasi untuk integral ini adalah
:<math>\int_0^1 \sqrt{x}\ dx.</math>

Sebagai perkiraan pertama, lihat persegi satuan yang diberikan oleh sisi-sisinya {{math|''x'' {{=}} 0}} ke {{math|''x'' {{=}} 1}} dan {{math|''y'' {{=}} ''f''(0) {{=}} 0}} dan {{math|''y'' {{=}} ''f''(1) {{=}} 1}}. Luasnya persis 1. Sebenarnya, nilai sebenarnya dari integral harus kurang dari 1. Mengurangi lebar persegi panjang aproksimasi dan menambah jumlah persegi panjang memberikan hasil yang lebih baik; jadi silangkan interval dalam lima langkah, menggunakan titik aproksimasi 0, 1/5, 2/5, dan seterusnya ke 1. Pasangkan kotak untuk setiap langkah dengan menggunakan tinggi ujung kanan setiap bagian kurva, sehingga {{math|{{sqrt|1/5}}}}, {{math|{{sqrt|2/5}}}}, dan seterusnya {{math|{{sqrt|1}} {{=}} 1}}. Dengan menjumlahkan luas persegi panjang ini, kita akan mendapatkan pendekatan yang lebih baik untuk integral yang dicari, yaitu
:<math>\textstyle \sqrt{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{5}-0\right)+\sqrt{\frac{2}{5}}\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\sqrt{\frac{5}{5}}\left(\frac{5}{5}-\frac{4}{5}\right)\approx 0.7497.</math>

Kami mengambil jumlah nilai fungsi yang tak terhingga dari {{mvar|f}}, dikalikan dengan selisih dua titik aproksimasi berikutnya. Kita dapat dengan mudah melihat bahwa perkiraannya masih terlalu besar. Menggunakan lebih banyak langkah menghasilkan perkiraan yang lebih dekat, tetapi akan selalu terlalu tinggi dan tidak akan pernah tepat. Alternatifnya, mengganti sub-interval ini dengan satu dengan tinggi ujung kiri setiap bagian, kita akan mendapatkan perkiraan yang terlalu rendah: contohnya, dengan dua belas subinterval seperti itu, kita akan mendapatkan nilai perkiraan untuk luas 0,6203.

Ide kuncinya adalah transisi dari menambahkan perbedaan titik aproksimasi ''sangat banyak'' (dikalikan dengan nilai fungsinya masing-masing) menjadi menggunakan halus tak terhingga, atau ''[[infinitesimal]]''. Ketika transisi ini diselesaikan pada contoh di atas, ternyata luas di bawah kurva dalam batas yang disebutkan adalah 2/3.

Notasi dari
:<math>\int f(x)\ dx</math>
menganggap integral sebagai jumlah tertimbang, dilambangkan dengan memanjang {{mvar|s}}, nilai fungsi, {{math|''f''(''x'')}}, dikalikan dengan lebar langkah yang sangat kecil, yang disebut ''diferensial'', dilambangkan dengan {{mvar|dx}}.

<!-- Catatan: Batas integral hari ini bukan bagian dari notasi hingga beberapa saat kemudian, karena Fourier. -->Secara historis, setelah kegagalan upaya awal untuk menafsirkan infinitesimal secara ketat, Riemann secara formal mendefinisikan integral sebagai [[limit (matematika)|limit]] dari jumlah tertimbang, sehingga {{mvar|dx}} menyarankan batas perbedaan (yaitu, lebar interval). Kekurangan ketergantungan Riemann pada interval dan kontinuitas memotivasi definisi yang lebih baru, terutama [[Integral Lebesgue|integral Lebesgue]], yang didasarkan pada kemampuan untuk memperluas gagasan "mengukur" dengan cara yang jauh lebih fleksibel. Demikian notasinya
:<math>\int_A f(x)\ d\mu</math>
mengacu pada jumlah tertimbang di mana nilai fungsi dipartisi, dengan {{mvar|μ}} mengukur bobot yang akan diberikan untuk setiap nilai. Di sini {{mvar|A}} menunjukkan wilayah integral.

{{multiple image
<!-- Parameter penting -->
| align = center
| direction = horizontal
| width = 300
<!-- Parameter ekstra -->
| header = Jumlah Darboux
| header_align = center
| header_background =
| footer =
| footer_align =
| footer_background =
| background color =

|image1=Riemann Integration and Darboux Upper Sums.gif
|width1=300
|caption1=<div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">Darboux upper sums of the function {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup>}}</div>
|alt1=Contoh penjumlahan Darboux atas

|image2=Riemann Integration and Darboux Lower Sums.gif
|width2=300
|caption2=<div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">Darboux lower sums of the function {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup>}}</div>
|alt2=Contoh jumlah Darboux yang lebih rendah
}}

== Definisi formal ==
{{multiple image
| align = right
| direction = vertical
| width = 200

| image = Integral Riemann sum.png
| alt1 = Contoh aproksimasi Integral Riemann
| caption1 = <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">Contoh integral dengan partisi tidak beraturan (terbesar ditandai dengan warna merah)</div>

| image2 = Riemann sum convergence.png
| alt2 = Konvergensi jumlah Riemann
| caption2 = <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">Jumlah Riemann berkumpul</div>
}}

Ada banyak cara untuk mendefinisikan integral secara formal, tidak semuanya setara. Perbedaan tersebut sebagian besar ada untuk menangani kasus khusus yang berbeda yang mungkin tidak dapat diintegrasikan dalam definisi lain, tetapi juga jarang terjadi karena alasan pedagogis. Definisi integral yang paling umum digunakan adalah integral Riemann dan integral Lebesgue.

