Lihat sumber Matematika

{{Ilmu|cTopic=Ilmu formal}}
[[Berkas:Euclid.jpg|jmpl|272px|[[Euklides]] (sedang memegang [[jangka sorong]]), matematikawan Yunani, abad ke-3 SM, seperti yang dilukiskan oleh [[Raffaello Sanzio]] di dalam detail ini dari ''[[Sekolah Athena]]'' (1509–1511).{{efn|Tidak ada perupaan atau penjelasan tentang wujud fisik Euklides yang dibuat selama masa hidupnya yang masih bertahan dari zaman kuno. Oleh karena itu, penggambaran Euklides di dalam karya seni bergantung pada daya khayal seniman (''lihat [[Euklides]]'').}}]]{{MathTopicTOC}}
'''Matematika''' ({{etymology|grc|''{{wikt-lang|grc|μάθημα}}'' ({{grc-transl|μάθημα}})|pengetahuan, pemikiran, pengkajian, pembelajaran}}), sebelumnya disebut pula '''ilmu hisab''' adalah bidang ilmu, yang mencakup studi tentang topik-topik seperti bilangan ([[aritmetika]] dan [[teori bilangan]]),<ref name="OED">{{cite web |url=http://oed.com/view/Entry/114974 |title=mathematics, ''n.'' |publisher=Oxford University Press |website=Oxford English Dictionary |year=2012 |access-date=16 Juni 2012 |quote=The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis. |archive-url=https://web.archive.org/web/20191116075558/https://www.oed.com/view/Entry/114974 |archive-date=16 Nopember 2019 |url-status=live }}</ref> rumus dan struktur terkait ([[aljabar]]),<ref name="Kneebone">{{cite book |title=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey |publisher=Dover |author=Kneebone, G.T. |year=1963 |page=4 |url=https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 |isbn=978-0-486-41712-7 |quote=Mathematics&nbsp;... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.}}</ref> bangun dan ruang tempat mereka berada ([[geometri]]),<ref name=OED/> dan besaran serta perubahannya ([[kalkulus]] dan [[analisis matematis|analisis]]).<ref name="LaTorre">{{cite book |title=Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change |publisher=Cengage Learning |first1=Donald R. |last1=LaTorre |first2=John W. |last2=Kenelly |first3=Sherry S. |last3=Biggers |first4=Laurel R. |last4=Carpenter |first5=Iris B. |last5=Reed |first6=Cynthia R. |last6=Harris |year=2011 |page=2 |url=https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 |isbn=978-1-4390-4957-0 |quote=Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.}}</ref><ref name="Ramana">{{cite book |title=Applied Mathematics |publisher=Tata McGraw–Hill Education |author=Ramana |year=2007 |page=2.10 |url=https://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2–PA10 |isbn=978-0-07-066753-2 |quote=The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.}}</ref><ref name="Ziegler">{{cite book |title=An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research |publisher=Springer |author=Ziegler, Günter M. |author-link=Günter M. Ziegler |year=2011 |page=vii |chapter-url=https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 |isbn=978-3-642-19532-7 |chapter=What Is Mathematics?}}</ref> Tidak ada kesepakatan umum tentang ruang lingkup yang tepat atau [[epistemologi|status epistemologisnya]].<ref name="Mura">{{cite journal|author=Mura, Roberta|date=Dec 1993|title=Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences|journal=Educational Studies in Mathematics|volume=25|issue=4|pages=375–85|doi=10.1007/BF01273907|jstor=3482762|s2cid=122351146}}</ref><ref name="Runge">{{cite book|author1=Tobies, Renate|title=Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry|author2=Helmut Neunzert|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-3-0348-0229-1|page=9 |url=https://books.google.com/books?id=EDm0eQqFUQ4C&pg=PA9 |quote=[I]t is first necessary to ask what is meant by ''mathematics'' in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form.|author1-link=Renate Tobies|name-list-style=amp}}</ref>

Matematika selalu berkembang, misalnya di [[Tiongkok]] pada tahun 300 [[Sebelum Masehi|SM]], di [[India]] pada tahun 100 [[Masehi|M]], dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman [[Renaisans]], ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan [[sains|penemuan ilmiah]] baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika. Berlanjut hingga kini,<ref>Eves</ref> matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk [[ilmu alam]], [[teknik]], [[kedokteran]]/[[medis]], dan [[ilmu sosial]] seperti [[ekonomi]], dan [[psikologi]]. [[Matematika terapan]], cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti [[statistika]] dan [[teori permainan]].

Matematika banyak digunakan dalam [[ilmu pengetahuan]] untuk fenomena pemodelan. Hal ini memungkinkan ekstraksi perkiraan kuantitatif dari hukum-hukum percobaan. Misalnya, pergerakan planet dapat diprediksi dengan akurasi tinggi menggunakan [[Hukum gravitasi universal Newton|hukum gravitasi Newton]] yang dipadukan dengan perhitungan matematis. Ketakbergantungan kebenaran matematis dari percobaan manapun menyiratkan bahwa keakuratan perkiraan semacam itu hanya bergantung pada kecukupan model untuk menggambarkan kenyataan. Jadi, ketika munculnya beberapa perkiraan yang tidak tepat, itu berarti bahwa model harus diperbaiki atau diubah, bukan berarti matematika salah. Misalnya, presesi apsis atau perihelium Merkurius tidak dapat dijelaskan dengan hukum gravitasi Newton, tetapi dijelaskan secara akurat oleh [[relativitas umum]] [[Einstein]]. Pengesahan percobaan teori Einstein ini menunjukkan bahwa hukum gravitasi Newton hanyalah hampiran (yang masih sangat akurat dalam kehidupan sehari-hari). 

Matematika sangat penting di banyak bidang, termasuk [[ilmu alam]], [[rekayasa]], [[kedokteran]], [[keuangan]], [[ilmu komputer]], dan [[ilmu sosial]].
Beberapa bidang matematika, seperti [[statistika]] dan [[teori permainan]], dikembangkan dalam korelasi langsung dengan terapannya, dan sering dikelompokkan dengan nama [[matematika terapan]]. Bidang matematika lainnya dikembangkan secara independen dari aplikasi apapun (dan oleh karena itu disebut [[matematika murni]]), tetapi aplikasi praktis sering ditemukan kemudian.{{sfn|Peterson|2001|p=12}}<ref name=wigner1960 /> Contoh yang tepat adalah masalah [[faktorisasi prima]], yang merujuk kepada [[Euklides]], tetapi yang tidak memiliki aplikasi praktis sebelum digunakan dalam [[RSA|sistemkripto RSA]] (untuk keamanan [[jaringan komputer]]).

== Etimologi ==
Kata "matematika" berasal dari ''{{Lang-grc|{{wikt-lang|en|μάθημα}}|label=none}}'' (''máthēma''), yang berarti "yang dipelajari,"<ref>{{cite dictionary|title=mathematic (n.)|dictionary=[[:en:Online Etymology Dictionary|Online Etymology Dictionary]]|url=http://www.etymonline.com/index.php?term=mathematic&allowed_in_frame=0|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20130307093926/http://etymonline.com/index.php?term=mathematic&allowed_in_frame=0|archive-date=7 Maret 2013|df=mdy-all}}</ref> "apa yang seseorang ingin ketahui," dengan demikian juga berarti "pengkajian" dan "ilmu pengetahuan". Kata untuk "matematika" memiliki arti yang kian menyempit dan lebih teknis "studi matematika" bahkan di zaman Klasik.<ref>Both meanings can be found in Plato, the narrower in [[:en:Republic (Plato)|''Republic'']] [https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Plat.+Rep.+6.510c&fromdoc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0168 510c] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210224152747/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Plat.+Rep.+6.510c&fromdoc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0168 |date=24 Februari 2021 }}, tetapi Plato tidak menggunakan kata ''math-''; Aristoteles menggunakannya, memberi tanggapan terhadapnya. {{LSJ|maqhmatiko/s|μαθηματική|ref}}. ''OED Online'', "Mathematics".</ref> [[Kata sifat]]-nya adalah ''mathēmatikós'' ({{lang|grc|μαθηματικός}}), berarti "berhubungan dengan pembelajaran" atau "rajin belajar," yang selanjutnya berarti "matematis". Secara khusus, ''mathēmatikḗ tékhnē'' ({{lang|grc|μαθηματικὴ τέχνη}}; {{lang-la|ars mathematica}}) berarti "seni matematika".

Demikian pula, salah satu dari dua aliran pemikiran utama dalam [[Pythagoreanisme]] dikenal sebagai the ''mathēmatikoi'' (μαθηματικοί)—yang pada saat itu berarti "pembelajar" daripada "matematikawan" dalam pengertian modern.