=== Integral Riemann ===
{{Main|Integral Riemann}}

Integral Riemann didefinisikan dalam istilah [[jumlah Riemann]] fungsi sehubungan dengan ''partisi yang ditandai'' dari sebuah interval.<ref>{{MathWorld |title=Riemann Sum |id=RiemannSum}}</ref> Maka {{math|[''a'', ''b'']}} salah satu bagian [[Interval (matematika)|interval tertutup]] dari garis nyata; lalu "partisi yang diberi tag" dari {{math|[''a'', ''b'']}} adalah urutan yang terbatas

:<math> a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!</math>

Cara membagi interval pada {{math|[''a'', ''b'']}} menjadi {{mvar|n}} mengganti dengan interval {{math|[''x''<sub>''i''−1</sub>, ''x''<sub>''i''</sub>]}} diindeks oleh {{mvar|i}}, yang masing-masing "diberi tag" dengan titik yang berbeda {{math|''t''<sub>''i''</sub> ∈ [''x''<sub>''i''−1</sub>, ''x''<sub>''i''</sub>]}}. A ''Jumlah Riemann'' dari suatu fungsi {{mvar|f}} sehubungan dengan partisi yang ditandai seperti definisi sebagai
:<math>\sum_{i=1}^n f(t_i) \, \Delta_i ; </math>
dengan demikian setiap suku dari jumlah tersebut adalah luas persegi panjang dengan tinggi sama dengan nilai fungsi pada titik yang dibedakan dari sub-interval yang diberikan, dan lebarnya sama dengan lebar sub-interval. Maka {{math|Δ<sub>''i''</sub> {{=}} ''x''<sub>''i''</sub>−''x''<sub>''i''−1</sub>}} menjadi lebar sub-interval {{mvar|i}}; maka ''menghubungkan'' partisi yang diberi tag adalah lebar mengganti interval terbesar yang dibentuk oleh partisi, {{math|max<sub>''i''{{=}}1...''n''</sub> Δ<sub>''i''</sub>}}. ''Integral Riemann'' dari sebuah fungsi {{mvar|f}} selama interval {{math|[''a'', ''b'']}} sama dengan {{mvar|S}} jika:
:Untuk semua nilai {{math|''ε'' &gt; 0}} disana terdapat jumlah {{math|''δ'' &gt; 0}} sedemikian rupa, untuk partisi yang diberi tag {{math|[''a'', ''b'']}} dengan mesh kurang dari {{mvar|δ}}, kami punya
::<math>\left| S - \sum_{i=1}^n f(t_i) \, \Delta_i \right| < \varepsilon.</math>
Ketika tag yang dipilih memberikan nilai maksimum (masing-masing, minimum) dari setiap interval, jumlah Riemann menjadi atas (masing-masing, lebih rendah) [[Integral Darboux|Jumlah Darboux]], menunjukkan hubungan erat antara integral Riemann dan [[integral Darboux]].

=== Integral Lebesgue ===
{{Main|Integral Lebesgue}}
[[Gambar:RandLintegrals.svg|thumb|250px|Integrasi Riemann – Darboux (atas) dan integrasi Lebesgue (bawah)|alt=Perbandingan Integral Riemann dan Lebesgue]]

Seringkali menarik, baik dalam teori maupun aplikasi, untuk dapat melewati batas di bawah integral. Contohnya, urutan fungsi seringkali dapat dibangun yang mendekati, dalam arti yang sesuai, solusi untuk suatu masalah. Jadi integral dari fungsi solusi harus menjadi batas integral dari aproksimasi. Akan tetapi, banyak fungsi yang dapat diperoleh sebagai batas bukan merupakan integral Riemann, sehingga teorema batas tersebut tidak berlaku dengan integral Riemann.. Oleh karena itu, sangat penting untuk memiliki definisi integral yang memungkinkan kelas fungsi yang lebih luas untuk diintegralkan {{Harv|Rudin|1987}}.

Integral seperti itu adalah integral Lebesgue, yang mengeksploitasi fakta berikut untuk memperbesar kelas fungsi yang dapat diintegrasikan: Bila nilai suatu fungsi disusun ulang di atas domain, integral dari suatu fungsi harus tetap sama. Jadi [[Henri Lebesgue]] memperkenalkan integral yang menyandang namanya, menjelaskan integral ini dalam sebuah surat kepada [[Paul Montel]]:
{{quote|Saya harus membayar sejumlah uang, yang telah saya kumpulkan di saku saya. Saya mengambil uang kertas dan koin dari saku saya dan memberikannya kepada kreditor sesuai urutan saya menemukannya sampai saya mencapai jumlah totalnya. Ini adalah integral Riemann. Tetapi saya dapat melanjutkan secara berbeda. Setelah saya mengeluarkan semua uang dari saku saya Saya memesan uang kertas dan koin sesuai dengan nilai yang sama dan kemudian saya membayar beberapa tumpukan satu demi satu kepada kreditor. Ini adalah bagian integral saya.|{{harvtxt|Siegmund-Schultze|2008}}}}

Sebagai {{Harvtxt|Folland|1984|loc=p.&nbsp;56}} meletakkannya, "Untuk menghitung integral Riemann dari {{mvar|f}}, satu partisi domain {{math|[''a'', ''b'']}} menjadi sub-interval ", sementara dalam integral Lebesgue," salah satunya adalah mempartisi kisaran {{mvar|f}} ". Definisi integral Lebesgue dengan demikian dimulai dengan [[ukuran (matematika)|ukuran]], μ. Dalam kasus yang paling sederhana, [[ukuran Lebesgue]] {{math|''μ''(''A'')}} dari sebuah interval {{math|''A'' {{=}} [''a'', ''b'']}} adalah lebar, {{math|''b'' − ''a''}}, sehingga integral Lebesgue setuju dengan integral Riemann (yang tepat) ketika keduanya ada. Dalam kasus yang lebih rumit, set yang diukur bisa sangat terfragmentasi, tanpa kontinuitas dan tidak ada kemiripan dengan interval.

Menggunakan "partisi rentang {{mvar|f}} " filsafat, integral dari fungsi non-negatif {{math|''f'' : '''R''' → '''R'''}} harus berjumlah lebih dari {{mvar|t}} dari area di antara strip horizontal tipis di antaranya {{math|1=''y'' = ''t''}} and {{math|1=''y'' = ''t'' + ''dt''}}. Maka hasil dari daerah {{math|''μ''{ ''x'' : ''f''(''x'') > ''t''} ''dt''}}. Maka {{math|1=''f''<sup>∗</sup>(''t'') = ''μ''{ ''x'' : ''f''(''x'') > ''t''}}}. Integral Lebesgue dari {{mvar|f}} kemudian didefinisikan oleh {{harv|Lieb|Loss|2001}}
:<math>\int f = \int_0^\infty f^*(t)\,dt</math>
dimana integral di sebelah kanan adalah integral Riemann biasa yang tidak layak ({{math|''f''<sup>∗</sup>}} is a menurunkan fungsi positif secara ketat, dan karena itu memiliki [[terdefinisi dengan baik]] integral Riemann yang tidak tepat). Untuk kelas fungsi yang sesuai ([[fungsi terukur]] s) ini mendefinisikan integral Lebesgue.

Fungsi umum yang dapat diukur {{mvar|f}} adalah Integrasi Lebesgue jika jumlah nilai absolut dari luas daerah antara grafik {{mvar|f}} dan sumbu {{mvar|x}} terbatas:
:<math>\int_E |f|\,d\mu < + \infty.</math>
Dalam kasus tersebut, integralnya adalah, seperti dalam kasus Riemannian, perbedaan antara luas di atas sumbu {{mvar|x}} dan luas di bawah sumbu {{mvar|x}}:
:<math>\int_E f \,d\mu = \int_E f^+ \,d\mu - \int_E f^- \,d\mu</math>
dimana
:<math>\begin{alignat}{3}
 & f^+(x) &&{}={} \max \{f(x),0\} &&{}={} \begin{cases}
               f(x), & \text{bila } f(x) > 0, \\
               0, & \text{sebaliknya,}
             \end{cases}\\
 & f^-(x) &&{}={} \max \{-f(x),0\} &&{}={} \begin{cases}
               -f(x), & \text{bila } f(x) < 0, \\
               0, & \text{sebaliknya.}
             \end{cases}
\end{alignat}</math>

=== Integral Darboux ===
{{Main|Integral Darboux}}
[[Integral Darboux]], yang ditentukan oleh jumlah Darboux (jumlah Riemann terbatas) namun ekuivalen dengan [[integral Riemann]] suatu fungsi dapat diintegrasikan dengan Darboux jika dan hanya jika ia dapat diintegrasikan dengan Riemann. Integral Darboux memiliki keuntungan karena lebih mudah didefinisikan daripada integral Riemann.

[[Partisi interval]] [''a'',''b''] adalah urutan nilai yang terbatas ''x''<sub>''i''</sub> seperti yang

:<math>a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b . \,\!</math>

Setiap interval [''x''<sub>''i''&minus;1</sub>,''x''<sub>''i''</sub>] disebut ''subinterval'' dari partisi. Membiarkan ƒ:[''a'',''b'']→ℝ menjadi fungsi yang dibatasi, dan jika

:<math>P = (x_0, \ldots, x_n) \,\!</math>

menjadi partisi dari [''a'', ''b'']. Maka

:<math>\begin{align}
 M_i = \sup_{x\in[x_{i-1},x_{i}]} f(x) , \\
 m_i = \inf_{x\in[x_{i-1},x_{i}]} f(x) .
\end{align}</math>

[[Berkas:Darboux.svg|thumb|right|Darboux bawah (hijau) dan atas (hijau plus lavender) berjumlah empat sub-interval]]

'''Jumlah Darboux atas''' dari ƒ sehubungan dengan ''P'' adalah

:<math>U_{f, P} = \sum_{i=1}^n (x_{i}-x_{i-1}) M_i . \,\!</math>

'''Jumlah Darboux rendah''' dari ƒ sehubungan dengan ''P'' adalah

:<math>L_{f, P} = \sum_{i=1}^n (x_{i}-x_{i-1}) m_i . \,\!</math>

Jumlah Darboux bawah dan atas sering disebut jumlah bawah dan atas.

=== Integral Riemann–Stieltjes ===
{{Main|Integral Riemann–Stieltjes}}
[[Integral Riemann-Stieltjes]], perpanjangan dari integral Riemann yang terintegrasi sehubungan dengan fungsi sebagai lawan dari variabel.

Riemann-Stieltjes [[integral]] dari [[fungsi bernilai nyata]] <math>f</math> variabel nyata pada interval <math>[a,b]</math> sehubungan dengan fungsi real-to-real lainnya <math>g</math> dilambangkan dengan

:<math>\int_{x=a}^b f(x) \, \mathrm{d}g(x).</math>

menggunakan urutan [[partisi interval|partisi]] <math>P</math> dari interval <math>[a,b]</math>

:<math>P=\{ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}.</math>

Integral, kemudian, didefinisikan sebagai limit, karena [[partisi dari interval#Norma partisi|norma]] (panjang dari subinterval terpanjang) dari partisi mendekati <math>0</math>, dari jumlah perkiraan

:<math>S(P,f,g) = \sum_{i=0}^{n-1} f(c_i)\left[ g(x_{i+1}) - g(x_i) \right]</math>

=== Integral Lebesgue–Stieltjes ===
{{Main|Integral Lebesgue–Stieltjes}}
[[Integral Lebesgue–Stieltjes|Integral Lebesgue–Stieltjes]], dikembangkan lebih lanjut oleh [[Johann Radon]], yang menggeneralisasi integral Riemann–Stieltjes dan Lebesgue.