Dalam bahasa Latin, dan dalam bahasa Inggris sampai sekitar tahun 1700, istilah ''matematika'' lebih sering berarti "[[astrologi]]" (atau kadang-kadang "[[astronomi]]") daripada "matematika"; artinya secara bertahap berubah menjadi apa yang sebagaimana dipahami sekarang ini sejak tahun 1500-an hingga 1800-an. Hal ini berakibat pada beberapa penerjemahan yang keliru. Misalnya, seruan peringatan dari [[Agustinus dari Hippo|Santo Agustinus]] bahwa orang Kristen harus waspada terhadap ''mathematici'', yang berarti astrolog, kadang-kadang salah diterjemahkan sebagai ''kutukan matematikawan''.<ref name="Boas">{{cite book | title=Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories by the Late Ralph P. Boas, Jr | publisher=Cambridge University Press | author=Boas, Ralph | author-link=Ralph P. Boas Jr. | year=1995 | orig-year=1991 | page=257 | chapter-url=https://books.google.com/books?id=f-EWj5WtQHgC&pg=PA257 | chapter=What Augustine Didn't Say About Mathematicians | isbn=978-0-88385-323-8 | access-date=17 Januari 2018 | archive-date=20 Mei 2020 | archive-url=https://web.archive.org/web/20200520183837/https://books.google.com/books?id=f-EWj5WtQHgC&pg=PA257 | url-status=live }}</ref>

Bentuk jamak sering dipakai di dalam [[bahasa Inggris]], seperti juga di dalam [[bahasa Prancis]] bentuk jamak {{lang|fr|les mathématiques}} (dan jarang digunakan sebagai [[derivasi|turunan]] bentuk tunggal {{lang|fr|la mathématique}}), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung [[Gender (tata bahasa)|netral]] ''mathematica'' ([[Cicero]]), berdasarkan bentuk jamak {{lang|el|τὰ μαθηματικά}} (''ta mathēmatiká''), yang dipakai [[Aristoteles]] (384–322&nbsp;SM), yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis", meskipun dapat diterima bahwa bahasa Inggris hanya meminjam kata sifat ''mathematic(al)'' dan diikuti bentuk kata benda ''mathematics'', setelah mengikuti pola ''[[:en:physics|physics]]'' dan ''[[:en:metaphysics|metaphysics]]'', yang dipinjam dari bahasa Yunani.<ref name=oxforddict>''[[:en:The Oxford Dictionary of English Etymology|The Oxford Dictionary of English Etymology]]'', ''[[Oxford English Dictionary]], ''sub'' "mathematics", "mathematic", "mathematics"''</ref> Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda jamak ''mathematics'' berubah menjadi bentuk tunggal ''mathematic'' bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai ''math'' di Amerika Utara dan ''maths'' di tempat lain.<ref name=maths>[http://oed.com/view/Entry/114982 "maths, ''n.''"] dan [http://oed.com/view/Entry/114962 "math, ''n.3''"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200404201407/http://oed.com/view/Entry/114982 |date=4 April2020 }}. ''Oxford English Dictionary,'' on-line version (2012).</ref>

== Sejarah ==
{{utama|Sejarah matematika}}

[[Berkas:Quipu.png|jmpl|kiri|Sebuah [[quipu]], yang dipakai oleh [[Kekaisaran Inca|Inca]] untuk mencatatkan bilangan.]]

[[Evolusi]] matematika dapat dipandang sebagai sederetan [[abstraksi (matematika)|abstraksi]] yang selalu bertambah banyak. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang,<ref>S. Dehaene, G. Dehaene-Lambertz and L. Cohen, Abstract representations of numbers in the animal and human brain, ''Trends in Neuroscience'', Vol. 21 (8), Aug 1998, 355-361. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-2236(98)01263-6.</ref> adalah tentang [[bilangan]]: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.

[[Berkas:Kapitolinischer Pythagoras adjusted.jpg|jmpl|kiri|lurus|Matematikawan Yunani [[Pythagoras]] ({{nowrap|c. 570 BC –}} {{nowrap|c. 495 BC}}), secara umum dikenal atas penemuan [[Teorema Pythagoras]]]]

Selain mengetahui cara [[pencacahan|mencacah]] objek-objek ''fisika'', manusia [[prasejarah]] juga mengenali cara mencacah besaran ''abstrak'', seperti [[waktu]] — [[hari]], [[musim]], [[tahun]].<ref>Sebagai contoh, periksalah [[Raymond L. Wilder]], ''Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study'', ''passim''</ref><ref>{{Cite book|last=Zaslavsky, Claudia.|url=http://worldcat.org/oclc/843204342|title=Africa Counts : Number and Pattern in African Culture.|date=1999|publisher=Chicago Review Press|isbn=978-1-61374-115-3|oclc=843204342|access-date=29 Mei 2020|archive-date=31 Maret 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210331144030/https://www.worldcat.org/title/africa-counts-number-and-pattern-in-african-culture/oclc/843204342|url-status=live}}</ref> [[Aritmetika|Aritmetika dasar]] ([[penjumlahan]], [[pengurangan]], [[perkalian]], dan [[pembagian]]) mengikuti secara alami.

[[File:Plimpton 322.jpg|thumb|Lempengan matematika Babilonia, Plimpton 322, berasal dari tahun 1800-an&nbsp;SM.]]

Langkah selanjutnya memerlukan [[menulis|penulisan]] atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal [[tali]] atau dawai bersimpul yang disebut [[quipu]] dipakai oleh bangsa [[Inca]] untuk menyimpan data numerik. [[Sistem bilangan]] ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan [[Mesir Kuno]] di [[Kerajaan Pertengahan Mesir]], [[Papirus Rhind|Lembaran Matematika Rhind]].

[[Berkas:maya.svg|jmpl|[[Suku Maya|Sistem bilangan Maya]]]]

Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam [[perdagangan]], [[pengukuran tanah]], [[lukisan|pelukisan]], dan pola-pola [[menenun|penenunan]] dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang [[Babilonia]] dan [[Mesir Kuno]] mulai menggunakan [[aritmetika]], [[aljabar]], dan [[geometri]] untuk penghitungan [[pajak]] dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan [[astronomi]].<ref>Kline 1990, Chapter 1.</ref>{{sfn|Kline|1990|loc=Chapter 1}} Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.

[[File:Archimedes pi.svg|thumb|left|upright=1.25|Archimedes menggunakan [[metode penghabis]], digambarkan di sini, untuk memperkirakan nilai [[pi]].]]

Naskah matematika tertua berasal dari [[Mesopotamia]] dan [[Mesir Kuno|Mesir]], berangka tahun 2000-an sampai 1800-an&nbsp;SM. Banyak teks awal menyebutkan [[tripel Pythagoras]], dengan demikian dapat disimpulkan bahwa [[teorema Pythagoras]] tampaknya menjadi konsep matematika yang paling kuno dan paling masyhur setelah aritmetika dasar dan geometri. Rekaman arkeologis menunjukkan bahwa [[matematika Babilonia]]-lah yang pertama memunculkan [[aritmetika dasar]] ([[penambahan|perjumlahan]], [[pengurangan|perkurangan]], [[perkalian]], dan [[pembagian|perbagian]]). Orang Babilonia juga memiliki sistem nilai-tempat dan menggunakan sistem angka [[seksagesimal]] yang masih digunakan sampai sekarang untuk mengukur sudut dan waktu.{{sfn|Boyer|1991|loc="Mesopotamia" pp. 24–27}}

[[Berkas:Persian Khwarazmi.jpg|jmpl|lurus|Matematikawan Persia [[Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī|Al-Khwarizmi]] ({{nowrap|780 M – 850 M}}), pencetus [[aljabar]].]]

Selama [[Zaman keemasan Islam]], khususnya abad ke-9 dan abad ke-10, matematika mendapatkan banyak inovasi penting yang dibangun diatas landasan matematika Yunani: kebanyakan dari inovasi ini termasuk kontribusi dari matematikawan Persia seperti [[Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī|Al-Khwarizmi]], [[Omar Khayyam]] dan [[Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī]].

Selama [[periode modern awal]], matematika mulai berkembang dengan pesat di [[Eropa Barat]]. Pengembangan [[kalkulus]] oleh [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]] pada abad ke-17 merevolusi matematika. [[Leonhard Euler]] adalah matematikawan paling terkenal dpada abad ke-18, menyumbangkan banyak teorema dan penemuan. Mungkin matematikawan terkemuka abad ke-19 adalah matematikawan Jerman [[Carl Friedrich Gauss|Carl Gauss]], yang membuat banyak kontribusi untuk bidang-bidang seperti [[aljabar]], [[analisis matematika|analisis]], [[geometri diferensial]], [[matriks (matematika)|teori matriks]], [[teori bilangan]], dan [[statistik]]. Pada awal abad ke-20, [[Kurt Gödel]] mengubah matematika dengan menerbitkan [[Teorema ketidaklengkapan Gödel|teorema ketidaklengkapan]], yang menunjukkan sebagian bahwa setiap sistem aksioma yang konsisten—jika cukup kuat untuk menggambarkan aritmetika—akan berisi proposisi benar yang tidak dapat dibuktikan.

Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan [[sains]], menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan [[:en:Bulletin of the American Mathematical Society|Bulletin of the American Mathematical Society]], "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data [[Mathematical Reviews]] sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi [[teorema]] matematika baru beserta [[Pembuktian Matematika|bukti-buktinya]]."<ref>Sevryuk</ref>.<ref name=oxforddict/>

== Definisi yang diajukan ==
{{main|Definisi|Filsafat matematika}}

Tidak ada kesepakatan umum mengenai definisi pasti atau [[epistemologi|epistemologi status]] matematika.<ref name="Mura" /><ref name="Runge" /> Banyak matematikawan profesional yang tidak tertarik pada definisi matematika, atau menganggapnya tidak dapat ditentukan.<ref name="Mura" /> Bahkan tidak ada kesepakatan tentang apakah matematika adalah seni atau sains.<ref name="Runge" /> Beberapa orang hanya mengatakan, "Matematika adalah apa yang matematikawan lakukan."<ref name="Mura" />

[[Aristoteles]] mendefinisikan matematika sebagai "ilmu kuantitas" dan definisi ini berlaku sampai abad ke-18. Namun, Aristoteles juga memperingatkan bahwa fokus pada kuantitas saja tidak dapat membedakan matematika dari ilmu-ilmu seperti fisika; menurutnya, yang menjadikan matematika unik adalah adanya proses abstraksi dan pengkajian kuantitas sebagai sifat "yang dapat dipisahkan dalam pemikiran" dari contoh nyata.<ref name="Franklin">{{Cite book|last=Franklin|first=James|url=https://books.google.com/books?id=mbn35b2ghgkC&pg=PA104|title=Philosophy of Mathematics|date=2009-07-08|isbn=978-0-08-093058-9|pages=104–106|access-date=01 Juli 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20150906134402/https://books.google.com/books?id=mbn35b2ghgkC&pg=PA104#v=onepage&q&f=false|archive-date=06 September 2015|url-status=live}}</ref>

Pada abad ke-19, ketika studi matematika semakin meningkat dalam ketelitian dan mulai membahas topik-topik abstrak seperti [[teori grup]] dan [[geometri proyektif]], yang tidak memiliki hubungan yang jelas dengan kuantitas dan pengukuran, matematikawan dan filsuf mulai mengajukan berbagai definisi baru.<ref name="Cajori">{{cite book|author=Cajori, Florian|title=A History of Mathematics|publisher=American Mathematical Society (cetak ulang 1991)|year=1893|isbn=978-0-8218-2102-2|pages=[https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=PA285 285–86]|author-link=Florian Cajori}}</ref> Sampai hari ini, para filsuf terus menjawab pertanyaan-pertanyaan dalam [[filsafat matematika]], seperti sifat [[pembuktian matematika]].<ref>{{cite book |title=Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy |author1=Gold, Bonnie|author1-link=Bonnie Gold |author2=Simons, Rogers A. |publisher=MAA |year=2008}}</ref>

== Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika ==

[[Berkas:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|kiri|jmpl|Sir [[Isaac Newton]] (1643-1727), seorang [[penemu]] [[kalkulus|kalkulus infinitesimal]].]]
{{utama|Keindahan matematika}}

Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam [[perdagangan]], [[pengukuran tanah]], dan kemudian [[astronomi]]; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang [[fisikawan]] [[Richard Feynman]] menemukan [[:en:Path integral formulation|rumus integral lintasan]] [[mekanika kuantum]] menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan [[teori dawai]] masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat [[Interaksi dasar|gaya dasar alami]], terus saja mengilhami matematika baru.<ref>{{cite book|title = The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus|author = Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L.|publisher = [[Oxford University Press]]|year = 2002}}</ref>

Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi sering kali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang [[Eugene Wigner]] menyebutnya " [[:en:The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences|Keefektifan luar biasa matematika sampai taraf tak masuk akal dalam Ilmu Pengetahuan Alam membutuhkan penjelasan.]]".<ref>[[Eugene Wigner]], 1960, "[http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences,] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |date=2011-02-28 }}" ''Komunikasi pada Matematika Murni dan Terapan'' '''13'''(1): 1–14.</ref>

Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan pada zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara [[matematika murni]] dan [[matematika terapan]]: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program [[sarjana]] mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk [[statistika]], [[riset operasi]], dan [[ilmu komputer]].

Mereka yang berminat kepada matematika sering kali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang ''keanggunan'' matematika, [[estetika]] yang tersirat, dan [[keindahan]] dari dalamnya. [[Kesederhanaan]] dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan [[:en:proof (mathematics)|bukti]] yang diberikan, semisal bukti [[Euclid]] yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya [[bilangan prima]], dan di dalam [[metode numerik]] yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni [[transformasi Fourier cepat]]. [[G. H. Hardy]] di dalam ''[[A Mathematician's Apology]]'' mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.<ref>{{cite book|title = A Mathematician's Apology|author = Hardy, G. H.|publisher = Cambridge University Press|year = 1940}}</ref>

Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian [[Paul Erdős]] sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "[[Alkitab]]" di mana [[Tuhan]] telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.<ref>{{cite book|title = Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy|author = Gold, Bonnie; Simons, Rogers A.|publisher = MAA|year = 2008}}</ref><ref>{{cite book|title = Proofs from the Book|author = Aigner, Martin; Ziegler, Gunter M.|publisher = Springer|year = 2001}}</ref> Kepopularan [[matematika rekreasi]] adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.

== Penalaran logika ==
{{See also|Logika}}
Matematikawan berusaha keras untuk mengembangkan hasil mereka dengan penalaran sistematis untuk menghindari kekeliruan menggunakan suatu "teorema". Bukti yang keliru ini sering muncul dari intuisi yang salah dan telah umum dalam sejarah matematika. Untuk memungkinkan [[metode deduksi|penalaran deduktif]], beberapa asumsi dasar perlu diakui secara tersurat sebagai aksioma. Secara tradisional aksioma ini dipilih atas dasar pertimbangan akal sehat, tetapi aksioma modern biasanya mengungkapkan jaminan formal untuk [[gagasan primitif]], seperti objek dan relasi sederhana.

Keabsahan [[pembuktian matematika|bukti matematika]] pada dasarnya adalah masalah kekakuan, dan kekakuan yang disalahpahami adalah penyebab penting bagi beberapa kesesatan konseptual umum tentang matematika. Bahasa matematika lebih presisi dibandingkan percakapan sehari-hari terhadap kata-kata seperti ''atau'' dan ''hanya''. Kata-kata lain seperti ''[[Himpunan terbuka|terbuka]]'' dan ''[[Medan (matematika)|lapangan]]'' diinvestasikan dengan makna baru untuk konsep matematika tertentu. Kadang-kadang diperkenalkan istilah yang sama sekali baru (seperti ''[[homeomorfisme]]''). Kosakata teknis ini tepat dan ringkas, sehingga memungkinkan untuk secara psikis memproses ide-ide yang kompleks. Matematikawan menyebut ketepatan bahasa dan logika ini sebagai "kekakuan".

Kekakuan yang diharapkan dalam matematika telah bervariasi dari waktu ke waktu: orang Yunani mengharapkan argumen yang terperinci, tapi di masa kejayaan [[Isaac Newton]], metode yang digunakan kurang kaku. Masalah yang melekat dalam definisi yang digunakan oleh Newton menyebabkan kebangkitan analisis yang cermat dan bukti formal pada abad ke-19. Kemudian pada awal abad ke-20, [[Bertrand Russell]] dan [[Alfred North Whitehead]] menerbitkan karya mereka, ''[[Principia Mathematica]]'', upaya untuk menunjukkan bahwa semua konsep dan pernyataan matematika dapat didefinisikan, kemudian dibuktikan seluruhnya melalui [[logika matematika|logika simbolik]]. Ini adalah bagian dari program filosofis yang lebih luas yang dikenal sebagai logisisme, yang melihat matematika terutama sebagai perpanjangan dari logika.

Meskipun matematika demikian ringkas, ekspresi pembuktian justru membutuhkan ratusan halaman. Munculnya bukti berbantuan komputer telah memungkinkan panjang bukti untuk lebih berkembang. Bukti yang dibantu komputer mungkin salah jika peranti lunak pembuktian memiliki kekurangan, dan jika bukti itu terlalu panjang, sulit untuk diperiksa.{{efn|Untuk mempertimbangkan suatu komputasi besar dapat diandalkan dalam pembuktian, seseorang biasanya memerlukan dua komputasi menggunakan peranti lunak yang independen}}<ref>Ivars Peterson, ''The Mathematical Tourist'', Freeman, 1988, {{isbn|978-0-7167-1953-3}}. hal. 4 "Beberapa pihak mengeluh bahwa program komputer tidak dapat diverifikasi dengan benar", (mengacu pada bukti Haken–Apple terhadap Teorema Empat Warna).</ref> Di pihak lain, pembantu pembuktian membolehkan verifikasi perincian yang tidak dapat diberikan oleh bukti yang ditulistangan, dan memberikan kepastian kebenaran bukti panjang seperti yang ada pada bukti setebal 255 halaman untuk [[Teorema Feit–Thompson]].{{efn|Buku yang berisi bukti lengkap memiliki lebih dari 1.000 halaman.}}

== Notasi simbolis ==

[[Berkas:Leonhard Euler 2.jpg|ka|jmpl|[[Leonhard Euler]] menciptakan dan memasyhurkan banyak notasi matematika yang digunakan saat ini.]]
{{utama|Notasi matematika}}

Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.<ref>[http://jeff560.tripod.com/mathsym.html Penggunaan Aneka Lambang Matematika Terdini] (memuat banyak referensi yang lebih jauh)</ref> Pada abad ke-18, [[Leonhard Euler|Euler]] (1707–1783) bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini.<ref>{{cite web |url=http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |title=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols |access-date=14 September 2014 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160220073955/http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |archive-date=20 Februari 2016 |df=mdy-all }}</ref> Sebelum itu, argumen matematika biasanya ditulis dalam kata-kata, membatasi penemuan matematika.{{sfn|Kline|1990|p=140|ps=, mengenai [[Diophantus]]; hal. 261, mengenai [[:en:Franciscus Vieta|Vieta]].}}

Selain bahasa khusus, matematika kontemporer banyak menggunakan notasi khusus. Simbol-simbol ini juga bersumbangsih pada ketelitian, baik dengan menyederhanakan ekspresi ide matematika maupun dengan memungkinkan operasi rutin yang mengikuti aturan yang konsisten. Notasi modern membuat matematika lebih mudah bagi pelaku yang mahir, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Seperti [[notasi musik]], notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.