=== Integral lainnya ===
Integral lainnya yang terdapat di bawah ini:
* [[Integral Daniell]], yang mengasumsikan integral Lebesgue dan [[Integrasi Lebesgue–Stieltjes|integral Lebesgue–Stieltjes]] tanpa bergantung pada [[ukuran (matematika)|pengukuran]].
* [[Integral Haar]], digunakan untuk integrasi pada kelompok topologi kompak secara lokal, diperkenalkan oleh [[Alfréd Haar]] pada tahun 1933.
* [[Integral Henstock–Kurzweil]], dengan berbagai variasi didefinisikan oleh [[Arnaud Denjoy]], [[Oskar Perron]], dan (paling elegan, sebagai integral pengukur) [[Jaroslav Kurzweil]], dan dikembangkan oleh [[Ralph Henstock]].
* [[Integral Itô]] dan [[Integral Stratonovich]], yang mendefinisikan integral sehubungan dengan [[semi persegi panjang]] seperti [[Proses Wiener|gerak Brown]].
<!--* [[Integral Darboux]], setara dengan integral Riemann.-->
<!--* [[Haar integral]], yang merupakan integral Lebesgue dengan [[Haar measure]].-->
* [[Integral Young]], yang merupakan sejenis integral Riemann-Stieltjes sehubungan dengan fungsi tertentu dari [[Variasi terikat|variasi tak terbatas]].
* Integral [[jalur kasar]], yang ditentukan untuk fungsi yang dilengkapi dengan beberapa "jalur kasar" tambahan menyusun dan menggeneralisasi integrasi stokastik terhadap [[semi persegi panjang]] dan proses seperti [[gerakan pecahan Brownian]].
* [[Integral Choquet]], integral subaditif atau superaditif yang dibuat oleh ahli matematika Prancis Gustave Choquet pada tahun 1953.

== Properti ==

=== Linearitas ===
Kumpulan fungsi yang dapat diintegrasikan Riemann pada interval tertutup {{math|[''a'', ''b'']}} membentuk [[ruang vektor]] di bawah operasi [[penambahan pointwise]] dan perkalian dengan skalar, dan operasi integral
:<math> f \mapsto \int_a^b f(x) \; dx</math>
<!--- mubazir
untuk integral [[fungsi (matematika)|fungsi]] {{mvar|f}} pada {{math|[''a'', ''b'']}}
--->
adalah [[fungsional linear]] pada ruang vektor ini. Jadi, pertama, kumpulan dari fungsi terintegral ditutup pada pengambilan [[kombinasi linier]]; dan kedua, integral dari kombinasi linier adalah kombinasi linier dari integral,<ref name=":2" />

<!--- leftover from the past text; redundant
For example, in Riemann integration, if {{mvar|f}} and {{mvar|g}} are [[real number|real-valued]] integrable functions on a [[closed set|closed]] and [[bounded set|bounded]] [[interval (mathematics)|interval]] {{math|[''a'', ''b'']}}, and {{mvar|α}} and {{mvar|β}} are real numbers, then the function {{math|''αf'' + ''βg''}} defined by {{math|(''αf'' + ''βg'')(''x'') {{=}} ''αf''(''x'') + ''βg''(''x'')}} for all {{mvar|x}} in {{math|[''a'', ''b'']}} is integrable, with
--->
:<math> \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \,dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \,</math>

Demikian pula, himpunan [[bilangan real | nyata]] - nilai fungsi terintegralkan Lebesgue pada [[Ukuran (matematika)|ruang ukur]] yang diberikan {{mvar|E}} dengan ukuran {{mvar|μ}} ditutup dengan mengambil kombinasi linier, dan karenanya membentuk ruang vektor, dan integral Lebesgue

: <math> f\mapsto \int_E f \, d\mu </math>

adalah fungsi linear pada ruang vektor ini, sehingga

:<math> \int_E (\alpha f + \beta g) \, d\mu = \alpha \int_E f \, d\mu + \beta \int_E g \, d\mu. </math>

Secara lebih umum, pertimbangkan ruang vektor dari semua [[fungsi terukur]] pada ruang ukur {{math|(''E'',''μ'')}}, mengambil nilai dalam [[ruang kompak lokal|kompak lokal]] [[spasi metrik lengkap|lengkap]] [[spasi vektor topologi]] {{mvar|V}} di atas [[gelanggang topologi|bidang topologi]] {{math|''K'', ''f'' : ''E'' → ''V''}}. Kemudian seseorang dapat mendefinisikan peta integrasi abstrak yang ditugaskan ke setiap fungsi {{mvar|f}} sebuah elemen dari {{mvar|V}} atau simbol {{math|''∞''}},
:<math> f\mapsto\int_E f \,d\mu, \,</math>
kompatibel dengan kombinasi linear. Dalam situasi ini, linieritas berlaku untuk subruang fungsi yang integralnya merupakan elemen dari {{mvar | V}} (yaitu "finite"). Kasus khusus yang paling penting muncul adalah {{mvar|K}} pada {{math|'''R'''}}, {{math|'''C'''}}, atau perluasan lapangan yang terbatas {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} dari [[bilangan p-adic]] s, dan {{mvar|V}} adalah ruang vektor berdimensi-hingga di atas {{mvar|K}}, dan jika {{math|''K'' {{=}} '''C'''}} dan {{mvar|V}} adalah kompleks [[ruang Hilbert]].

Linearitas, bersama dengan beberapa sifat kontinuitas alami dan normalisasi untuk kelas fungsi "sederhana" tertentu, dapat digunakan untuk memberikan definisi alternatif dari integral. Ini adalah pendekatan dari [[Integral Daniell|Daniell]] untuk kasus fungsi bernilai riil pada suatu himpunan {{mvar|X}}, digeneralisasikan oleh [[Nicolas Bourbaki]] ke fungsi dengan nilai dalam ruang vektor topologi yang kompak secara lokal. Lihat {{Harv|Hildebrandt|1953}} untuk karakterisasi aksiomatik dari integral.