[[Bahasa]] matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti ''atau'' dan ''hanya'' memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal ''[[himpunan terbuka|terbuka]]'' dan ''[[lapangan (matematika)|lapangan]]'' memberikan arti khusus matematika. [[:en:Mathematical jargon|Jargon matematika]] termasuk istilah-istilah teknis semisal ''[[homeomorfisma]]'' dan ''[[integral|terintegralkan]]''. Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "ketat" atau "kaku" (''rigor''). Jadi, jika suatu kata sudah dimaknai dengan makna tertentu, maka selanjutnya kata itu harus merujuk ke makna tadi. Tak boleh berubah makna. Itulah makna "ketat" ini di bahasa matematika.

[[Berkas:Infinity symbol.svg|jmpl|kiri|Lambang [[ananta|ketakhinggaan]] '''∞''' di dalam beberapa gaya sajian.]]

Penggunaan bahasa yang ketat secara mendasar merupakan sifat [[pembuktian matematika]]. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "[[teorema]]" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.<ref>Lihatlah ''bukti palsu'' untuk contoh sederhana dari hal-hal yang bisa salah di dalam bukti formal. [[:en:Four color theorem|sejarah Teorema Empat Warna]] berisi contoh-contoh bukti-bukti salah yang tanpa sengaja diterima oleh para matematikawan lainnya pada saat itu.</ref> Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: [[bangsa Yunani]] menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan [[Isaac Newton]] kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang [[:en:Computer-assisted proof|bukti berbantuan-komputer]]. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.<ref>Ivars Peterson, ''Wisatawan Matematika'', Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Sedikit keluhan akan ketidakmampuan program komputer memeriksa secara wajar," (merujuk kepada bukti Haken-Apple terhadap Teorema Empat Warna).</ref> [[Aksioma]] menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. 

Pada abad ke-19 berkembanglah sebuah aliran pemikiran yang dikenal sebagai formalisme. Bagi seorang formalis, pada pokoknya matematika adalah tentang sistem formal atas simbol-simbol yang didukung oleh aturan-aturan formal untuk memadukannya. Dari sudut pandang ini, aksioma-aksioma hanyalah rumus-rumus istimewa dalam [[sistem aksioma]], diberikan tanpa diturunkan secara prosedural dari unsur-unsur lain dalam sistem. Contoh maksimal formalisme adalah seruan [[David Hilbert]] pada awal abad ke-20, sering disebut [[program Hilbert]], untuk mengodekan semua matematika dengan cara ini.

Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai [[logika simbolik|lambang]], yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu [[sistem aksioma]]. Inilah tujuan [[program Hilbert]] untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut [[Teorema ketaklengkapan Gödel]] tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang [[:en:Independence (mathematical logic)|tidak dapat ditentukan]]; dan oleh karena itulah suatu [[sistem aksioma|aksiomatisasi]] terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali [[teori himpunan]] di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.

[[Kurt Gödel]] membuktikan tujuan ini pada dasarnya tidak mungkin dengan [[Teorema ketaklengkapan Gödel|teorema ketidaklengkapannya]], yang menunjukkan sistem formal apapun yang cukup kaya untuk menggambarkan, bahkan aritmetika sederhana tidak dapat menjamin kelengkapan atau konsistensinya sendiri. Meskipun demikian, konsep formalis terus mempengaruhi matematika secara besar-besaran, sampai-sampai pernyataan tersebut diharapkan dapat diekspresikan dalam rumus-rumus [[teori himpunan]].<ref>Patrick Suppes, ''Axiomatic Set Theory'', Dover, 1972, {{isbn|978-0-486-61630-8}}. hal. 1, "Di antara banyak cabang matematika modern, teori himpunan menduduki tempat yang unik: dengan sedikit pengecualian, entitas-entitas yang dipelajari dan dianalisis dalam matematika dapat dianggap sebagai himpunan khusus atau kelas objek tertentu."</ref>

== Pengetahuan abstrak ==
{{multiple image
|footer = [[Isaac Newton]] (kiri) dan [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] mengembangkan kalkulus infinitesimal.
|total_width = 330
|width1 = 407
|height1 = 559
|image1 = GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg
|alt1 = Isaac Newton
|width2 = 320
|height2 = 390
|image2 = Gottfried Wilhelm Leibniz, Bernhard Christoph Francke.jpg
|alt2 = Gottfried Wilhelm von Leibniz}}

Dalam praktiknya, matematikawan biasanya dikelompokkan dengan ilmuwan, dan matematika memiliki banyak kesamaan dengan ilmu fisika, terutama penalaran deduktif dari asumsi. Matematikawan mengembangkan hipotesis matematika, dikenali sebagai [[konjektur]], menggunakan [[metode coba-coba]] dengan [[intuisi]] juga, serupa dengan apa yang dilakukan oleh ilmuwan.<ref>{{Cite web|url=https://undsci.berkeley.edu/article/mathematics|title=The science checklist applied: Mathematics|website=undsci.berkeley.edu|access-date=2019-10-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20191027021023/https://undsci.berkeley.edu/article/mathematics|archive-date=27 Oktober 2019|url-status=live}}</ref> [[Matematika percobaan]] dan metode komputasi seperti simulasi juga kian penting dalam matematika.

Kini, semua ilmu pengetahuan menghadapi masalah yang dipelajari oleh matematikawan, dan sebaliknya, hasil dari matematika sering menimbulkan pertanyaan dan realisasi baru dalam ilmu pengetahuan. Misalnya, [[fisikawan]] [[Richard Feynman]] memadukan penalaran matematika dan wawasan fisika untuk menemukan [[rumus integral lintasan]] dari [[mekanika kuantum]]. Di pihak lain, [[teori dawai]] adalah kerangka kerja yang diusulkan untuk menyatukan banyak fisika modern yang telah mengilhami teknik dan hasil baru dalam matematika.<ref>{{Cite journal |title=The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus |journal=Physics Today |volume=54 |issue=8 |page=48 |author=Meinhard E. Mayer |year=2001 |bibcode=2001PhT....54h..48J |doi=10.1063/1.1404851}}</ref>

[[File:Carl Friedrich Gauss.jpg|upright|thumb|left|[[Carl Friedrich Gauss]], dikenali sebagai pangeran-nya para matematikawan]]
Matematikawan Jerman, [[Carl Friedrich Gauss]], bahkan melangkah lebih jauh dengan menyebut matematika "Ratu-nya Ilmu Pengetahuan",{{sfn|Waltershausen|1965|p=79}} dan yang lebih baru, [[Marcus du Sautoy]] menggambarkan matematika sebagai "kekuatan pendorong utama di balik penemuan ilmiah".<ref>{{Cite episode |title=Nicolas Bourbaki |url=http://www.bbc.co.uk/programmes/b00stcgv |access-date=26 Oktober 2017 |series=A Brief History of Mathematics |first=Marcus |last=du Sautoy |station=BBC Radio 4 |date=25 Juni 2010 |time=min. 12:50 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20161216050402/http://www.bbc.co.uk/programmes/b00stcgv |archive-date=16 Desember 2016 |df=mdy-all }}</ref> Namun, beberapa penulis menekankan bahwa, dalam jalan utama, matematika berbeda dari gagasan ilmu pengetahuan modern: matematika tidak bergantung pada [[Bukti empiris]].<ref name= "Bishop1991">{{cite book | last1 = Bishop | first1 = Alan | year = 1991 | chapter = Environmental activities and mathematical culture | title = Mathematical Enculturation: A Cultural Perspective on Mathematics Education | chapter-url = https://books.google.com/books?id=9AgrBgAAQBAJ&pg=PA54 | pages = 20–59 | location = Norwell, Massachusetts | publisher = Kluwer Academic Publishers | isbn = 978-0-792-31270-3 | access-date = 5 April 2020 | archive-date = 25 Desember 2020 | archive-url = https://web.archive.org/web/20201225195821/https://books.google.com/books?id=9AgrBgAAQBAJ&pg=PA54 | url-status = live }}</ref><ref>{{cite book |title=Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists |author1=Shasha, Dennis Elliot |author2=Lazere, Cathy A. |publisher=Springer |year=1998 |page=228}}</ref><ref name= "Nickles2013" >{{cite book | last = Nickles | first = Thomas | year = 2013 | chapter = The Problem of Demarcation | title = Philosophy of Pseudoscience: Reconsidering the Demarcation Problem | page = 104 | location = Chicago | publisher = The University of Chicago Press}}</ref><ref name="Pigliucci2014">{{Cite magazine| year = 2014| last = [[:en:Massimo Pigliucci|Pigliucci]]| first = Massimo| title = Are There 'Other' Ways of Knowing?| magazine = [[:en:Philosophy Now|Philosophy Now]]| url = https://philosophynow.org/issues/102/Are_There_Other_Ways_of_Knowing| access-date = 6 April 2020| archive-date = 13 Mei 2020| archive-url = https://web.archive.org/web/20200513190522/https://philosophynow.org/issues/102/Are_There_Other_Ways_of_Knowing| url-status = live}}</ref>

Ruang lingkup pengetahuan matematika telah meluas secara dramatis sejak [[revolusi ilmiah]], dan seperti bidang kajian lainnya, keadaan ini telah mendorong spesialisasi. Pada tahun 2010, Klasifikasi Subjek Matematika terbaru dari [[American Mathematical Society|Masyarakat Matematika Amerika]] mengakui ratusan subbidang, dengan klasifikasi lengkap mencapai 46 halaman.<ref>{{cite web |url=https://www.ams.org/mathscinet/msc/pdfs/classification2010.pdf |title=Mathematics Subject Classification 2010 |access-date=9 November 2010 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20110514091144/http://www.ams.org/mathscinet/msc/pdfs/classification2010.pdf |archive-date=14 Mei 2011 |df=mdy-all }}</ref> Biasanya, banyak konsep dalam subbidang dapat tetap terisolasi dari cabang matematika lainnya tanpa batas tertentu; hasil dapat berfungsi terutama sebagai perancah untuk mendukung teorema dan teknik lain, atau mereka mungkin tidak memiliki hubungan yang jelas dengan apa pun di luar subbidang.

Matematika menunjukkan kecenderungan yang luar biasa untuk berkembang, dan seiring waktu, matematikawan sering menemukan terapan yang mengejutkan atau keterkaitan antar konsep. Salah satu contoh yang sangat berpengaruh adalah program Erlangen dari [[Felix Klein]], yang membangun hubungan inovatif dan mendalam antara geometri dan aljabar. Ini pada gilirannya membuka kedua bidang ke abstraksi yang lebih besar dan melahirkan subbidang yang sama sekali baru.

Perbedaan sering dibuat antara [[matematika terapan]] dan matematika yang sepenuhnya berorientasi pada pertanyaan dan konsep abstrak, dikenal sebagai [[matematika murni]]. Seperti cabang matematika lainnya, batas ruang lingkupnya cair. Ide-ide yang awalnya berkembang dengan terapan tertentu dalam pikiran sering diperumum kemudian, setelah itu bergabung dengan persediaan umum konsep matematika. Beberapa bidang matematika terapan bahkan telah bergabung dengan bidang praktis untuk menjadi disiplin ilmu tersendiri, seperti [[statistika]], [[riset operasi]], dan [[ilmu komputer]].

Mungkin yang lebih mengejutkan adalah ketika ide mengalir ke arah lain, dan bahkan matematika "paling murni" mengarah pada perkiraan atau terapan yang tidak terduga. Misalnya, [[teori bilangan]] menempati tempat sentral dalam [[kriptografi]] modern, dan dalam fisika, turunan dari [[persamaan Maxwell]] mendahului bukti eksperimental gelombang radio dan kecepatan konstan cahaya. Fisikawan [[Eugene Wigner]] menamakan fenomena ini sebagai "keefektifan matematika yang tidak masuk akal".<ref name=wigner1960>{{cite journal |last=Wigner |first=Eugene |year=1960 |title=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences |url=https://math.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |journal=[[:en:Communications on Pure and Applied Mathematics|Communications on Pure and Applied Mathematics]] |volume=13 |issue=1 |pages=1–14 |doi=10.1002/cpa.3160130102 |bibcode=1960CPAM...13....1W |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |archive-date=28 Februari 2011 |df=mdy-all }}</ref>

Hubungan luar biasa antara matematika abstrak dan realitas material telah menyebabkan perdebatan filosofis setidaknya sejak zaman [[Pythagoras]]. Filsuf kuno [[Plato]] berpendapat ini mungkin karena realitas material mencerminkan objek abstrak yang hadir tanpa terikat waktu. Akibatnya, pandangan bahwa "objek matematika terabstraksi dengan sendirinya" sering disebut sebagai [[Filsafat matematika|Platonisme]]. Sementara sebagian besar matematikawan biasanya tidak menyibukkan diri dengan pertanyaan yang diajukan oleh Platonisme, sebagian matematikawan lainnya justru lebih berpikiran filosofis dalam bertindak dan dikenali sebagai Platonis, bahkan pada masa kini.<ref name=SEP-Platonism>{{cite encyclopedia |title=Platonism in Metaphysics |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |last=Balaguer |first=Mark |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |year=2016 |edition=Musim Semi 2016 |publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2016/entries/platonism |access-date=2 April 2022 }}</ref>

== Kreativitas dan intuisi ==
{{see also|Keindahan matematis}}

Kebutuhan akan kebenaran dan kekakuan tidak berarti matematika tidak memiliki tempat untuk kreativitas. Sebaliknya, sebagian besar pekerjaan matematika di luar perhitungan hafalan membutuhkan pemecahan masalah yang cerdas dan mengeksplorasi perspektif baru secara intuitif.

Kecenderungan matematis seringkali tidak hanya melihat kreativitas, tetapi juga nilai [[estetika]] dalam matematika, yang biasa digambarkan sebagai ''keanggunan''. Kualitas seperti [[kesederhanaan]], [[simetri|kesimetrisan]], kelengkapan, dan keumuman sangat berharga dalam pembuktian dan teknik. [[G. H. Hardy]] dalam karyanya ''[[A Mathematician's Apology]]'' menyatakan keyakinan bahwa pertimbangan estetika ini, dengan sendirinya, cukup untuk membenarkan kajian matematika murni. Dia juga mengidentifikasi kriteria lain seperti signifikansi, tak terduga, dan keniscayaan, yang bersumbangsih pada estetika matematika.<ref>{{cite book |title=A Mathematician's Apology |author=Hardy, G. H. |publisher=Cambridge University Press |year=1940 |isbn=978-0-521-42706-7}}</ref>

[[Paul Erdős]] mengungkapkan sentimen ini secara lebih ironis dengan berbicara tentang "The Book", yang dianggap sebagai koleksi ilahi dari bukti-bukti yang paling indah. Terinspirasi oleh Erdős, kumpulan argumen matematika yang sangat ringkas dan inspiratif telah diterbitkan dalam ''Proofs from THE BOOK''. Beberapa contoh hasil yang sangat elegan adalah bukti Euklides bahwa ada tak-hingga banyaknya [[bilangan prima]] dan [[transformasi Fourier cepat]] untuk analisis harmonik.

Beberapa orang merasa bahwa penganggapan matematika sebagai ilmu pengetahuan adalah berarti meremehkan seni dan sejarahnya dalam tujuh [[pengetahuan budaya]] tradisional.<ref>Misalnya, lihatlah pernyataan [[Bertrand Russell]] "Matematika, jika dilihat dengan benar, tidak hanya memiliki kebenaran, tetapi juga keindahan tertinggi ..." dalam karyanya ''History of Western Philosophy''</ref> Salah satu cara perbedaan sudut pandang ini terjadi adalah dalam perdebatan filosofis mengenai apakah hasil matematis ''diciptakan'' (sebagaimana dalam seni) atau ''ditemukan'' (sebagaimana dalam ilmu pengetahuan).<ref>{{Cite journal|last=Borel|first=Armand|date=March 2017|title=Mathematics: Art and Science|journal=EMS Newsletter|volume=3|issue=103|pages=37–45|doi=10.4171/news/103/8|issn=1027-488X|doi-access=free}}</ref> Kemasyhuran [[matematika rekreasi]] adalah tanda lain dari kesenangan yang ditemukan banyak orang dalam memecahkan pertanyaan matematika.

Pada abad ke-20, matematikawan [[L. E. J. Brouwer]] bahkan memprakarsai perspektif filsafat yang dikenal sebagai [[intuisionisme]], yang mengenali matematika dengan proses kreatif tertentu dalam pikiran.<ref name="Snapper">{{Cite journal |doi=10.2307/2689412 |title=The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism |journal=Mathematics Magazine |date=September 1979 |first=Ernst |last=Snapper |author-link=Ernst Snapper |volume=52 |issue=4 |pages=207–16 |jstor=2689412 }}</ref> Intuisionisme pada gilirannya adalah satu rasa dari sikap yang dikenal sebagai konstruksivisme, yang hanya menganggap absah suatu objek matematika jika dapat langsung dibangun, tidak hanya dijamin oleh logika secara tidak langsung. Hal ini menyebabkan para konstruktivis berkomitmen untuk menolak hasil tertentu, terutama argumen seperti bukti eksistensial yang didasarkan pada ''hukum yang mengecualikan posisi tengah''.<ref name=SEP-Intuitionism>{{cite encyclopedia |title=Intuitionism in the Philosophy of Mathematics |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |last=Iemhoff |first=Rosalie |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |year=2020 |edition=Fall 2020 |publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/fall2020/entries/intuitionism |access-date=April 2, 2022 }}</ref>

Pada akhirnya, baik konstruktivisme maupun intuisionisme tidak menggantikan matematika klasik atau meraih penerimaan arus utama. Namun, program-program ini telah memotivasi perkembangan tertentu, seperti logika intuisionistik dan wawasan dasar lainnya, yang dihargai dalam haknya masing-masing.<ref name=SEP-Intuitionism />

== Matematika sebagai ilmu pengetahuan ==

[[Berkas:Carl Friedrich Gauss.jpg|ka|jmpl|[[Carl Friedrich Gauss]], menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".]]