<!--=== Ketimpangan ===
A number of general inequalities hold for Riemann-integrable [[function (mathematics)|functions]] defined on a [[closed set|closed]] and [[bounded set|bounded]] [[interval (mathematics)|interval]] {{math|[''a'', ''b'']}} and can be generalized to other notions of integral (Lebesgue and Daniell).

* ''Upper and lower bounds.'' An integrable function {{mvar|f}} on {{math|[''a'', ''b'']}}, is necessarily [[bounded function|bounded]] on that interval. Thus there are [[real number]]s {{mvar|m}} and {{mvar|M}} so that {{math|''m'' ≤ ''f'' (''x'') ≤ ''M''}} for all {{mvar|x}} in {{math|[''a'', ''b'']}}. Since the lower and upper sums of {{mvar|f}} over {{math|[''a'', ''b'']}} are therefore bounded by, respectively, {{math|''m''(''b'' − ''a'')}} and {{math|''M''(''b'' − ''a'')}}, it follows that
:: <math> m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b - a). </math>

* ''Inequalities between functions.'' If {{math|''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'')}} for each {{mvar|x}} in {{math|[''a'', ''b'']}} then each of the upper and lower sums of {{mvar|f}} is bounded above by the upper and lower sums, respectively, of {{mvar|g}}. Thus
:: <math> \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx. </math>
:This is a generalization of the above inequalities, as {{math|''M''(''b'' − ''a'')}} is the integral of the constant function with value {{mvar|M}} over {{math|[''a'', ''b'']}}.
:In addition, if the inequality between functions is strict, then the inequality between integrals is also strict. That is, if {{math|''f''(''x'') < ''g''(''x'')}} for each {{mvar|x}} in {{math|[''a'', ''b'']}}, then
:: <math> \int_a^b f(x) \, dx < \int_a^b g(x) \, dx. </math>

* ''Subintervals.'' If {{math|[''c'', ''d'']}} is a subinterval of {{math|[''a'', ''b'']}} and {{math|''f''(''x'')}} is non-negative for all {{mvar|x}}, then
:: <math> \int_c^d f(x) \, dx \leq \int_a^b f(x) \, dx. </math>

* ''Products and absolute values of functions.'' If {{mvar|f}} and {{mvar|g}} are two functions, then we may consider their [[pointwise product]]s and powers, and [[absolute value]]s:
:: <math>
 (fg)(x)= f(x) g(x), \; f^2 (x) = (f(x))^2, \; |f| (x) = |f(x)|.\,</math>
:If {{mvar|f}} is Riemann-integrable on {{math|[''a'', ''b'']}} then the same is true for {{math|{{abs|''f''}}}}, and<ref name=":2" />
::<math>\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b | f(x) | \, dx. </math>
:Moreover, if {{mvar|f}} and {{mvar|g}} are both Riemann-integrable then {{math|''fg''}} is also Riemann-integrable, and
:: <math>\left( \int_a^b (fg)(x) \, dx \right)^2 \leq \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right). </math>
:This inequality, known as the [[Cauchy–Schwarz inequality]], plays a prominent role in [[Hilbert space]] theory, where the left hand side is interpreted as the [[Inner product space|inner product]] of two [[Square-integrable function|square-integrable]] functions {{mvar|f}} and {{mvar|g}} on the interval {{math|[''a'', ''b'']}}.

* ''Hölder's inequality''. Suppose that {{mvar|p}} and {{mvar|q}} are two real numbers, {{math|1 ≤ ''p'', ''q'' ≤ ∞}} with {{math|{{sfrac|1|''p''}} + {{sfrac|1|''q''}} {{=}} 1}}, and {{mvar|f}} and {{mvar|g}} are two Riemann-integrable functions. Then the functions {{math|{{abs|''f''}}<sup>''p''</sup>}} and {{math|{{abs|''g''}}<sup>''q''</sup>}} are also integrable and the following [[Hölder's inequality]] holds:
::<math>\left|\int f(x)g(x)\,dx\right| \leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \left(\int\left|g(x)\right|^q\,dx\right)^{1/q}.</math>
:For {{mvar|p}} = {{mvar|q}} = 2, Hölder's inequality becomes the Cauchy–Schwarz inequality.

* ''Minkowski inequality''. Suppose that {{math|''p'' ≥ 1}} is a real number and {{mvar|f}} and {{mvar|g}} are Riemann-integrable functions. Then {{math|{{abs| ''f'' }}<sup>''p''</sup>, {{abs| ''g'' }}<sup>''p''</sup>}} and {{math|{{abs| ''f'' + ''g'' }}<sup>''p''</sup>}} are also Riemann-integrable and the following [[Minkowski inequality]] holds:
::<math>\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} +
\left(\int \left|g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}.</math>
: An analogue of this inequality for Lebesgue integral is used in construction of [[Lp space|L<sup>p</sup> spaces]].