[[Carl Friedrich Gauss]] mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".<ref>Waltershausen</ref> Di dalam bahasa aslinya, Latin ''Regina Scientiarum'', juga di dalam [[bahasa Jerman]] ''Königin der Wissenschaften'', kata yang bersesuaian dengan ''ilmu pengetahuan'' berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan ''alam'' adalah pada masa terkemudian. Bila seseorang memandang [[ilmu pengetahuan]] hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya [[matematika murni]], bukanlah ilmu pengetahuan.

[[Albert Einstein]] menyatakan bahwa ''"sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.''"<ref name=certain>Einstein, p. 28. Kutipan ini adalah jawaban Einstein terhadap pertanyaan: "betapa mungkin bahwa matematika, di samping yang lain tentunya, menjadi ciptaan pemikiran manusia yang terbebas dari pengalaman, begitu luar biasa bersesuaian dengan objek-objek kenyataan?" Dia juga memperhatikan ''Keefektifan tak ternalar Matematika di dalam Ilmu Pengetahuan Alam''.</ref>

Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidak dapat dibuktikan maupun disangkal berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi [[Karl Popper]].<ref>{{cite book|title = Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists|author = Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A.|publisher = Springer|year = 1998|page = 228}}</ref> Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnya [[fisika]] dan [[biologi]], adalah [[hipotesis|hipotetis]]-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru."<ref>Popper 1995, p. 56</ref> Para bijak bestari lainnya, sebut saja [[Imre Lakatos]], telah menerapkan satu versi [[pemalsuan]] kepada matematika itu sendiri.

Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya [[fisika teoretis]]) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, [[J. M. Ziman]], mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah ''pengetahuan umum'' dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.<ref>Ziman</ref> Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. [[Intuisi (pengetahuan)|Intuisi]] dan [[percobaan]] juga berperan penting di dalam perumusan [[konjektur]]-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya).

[[Matematika percobaan]] terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan [[metode ilmiah]]. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 ''[[A New Kind of Science]]'', [[Stephen Wolfram]] berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara [[empirik]] sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.

Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh [[seni liberal]] tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan [[rekayasa]] telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika.

Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika ''diciptakan'' (seperti di dalam seni) atau ''ditemukan'' (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi [[universitas]] bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen ''Ilmu Pengetahuan dan Matematika'', ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam [[filsafat matematika]].

Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah [[Fields Medal]] (medali lapangan),<ref>"''Fields Medal kini disepakati paling dikenal dan paling berpengaruh di dalam matematika.''" Monastyrsky</ref><ref>Riehm</ref> dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan [[Hadiah Nobel]] ilmu pengetahuan.

[[Wolf Prize in Mathematics]], dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, [[Hadiah Abel]], diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan.

Sebuah daftar terkenal berisikan 23 [[masalah terbuka]], yang disebut "[[masalah Hilbert]]", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman [[David Hilbert]]. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan.

Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "[[Masalah Milenium]]", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah [[Dollar Amerika Serikat|US$]] 1 juta, dan hanya satu ([[hipotesis Riemann]]) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.

== Bidang-bidang matematika ==
[[Berkas:Abacus 6.png|ka|jmpl|Sebuah [[sempoa]], alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno.]]

Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa [[astronomi]]. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni [[aritmetika]], [[aljabar]], [[geometri]], dan [[analisis matematika|analisis]]). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke [[logika matematika|logika]], ke [[teori himpunan]] ([[:en:Elementary mathematics|dasar]]), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan ([[matematika terapan]]), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan [[ketakpastian]].

=== Besaran ===
Pengkajian besaran dimulakan dengan [[bilangan]], pertama [[bilangan asli]] dan [[bilangan bulat]] ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam [[aritmetika]]. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam [[teori bilangan]], dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti [[Teorema Terakhir Fermat]]. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: [[:en:twin prime|konjektur prima kembar]] dan [[konjektur Goldbach]].

Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai [[himpunan bagian]] dari [[bilangan rasional]] ("[[Pecahan (matematika)|pecahan]]"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam [[bilangan real]], yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran [[fungsi kontinu|kontinu]]. Bilangan real diperumum menjadi [[bilangan kompleks]]. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan [[kuaternion]] dan [[oktonion]]. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada [[bilangan transfinit]], yang memformalkan konsep pencacahan [[ananta|ketakhinggaan]]. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada [[bilangan kardinal]] dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: [[bilangan alef]], yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
| <math>1, 2, 3\,\!</math> || <math>-2, -1, 0, 1, 2\,\!</math> || <math> -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\!</math> || <math>-e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\!</math> || <math>2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!</math>
|-
| [[Bilangan asli]]|| [[Bilangan bulat]] || [[Bilangan rasional]] || [[Bilangan real]] || [[Bilangan kompleks]]
|}

===Ruang===<!-- This section is linked from [[List of basic mathematics topics]] -->
Pengkajian ruang bermula dengan [[geometri]] – khususnya, [[geometri]] [[Euklides]]. [[Trigonometri]] memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi [[Teorema Pythagoras]] yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, [[geometri non-Euklides]] (yang berperan penting di dalam [[relativitas umum]]) dan [[topologi]]. Besaran dan ruang berperan penting di dalam [[geometri analitik]], [[geometri diferensial]], dan [[geometri aljabar]]. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep [[:en:Fiber bundle|buntelan serat]] dan kalkulus [[:en:manifold|lipatan]].

Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan [[polinom]], memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian [[:en:Topological group|grup topologi]], yang memadukan struktur dan ruang. [[:en:Lie group|Grup lie]] biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. [[Topologi]] di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan [[:en:Poincaré conjecture|konjektur Poincaré]] yang telah lama ada dan [[:en:Four color theorem|teorema empat warna]], yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| [[Berkas:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|96px]] || [[Berkas:Sine cosine plot.svg|96px]] || [[Berkas:Hyperbolic triangle.svg|96px]] || [[Berkas:Torus.png|96px]] || [[Berkas:Mandel zoom 07 satellite.jpg|96px]]
|-
|[[Geometri]] || [[Trigonometri]] || [[Geometri diferensial]] || [[Topologi]] || [[Fraktal|Geometri fraktal]]
|}

=== Perubahan ===
Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam [[ilmu pengetahuan alam]] dan [[kalkulus]] telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyelidikinya. [[Fungsi (matematika)|Fungsi-fungsi]] muncul di sini sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang [[bilangan real]] dan fungsi-fungsi berperubah real dikenal sebagai [[analisis riil]], dengan [[:en:Complex analysis|analisis kompleks]] lapangan yang setara untuk [[bilangan kompleks]].

[[Hipotesis Riemann]], salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. [[:en:Functional analysis|Analisis fungsional]] memusatkan perhatian pada [[ruang]] fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah [[mekanika kuantum]].

Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai [[persamaan diferensial]]. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan [[:en:dynamical system|sistem dinamik]]; [[teori chaos|teori kekacauan (''chaos'']] mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku [[:en:Deterministic system|deterministik]] yang masih saja belum terdugakan.

{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
| [[Berkas:Integral as region under curve.svg|96px]] || [[Berkas:Vector field.svg|96px]] || [[Berkas:Airflow-Obstructed-Duct.png|96px]] || [[Berkas:Limitcycle.jpg|96px]] || [[Berkas:Lorenz attractor.svg|96px]] || [[Berkas:Princ Argument C1.svg|96px]]
|-
| [[Kalkulus]] || [[Kalkulus vektor]]|| [[Persamaan diferensial]] || [[:En:Dynamical system|Sistem dinamik]] || [[Teori chaos]] || [[:en:Complex analysis|Analisis kompleks]]
|}

=== Struktur ===
Banyak objek matematika, semisal [[Himpunan (matematika)|himpunan]] bilangan dan [[fungsi (matematika)|fungsi]], memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian [[grup (matematika)|grup]], [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], [[lapangan (matematika)|lapangan]] dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan [[aljabar abstrak]]. Sebuah konsep penting di sini yakni [[Vektor (geometri)|vektor]], diperumum menjadi [[ruang vektor]] dan dikaji di dalam [[aljabar linear]]. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. [[Kalkulus vektor]] memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. [[:en:Tensor calculus|Kalkulus tensor]] mengkaji [[kesetangkupan]] dan perilaku vektor yang di[[rotasi]]. Sejumlah masalah kuno tentang [[:en:Compass-and-straightedge construction|Kompas dan konstruksi garis lurus]] akhirnya terpecahkan oleh [[:en:Galois theory|Teori Galois]].

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| [[Berkas:Elliptic curve simple.svg|96px]] || [[Berkas:Rubik's cube.svg|96px]] || [[Berkas:Group diagdram D6.svg|96px]] || [[Berkas:Lattice of the divisibility of 60.svg|96px]]
|-
| [[Teori bilangan]] || [[Aljabar abstrak]] || [[Teori grup]] || [[Teori order]]
|}

=== Dasar dan filsafat ===
Untuk memperjelas [[:en:foundations of mathematics|dasar-dasar matematika]], bidang [[logika matematika]] dan [[teori himpunan]] dikembangkan, juga [[teori kategori]] yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada [[dasawarsa]] 1900-an sampai 1930-an.<ref>Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, ''A History of Mathematics'', Oxford University Press, 2005.</ref> Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk [[:En:controversy over Cantor's set theory|kontroversi teori himpunan Cantor]] dan [[:En:Brouwer–Hilbert controversy|kontroversi Brouwer-Hilbert]].

Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja [[sistem aksioma|aksiomatis]] yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi [[Teorema ketaklengkapan Gödel|Teori ketaklengkapan kedua Gödel]], mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu [[:en:formal system|sistem formal]] yang berisi aritmetika dasar, jika ''suara'' (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka ''tak-lengkap'' (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan ''di dalam sistem itu'').

Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, kumpulan sembarang aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam [[:En:Computability theory|teori rekursi]], [[:en:model theory|teori model]], [[:en:proof theory|teori pembuktian]] terpaut dekat dengan [[ilmu komputer]] [[:en:Theoretical computer science|teoretis]].

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| <math> p \Rightarrow q \,</math>|| [[Berkas:Venn A intersect B.svg|128px]] || [[Berkas:Commutative diagram for morphism.svg|96px]]
|-
| [[Logika matematika]] || [[Teori himpunan]] || [[Teori kategori]] ||
|}

=== Matematika diskret ===
[[Matematika diskret]] adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam [[:en:Theoretical computer science|ilmu komputer teoretis]]. Ini menyertakan [[:en:Computability theory (computation)|teori komputabilitas]], [[:en:computational complexity theory|teori kompleksitas komputasional]] dan [[teori informasi]]. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - [[Mesin turing]].

Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan [[perangkat keras]] komputer. Teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, oleh sebab itu berkenaan dengan konsep-konsep semisal [[:en:Data compression|pemadatan]] dan [[:en:Entropy (information theory)|entropi]].

Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah "[[Masalah P versus NP]]", salah satu [[Masalah Milenium]].<ref>[http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ Clay Mathematics Institute] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131014194456/http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ |date=2013-10-14 }} P=NP</ref>

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| <math>\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}</math> || [[Berkas:DFAexample.svg|96px]] || [[Berkas:Caesar3.svg|96px]] || [[Berkas:6n-graf.svg|96px]]
|-
| [[Kombinatorika]] || [[Teori komputasi]] || [[Kriptografi]] || [[Teori graf]]
|}

=== Matematika terapan ===
[[Matematika terapan]] berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam [[ilmu pengetahuan]], [[bisnis]] dan wilayah lainnya. Salah satu bagian penting di dalam matematika terapan adalah [[statistika]], yang menggunakan [[teori peluang]] sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis dan peramalan gejala di mana [[probabilitas|peluang]] berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak [[statistikawan]] tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.)

[[Analisis numerik]] menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia, analisis numerik melibatkan pengkajian [[:en:Round-off error|galat pembulatan]] atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.

=== Matematika murni ===
Matematika murni merupakan cabang matematika yang digunakan untuk pengembangan prinsip-prinsip matematika. Bahasan pada matematika murni tidak mempertimbangkan penerapan praktis matematika dalam sains. Kehadiran matematika murni bertujuan untuk mengatasi masalah-masalah yang timbul selama penerapan matematika murni dalam berbagai [[disiplin ilmiah]].<ref>{{Cite book|last=Kartasasmita, dkk.|first=|date=1993|url=http://repositori.kemdikbud.go.id/2938/1/kamus%20matematika%20matematika%20dasar%20-%20155ha.pdf|title=Kamus Matematika: Matematika Dasar|location=Jakarta|publisher=Departemen Pendidikan dan Kebudayaan|isbn=979-459-017-7|pages=75|url-status=live}}</ref><gallery class="center">
Gravitation space source.png | <center>[[:en:Mathematical physics|Fisika matematika]]</center>
BernoullisLawDerivationDiagram.svg | <center>[[Mekanika fluida]]</center>
Composite trapezoidal rule illustration small.svg | <center>[[Analisis numerik]]</center>
Maximum boxed.png | <center>[[Optimisasi (matematika)|Optimisasi]]</center>
Two red dice 01.svg | <center>[[Teori peluang]]</center>
Oldfaithful3.png | <center>[[Statistika]]</center>
Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png | <center>[[Matematika keuangan]]</center>
Arbitrary-gametree-solved.svg | <center>[[Teori permainan]]</center>
Signal transduction v1.png | <center>[[:en:Mathematical biology|Biologi matematika]]</center>
Ch4-structure.png | <center>[[Kimia matematika]]</center>
GDP PPP Per Capita IMF 2008.png | <center>[[:en:Mathematical economics|Ekonomi matematika]]</center>
Simple feedback control loop2.svg|[[:en:Control theory|Teori kontrol]]
</gallery>

== Dalam masyarakat ==
{{see also|Matematikawan|Pendidikan matematika}}

Bahkan ketika sulit, matematika memiliki kemampuan luar biasa untuk melintasi batas-batas budaya dan periode waktu. Namun, sebagai aktivitas manusia, praktik matematika juga memiliki sisi sosial, termasuk perhatian seperti pendidikan, karir, pengakuan, dll.

=== Masalah penghargaan dan hadiah ===
{{Main category|Penghargaan Matematika}}
[[File:FieldsMedalFront.jpg|thumb|Sisi lempeng bagian depan [[Medali Fields]]]]

Penghargaan paling bergengsi dalam matematika adalah [[Medali Fields]],{{sfn|Monastyrsky|2001|p=1|ps=: "Medali Fields sekarang tidak dapat disangkal lagi merupakan penghargaan paling terkenal dan paling berpengaruh dalam matematika."}}{{sfn|Riehm|2002|pp=778–82}} didirikan pada tahun 1936 dan diberikan setiap empat tahun (kecuali sekitar Perang Dunia II) kepada sebanyak empat orang.<ref>{{Cite web |title=Fields Medal {{!}} International Mathematical Union (IMU) |url=https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal |access-date=21 Februari 2022 |website=www.mathunion.org}}</ref><ref name="StAndrews-Fields">{{Cite web |title=Fields Medal |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Honours/FieldsMedal/ |access-date=21 Februari 2022 |website=Maths History |language=en}}</ref> Ini adalah ekivalen Hadiah Nobel untuk matematika.<ref name="StAndrews-Fields" />

Penghargaan bergengsi lainnya meliputi:
* [[Penghargaan Abel]], dilembagakan pada tahun 2002<ref>{{Cite web|title=About the Abel Prize {{!}} The Abel Prize|url=https://abelprize.no/page/about-abel-prize|access-date=2022-01-23|website=abelprize.no}}</ref> dan pertama dianugerahkan pada tahun 2003<ref>{{Cite web|title=Abel Prize {{!}} mathematics award {{!}} Britannica|url=https://www.britannica.com/science/Abel-Prize|access-date=23 Januari 2022|website=www.britannica.com|language=en}}</ref>
* [[Medali Chern]] untuk pencapaian seumur hidup,<ref>{{Cite web |date=1 Juni 2009 |title=CHERN MEDAL AWARD |url=https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Chern/Chern_MedalPress_Release_090601.pdf |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20090617012953/https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Chern/Chern_MedalPress_Release_090601.pdf |archive-date=17 Juni 2009 |access-date=21 Februari 2022 |website=www.mathunion.org}}</ref> diperkenalkan pada tahun 2010<ref>{{Cite web |title=Chern Medal Award {{!}} International Mathematical Union (IMU) |url=https://www.mathunion.org/imu-awards/chern-medal-award |access-date=23 Januari 2022 |website=www.mathunion.org}}</ref>
* [[Penghargaan Wolf dalam bidang matematika]], juga untuk pencapaian seumur hidup,<ref>{{Cite book |last1=Chern |first1=S. S. |last2=Hirzebruch |first2=F. |date=September 2000 |title=Wolf Prize in Mathematics |url=https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/4149 |language=en |doi=10.1142/4149 |isbn=978-981-02-3945-9}}</ref> dilembagakan pada tahun 1978<ref>{{Cite web|title=The Wolf Prize|url=https://wolffund.org.il/the-wolf-prize/|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20200112205029/https://wolffund.org.il/the-wolf-prize/|archive-date=12 Januari 2020|access-date=23 Januari 2022|website=Wolf Foundation|language=en-US}}</ref>