===Conventions===
In this section, {{mvar|f}} is a [[real number|real-]]valued Riemann-integrable [[function (mathematics)|function]]. The integral
:<math> \int_a^b f(x) \, dx </math>
over an interval {{math|[''a'', ''b'']}} is defined if {{math|''a'' &lt; ''b''}}. This means that the upper and lower sums of the function {{mvar|f}} are evaluated on a partition {{math|''a'' {{=}} ''x''<sub>0</sub> ≤ ''x''<sub>1</sub> ≤ . . . ≤ ''x''<sub>''n''</sub> {{=}} ''b''}} whose values {{math|''x''<sub>''i''</sub>}} are increasing. Geometrically, this signifies that integration takes place "left to right", evaluating {{mvar|f}} within intervals {{math|[''x''<sub> ''i''</sub> , ''x''<sub> ''i'' +1</sub>]}} where an interval with a higher index lies to the right of one with a lower index. The values {{mvar|a}} and {{mvar|b}}, the end-points of the [[interval (mathematics)|interval]], are called the [[limits of integration]] of {{mvar|f}}. Integrals can also be defined if {{math|''a'' &gt; ''b''}}:

* ''Reversing limits of integration.'' If {{math|''a'' &gt; ''b''}} then define
:: <math>\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx. </math>
This, with {{math|''a'' {{=}} ''b''}}, implies:
* ''Integrals over intervals of length zero.'' If {{mvar|a}} is a [[real number]] then
:: <math>\int_a^a f(x) \, dx = 0. </math>

The first convention is necessary in consideration of taking integrals over subintervals of {{math|[''a'', ''b'']}}; the second says that an integral taken over a degenerate interval, or a [[Point (geometry)|point]], should be [[0 (number)|zero]]. One reason for the first convention is that the integrability of {{mvar|f}} on an interval {{math|[''a'', ''b'']}} implies that {{mvar|f}} is integrable on any subinterval {{math|[''c'', ''d'']}}, but in particular integrals have the property that:

* ''Additivity of integration on intervals.'' If {{mvar|c}} is any [[element (mathematics)|element]] of {{math|[''a'', ''b'']}}, then<ref name=":2" />
:: <math> \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.</math>
With the first convention, the resulting relation
: <math>\begin{align}
 \int_a^c f(x) \, dx &{}= \int_a^b f(x) \, dx - \int_c^b f(x) \, dx \\
 &{} = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx
\end{align}</math>
is then well-defined for any cyclic permutation of {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, and {{mvar|c}}.-->

== Mencari nilai integral ==
=== Substitusi ===
Berikut contoh penyelesaian secara substitusi.
: <math>\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx</math>
: <math>t = \ln(x),\, dt = \frac{dx}{x}</math>

Dengan menggunakan rumus di atas,
: <math>
\begin{aligned}
&\; \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx \\
=&\; \int t\,dt \\
=&\; \frac{1}{2} t^2 + C \\
=&\; \frac{1}{2} \ln^2 x + C
\end{aligned}
</math>

=== Integrasi parsial ===
==== Cara 1: Rumus ====
Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.
: <math>\int u\,dv = uv - \int v\,du </math>

Berikut contoh penyelesaian secara parsial dengan rumus.
: <math>\int x \sin(x)\,dx</math>
: <math>u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = \sin(x),\, v = -\cos(x)</math>

Dengan menggunakan rumus di atas,
: <math>
\begin{aligned}
&\; \int x \sin(x)\,dx \\
=&\; (x)(-\cos(x)) - \int (-\cos(x))(1\,dx) \\
=&\; -x \cos(x) + \int \cos(x)\,dx \\
=&\; -x \cos(x) + \sin(x) + C
\end{aligned}
</math>

==== Cara 2: Tabel ====
Untuk <math display="inline">\int u\,dv</math>, berlaku ketentuan sebagai berikut.
{| class="wikitable"
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || <math>u</math> || <math>dv</math>
|-
| - || <math>\frac{du}{dx}</math> || <math>v</math>
|-
| + || <math>\frac{d^2u}{dx^2}</math> || <math>\int v\,dx</math>
|}

Berikut contoh penyelesaian secara parsial dengan tabel.
: <math>\int x \sin(x)\,dx</math>
{| class="wikitable"
|-
! Tanda !! Turunan !! Integral
|-
| + || <math>x</math> || <math>\sin(x)</math>
|-
| - || <math>1</math> || <math>-\cos(x)</math>
|-
| + || <math>0</math> || <math>-\sin(x)</math>
|}

Dengan tabel di atas,
: <math>
\begin{aligned}
&\; \int x \sin(x)\,dx \\
=&\; (x)(-\cos(x)) - (1)(-\sin(x)) + C \\
=&\; -x \cos(x) + \sin(x) + C
\end{aligned}
</math>

=== Substitusi trigonometri ===
{| class="wikitable"
|-
! Bentuk !! Trigonometri
|-
| <math>\sqrt{a^2 - b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\sin(\alpha)</math>
|-
| <math>\sqrt{a^2 + b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\tan(\alpha)</math>
|-
| <math>\sqrt{b^2 x^2 - a^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b}\sec(\alpha)</math>
|}

Berikut contoh penyelesaian secara substitusi trigonometri.
: <math>\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}</math>
: <math>x = 2 \tan(A),\, dx = 2 \sec^2(A)\,dA</math>

Dengan substitusi di atas,
: <math>
\begin{aligned}
&\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\
=&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{(2 \tan(A))^2\sqrt{4 + (2 \tan(A))^2}} \\
=&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4 + 4 \tan^2(A)}} \\
=&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4(1 + \tan^2(A))}} \\
=&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{4 \tan^2(A)\sqrt{4 \sec^2(A)}} \\
=&\; \int \frac{2 \sec^2(A)\,dA}{(4 \tan^2(A))(2 \sec(A))} \\
=&\; \int \frac{\sec(A)\,dA}{4 \tan^2(A)} \\
=&\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec(A)\,dA}{\tan^2(A)} \\
=&\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA
\end{aligned}
</math>

Substitusi berikut dapat dibuat.
: <math>\int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA</math>
: <math>t = \sin(A),\, dt = \cos(A)\,dA</math>

Dengan substitusi di atas,
: <math>
\begin{aligned}
&\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos(A)}{\sin^2(A)}\,dA \\
=&\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\
=&\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\
=&\; -\frac{1}{4 t} + C \\
=&\; -\frac{1}{4 \sin(A)} + C
\end{aligned}
</math>

Ingat bahwa <math display="inline">\sin(A) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}</math> berlaku.
: <math>
\begin{aligned}
&\; -\frac{1}{4 \sin(A)} + C \\
=&\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4 x} + C
\end{aligned}
</math>

=== Integrasi pecahan parsial ===
Berikut contoh penyelesaian secara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).
: <math>\int \frac{dx}{x^2 - 4}</math>

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.
: <math>
\begin{aligned}
&\; \frac{1}{x^2 - 4} \\
=&\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\
=&\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\
=&\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\
=&\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4}
\end{aligned}
</math>

Kita tahu bahwa <math display="inline">A + B = 0</math> dan <math display="inline">A - B = -\frac{1}{2}</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = -\frac{1}{4}</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = \frac{1}{4}</math>.}}

: <math>
\begin{aligned}
&\; \int \frac{dx}{x^2 - 4} \\
=&\; \int -\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)}\,dx \\
=&\; \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}\,dx \\
=&\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C
\end{aligned}</math>

== Rumus integrasi dasar ==
=== Umum ===
: <math>
\int x^n\,dx = \begin{cases}
  \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C & n \neq -1 \\
  \ln|x| + C                & n = -1
\end{cases}
</math>

=== Eksponen dan bilangan natural ===
: <math>\int e^x\,dx= e^x + C</math>
: <math>\int a^x\,dx= \frac{a^x}{\ln(a)} + C; \quad a \neq 1 \land a > 0</math>

=== Logaritma dan bilangan natural ===
: <math>\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C</math>
: <math>\int \ln(x)\,dx = x \ln(x) - x + C = x \ln\left(\frac{x}{e}\right) + C</math>
: <math>\int \log_a(x)\,dx = x \log_a(x) - \frac{x}{\ln(a)} + C = x \log_a\left(\frac{x}{e}\right) + C</math>

=== Trigonometri ===
: <math>\int \sin(x)\,dx = -\cos(x) + C</math>
: <math>\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C</math>
: <math>\int \tan(x)\,dx = \ln|\sec(x)| + C</math>
: <math>\int \cot(x)\,dx = -\ln|\csc(x)| + C</math>
: <math>\int \sec(x)\,dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C</math>
: <math>\int \csc(x)\,dx = -\ln|\csc(x) + \cot(x)| + C</math>
: <math>\int \sin^2(x)\,dx = \frac{1}{2} (x - \sin(x) \cos(x)) + C</math>
: <math>\int \cos^2(x)\,dx = \frac{1}{2} (x + \sin(x) \cos(x)) + C</math>
: <math>\int \tan^2(x)\,dx = \tan(x) - x + C</math>
: <math>\int \cot^2(x)\,dx = -\cot(x) - x + C</math>
: <math>\int \sec^2(x)\,dx = \tan(x) + C</math>
: <math>\int \csc^2(x)\,dx = -\cot(x) + C</math>
: <math>\int \sec(x) \tan(x)\,dx = \sec(x) + C</math>
: <math>\int \csc(x) \cot(x)\,dx = -\csc(x) + C</math>

; Inversi
: <math>\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = \arcsin(x) + C</math>
: <math>\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan(x) + C</math>
: <math>\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}\,dx = \arcsec(x) + C</math>

=== Hiperbolik ===
: <math>\int \sinh(x)\,dx = \cosh(x) + C</math>
: <math>\int \cosh(x)\,dx = \sinh(x) + C</math>
<!--
: <math>\int \sech^2(x)\,dx = \tanh(x) + C</math>
: <math>\int \csch^2(x)\,dx = -\coth(x) + C</math>
: <math>\int \sech(x) \tanh(x)\,dx = -\sech(x) + C</math>
: <math>\int \csch(x) \coth(x)\,dx = -\csch(x) + C</math>
-->

=== Panjang busur ===
; Sumbu ''x''
: <math>S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx</math>

; Sumbu ''y''
: <math>S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy</math>

=== Luas daerah ===
==== Satu kurva ====
; Sumbu ''x''
: <math>L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx</math>

; Sumbu ''y''
: <math>L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy</math>

==== Dua kurva ====
; Sumbu ''x''
: <math>L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx</math>

; Sumbu ''y''
: <math>L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy</math>
: atau juga <math>L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}</math>

=== Luas permukaan benda putar ===
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: <math>L = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds</math>
dengan
: <math>ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx</math>

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: <math>L = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds</math>
dengan
: <math>ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy</math>

=== Volume benda putar ===
==== Satu kurva ====
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx</math>

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy</math>

==== Dua kurva ====
; Sumbu ''x'' sebagai poros
: <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx</math>

; Sumbu ''y'' sebagai poros
: <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy</math>

== Contoh ==
* Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
: <math>
\begin{aligned}
L &= \int x\,dx \\
L &= \frac{1}{2} x^2 \\
L &= \frac{1}{2} xy \quad (y = x)
\end{aligned}</math>

* Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x^2</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
: <math>
\begin{aligned}
L &= \int x^2\,dx \\
L &= \frac{1}{3} x^3 \\
L &= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2)
\end{aligned}</math>

* Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = \sqrt{x}</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral!
: <math>
\begin{aligned}
L &= \int \sqrt{x}\,dx \\
L &= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\
L &= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x})
\end{aligned}</math>

* Buktikan luas persegi <math>L = s^2</math> dengan cara integral!
: Dengan posisi <math>y = s</math> dan titik (''s'', ''s''),
: <math>
\begin{aligned}
L &= \int_{0}^{s} s\,dx \\
L &= sx |_{0}^{s} \\
L &= ss - 0 \\
L &= s^2
\end{aligned}</math>

* Buktikan luas persegi panjang <math>L = pl</math> dengan cara integral!
: Dengan posisi <math>y = l</math> dan titik (''p'', ''l''),
: <math>
\begin{aligned}
L &= \int_{0}^{p} l\,dx \\
L &= lx |_{0}^{p} \\
L &= pl - 0 \\
L &= pl
\end{aligned}</math>

* Buktikan luas segitiga <math>L = \frac{at}{2}</math> dengan cara integral!
: Dengan posisi <math>y = \frac{-tx}{a} + t</math> dan titik (''a'', ''t''),
: <math>
\begin{aligned}
L &= \int_{0}^{a} \left(\frac{-tx}{a} + t\right)\,dx \\
L &= \left.\frac{-tx^2}{2a} + tx\right|_{0}^{a} \\
L &= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\
L &= \frac{-ta}{2} + ta \\
L &= \frac{at}{2}
\end{aligned}</math>

* Buktikan volume tabung <math>V = \pi r^2t</math> dengan cara integral!
: Dengan posisi <math>y = r</math> dan titik (''t'', ''r''),
: <math>
\begin{aligned}
V &= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\
V &= \pi \left.r^2x\right|_{0}^{t} \\
V &= \pi r^2t - 0 \\
V &= \pi r^2t
\end{aligned}</math>

* Buktikan volume kerucut <math>V = \frac{\pi r^2t}{3}</math> dengan cara integral!
: Dengan posisi <math>y = \frac{rx}{t}</math> dan titik (''t'', ''r''),
: <math>
\begin{aligned}
V &= \pi \int_{0}^{t} \left(\frac{rx}{t}\right)^2\,dx \\
V &= \pi \left.\frac{r^2 x^3}{3t^2}\right|_{0}^{t} \\
V &= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\
V &= \frac{\pi r^2t}{3}
\end{aligned}</math>

* Buktikan volume bola <math>V = \frac{4 \pi r^3}{3}</math> dengan cara integral!
: Dengan posisi <math>y = \sqrt{r^2 - x^2}</math> serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0),
: <math>
\begin{aligned}
V &= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\
V &= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\
V &= \pi \left.r^2x - \frac{x^3}{3}\right|_{-r}^{r} \\
V &= \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} - \left(-r^3 + \frac{r^3}{3}\right)\right) \\
V &= \frac{4 \pi r^3}{3}
\end{aligned}</math>

* Buktikan luas permukaan bola <math>L = 4 \pi r^2</math> dengan cara integral!
: Dengan posisi <math>y = \sqrt{r^2 - x^2}</math> serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0),
: Kita tahu bahwa turunannya adalah
: <math>y'= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}</math>
: selanjutnya
: <math>
\begin{aligned}
ds &= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
ds &= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
ds &= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
\end{aligned}</math>
: sehingga
: <math>
\begin{aligned}
L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\
L &= 2 \pi rx_{-r}^{r} \\
L &= 2 \pi (r r - r (-r)) \\
L &= 2 \pi (r^2 + r^2) \\
L &= 4 \pi r^2
\end{aligned}</math>

* Buktikan keliling lingkaran <math>K = 2 \pi r</math> dengan cara integral!
: Dengan posisi <math>y = \sqrt{r^2 - x^2}</math> serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0),
: Kita tahu bahwa turunannya adalah
: <math>y'= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}</math>
: sehingga
: <math>
\begin{aligned}
K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\
K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\
K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\
K &= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\
K &= 4r \;\left.\arcsin\left(\frac{x}{r}\right)\right|_{0}^{r} \\
K &= 4r \left(\arcsin\left(\frac{r}{r}\right) - \arcsin\left(\frac{0}{r}\right)\right) \\
K &= 4r \left(\arcsin\left(1\right) - \arcsin\left(0\right)\right)) \\
K &= 4r \left(\frac{\pi}{2}\right) \\
K &= 2 \pi r
\end{aligned}</math>

* Buktikan luas lingkaran <math>L = \pi r^2</math> dengan cara integral!
: Dengan posisi <math>y = \sqrt{r^2 - x^2}</math> serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu.
: <math>
\begin{aligned}
\sin(\theta) &= \frac{x}{r} \\
x &= r \sin(\theta) \\
dx &= r \cos(\theta)\,d\theta
\end{aligned}</math>
: Dengan turunan di atas,
: <math>
\begin{aligned}
L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\
L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\
L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\
L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\
L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\
L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\
L &= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\
L &= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\
L &= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\
L &= 2r^2 \left(\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta)\right)_{0}^{r} \\
L &= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))_{0}^{r} \\
L &= 2r^2 \left(\arcsin\left(\frac{x}{r}\right) + \left(\frac{x}{r}\right) \left(\frac{r^2 - x^2}{r}\right)\right)_{0}^{r} \\
L &= 2r^2 \left(\arcsin\left(\frac{r}{r}\right) + \left(\frac{r}{r}\right) \left(\frac{r^2 - r^2}{r}\right)\right) - \left(\arcsin\left(\frac{0}{r}\right) + \left(\frac{0}{r}\right) \left(\frac{r^2 - 0^2}{r}\right)\right) \\
L &= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\
L &= 2r^2 \left(\frac{\pi}{2}\right) \\
L &= \pi r^2
\end{aligned}</math>

* Buktikan luas elips <math>L = \pi ab</math> dengan cara integral!
: Dengan posisi <math>y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}</math> serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0),
: <math>
\begin{aligned}
L &= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\
L &= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx
\end{aligned}</math>
: Dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips,
: <math>
\begin{aligned}
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\
\frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{b}{a} \\
L_\text{elips} &= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\
L_\text{elips} &= \frac{b}{a} \pi a^2 \\
L_\text{elips} &= \pi ab
\end{aligned}</math>

== Lihat pula ==
* [[Permukaan integral]]
* [[Tabel integral]]
* [[Turunan]]
* [[Integral geometri]]

== Referensi ==
{{Reflist}}

== Pranala luar ==
* {{id}} [http://orinetz.com/blog/viewblogentry.php?specific=X7ID9BQDVWQ51XJ5A2VD2M3EA&orinetz_lang=2 Operator Integrasi Berulang]

[[Kategori:Integral| ]]