Daftar masyhur 23 soal terbuka, disebut "[[Masalah Hilbert]]", disusun pada tahun 1900 oleh matematikawan Jerman [[David Hilbert]].<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-05-06|title=Hilbert's Problems: 23 and Math|url=https://www.simonsfoundation.org/2020/05/06/hilberts-problems-23-and-math/|access-date=23 Januari 2022|website=Simons Foundation|language=en-US}}</ref> Daftar ini mendapat sambutan hebat di kalangan matematikawan<ref>{{Cite web |last=Newton |first=Tommy |date=2007 |title=A New Approach to Hilbert's Third Problem |url=https://www.wku.edu/scholar/documents/spring2007/hilberts_third_problem.pdf |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20130122213603/https://www.wku.edu/scholar/documents/spring2007/hilberts_third_problem.pdf |archive-date=22 Januari 2013 |access-date=21 Februari 2022 |website=www.wku.edu}}</ref>, dan setidaknya 13 soal (tergantung cara menafsirkan) kini telah diselesaikan.<ref name=":0">{{Cite web|date=6 Mei 2020|title=Hilbert's Problems: 23 and Math|url=https://www.simonsfoundation.org/2020/05/06/hilberts-problems-23-and-math/|access-date=2022-01-23|website=Simons Foundation|language=en-US}}</ref> Daftar baru dari tujuh soal penting, berjudul "[[Masalah Milenium]]", diterbitkan pada tahun 2000. Hanya satu dari mereka, [[hipotesis Riemann]], menggandakan salah satu masalah Hilbert. Solusi untuk semua soal ini dijanjikan hadiah 1 juta dolar.<ref>{{Cite web|title=The Millennium Prize Problems {{!}} Clay Mathematics Institute|url=http://www.claymath.org/millennium-problems/millennium-prize-problems|access-date=23 Januari 2022|website=www.claymath.org}}</ref> Kini, hanya satu dari masalah ini yang telah diselesaikan, yaitu [[konjektur Poincaré]].<ref>{{Cite web|title=Millennium Problems {{!}} Clay Mathematics Institute|url=http://www.claymath.org/millennium-problems|access-date=23 Januari 2022|website=www.claymath.org}}</ref>

== Lihat pula ==
{{portal|Matematika}}
<div style="-moz-column-count:3; column-count:3;">
* [[Abacus]]
* [[Bahasa pemrograman]]
* [[Daftar simbol matematika]]
* [[Diskalkulia]]
* [[Filsafat matematika]]
* [[Hari Matematika Internasional]]
* [[Jangka sorong]]
* [[Kalkulator]]
* [[Kompas]]
* [[Komputer]]
* [[Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam]]
* [[Matematika dan seni]]
* [[Matematika diskret]]
* [[Matematika Islam]]
* [[Matematika keuangan]]
* [[Matematika murni]]
* [[Matematika rekreasi]]
* [[Matematika terapan]]
* [[Matematika Yunani]]
* [[Matematikawan]]
* [[Pendidikan matematika]]
* [[Penggaris]]
* [[Pola]]
* [[Software]] [[analisis]] [[statistik]]
** [http://www.r-project.org Proyek R]
** [[SPSS]]
** [[SAS]]
* [[Struktur matematika]]
</div>

== Catatan ==
{{notelist}}

== Referensi ==
{{reflist|2}}

== Pustaka ==
{{refbegin|2}}
* Benson, Donald C., ''The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies'', Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14, 2000). ISBN 0-19-513919-4.
* [[:en:Carl B. Boyer|Boyer, Carl B.]], ''A History of Mathematics'', Wiley; 2 edition (March 6, 1991). ISBN 0-471-54397-7. — A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
* Courant, R. and H. Robbins, ''What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods'', Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996). ISBN 0-19-510519-2.
* [[:en:Philip J. Davis|Davis, Philip J.]] and [[:en:Reuben Hersh|Hersh, Reuben]], ''[[:en:The Mathematical Experience|The Mathematical Experience]]''. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7. — A gentle introduction to the world of mathematics.
* {{cite journal
 | last = Einstein
 | first = Albert
 | authorlink = Albert Einstein
 | title = Sidelights on Relativity (Geometry and Experience)
 | publisher = P. Dutton., Co
 | year = 1923}}
* Eves, Howard, ''An Introduction to the History of Mathematics'', Sixth Edition, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
* Gullberg, Jan, ''Mathematics — From the Birth of Numbers''. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). ISBN 0-393-04002-X. — An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
* Hazewinkel, Michiel (ed.), ''[[:en:Encyclopaedia of Mathematics|Encyclopaedia of Mathematics]]''. Kluwer Academic Publishers 2000. — A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online [http://eom.springer.de/default.htm].
* Jourdain, Philip E. B., ''The Nature of Mathematics'', in ''The World of Mathematics'', James R. Newman, editor, Dover, 2003, ISBN 0-486-43268-8.
* [[:en:Morris Kline|Kline, Morris]], ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'', Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1, 1990). ISBN 0-19-506135-7.
* {{cite paper|url=http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf|year=2001|title=Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal|author=Monastyrsky, Michael|publisher=Canadian Mathematical Society|accessdate=2006-07-28|format=PDF}}
* [[Oxford English Dictionary]], second edition, ed. John Simpson and Edmund Weiner, Clarendon Press, 1989, ISBN 0-19-861186-2.
* ''[[:En:The Oxford Dictionary of English Etymology|The Oxford Dictionary of English Etymology]]'', 1983 reprint. ISBN 0-19-861112-9.
* Pappas, Theoni, ''The Joy Of Mathematics'', Wide World Publishing; Revised edition (June 1989). ISBN 0-933174-65-9.
* {{cite journal|title=Linear Associative Algebra|first= Benjamin|last= Peirce|journal= American Journal of Mathematics|issue= Vol. 4, No. 1/4. (1881|url= http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9327%281881%294%3A1%2F4%3C97%3ALAA%3E2.0.CO%3B2-X | unused_data= | pages= 97-229}} [[JSTOR]].
* Peterson, Ivars, ''Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics'', Owl Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8.
* {{cite book|last = Paulos|first = John Allen <!--|authorlink = John Allen Paulos -->|year = 1996|title = A Mathematician Reads the Newspaper|url = https://archive.org/details/mathematicianrea0000paul_c1f1|publisher = Anchor|isbn = 0-385-48254-X}}
* {{Cite book|first=Karl R.|last=Popper|authorlink=Karl Popper|title=In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years|url=https://archive.org/details/insearchofbetter00karl|chapter=On knowledge|publisher=Routledge|year=1995|isbn=0-415-13548-6}}
* {{cite journal
 | last = Riehm
 | first = Carl
 | authorlink =
 | title = The Early History of the Fields Medal
 | journal = Notices of the AMS
 | volume = 49
 | issue = 7
 | pages = 778–782
 | publisher = AMS
 | month = August 
 | year = 2002
 | url = http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf
 | doi =
 | id =
 | accessdate = 
 | format=PDF}}
* {{cite journal| last=Sevryuk | first=Mikhail B.<!--| authorlink = Mikhail B. Sevryuk-->| year = 2006| month = January| title = Book Reviews| journal = [[:en:Bulletin of the American Mathematical Society|Bulletin of the American Mathematical Society]]| volume = 43| issue = 1| pages = 101–109| url = http://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01069-4/S0273-0979-05-01069-4.pdf| format = PDF| accessdate = 2006-06-24| doi = 10.1090/S0273-0979-05-01069-4}}
* {{cite book|last = Waltershausen|first = Wolfgang Sartorius von <!--|authorlink = Wolfgang Sartorius von Waltershausen-->|title = Gauss zum Gedächtniss|year = 1856, repr. 1965|publisher = Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend|isbn = 3-253-01702-8|asin = ASIN: B0000BN5SQ|url = http://www.amazon.de/Gauss-Ged%e4chtnis-Wolfgang-Sartorius-Waltershausen/dp/3253017028}}
* {{cite paper|url=http://info.med.yale.edu/therarad/summers/ziman.htm|year=1968|title=Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science|author= Ziman, J.M., F.R.S.}}
{{refend}}

== Pranala luar ==
{{sisterlinks|Matematika}}
<!-- {{WVS}} -->
<div class="references-small">
* [http://www.preceptorial.com/ Preceptorial] Kumpulan materi dan soal matematika SD, SMP, SMA
* [http://www.skypoint.com/members/waltzmn/Mathematics.html Sejarah Matematika]
* [http://freebookcentre.net/SpecialCat/Free-Mathematics-Books-Download.html Buku-buku matematika bebas] Kumpulan buku matematika bebas.
* [http://www.mathmotivation.com/all-applications.html Penerapan Aljabar SMA]
* [[:en:Encyclopaedia of Mathematics|Encyclopaedia of Mathematics]] ensiklopedia '''online''' dari [http://eom.springer.de Springer], Karya referensi pascasarjana dengan lebih dari 8.000 judul, mencerahkan hampir 50.000 gagasan di dalam matematika.
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/hmat.html Situs HyperMath di Georgia State University]
* [http://www.freescience.info/mathematics.php Perpustakaan FreeScience] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150512134742/http://www.freescience.info/mathematics.php |date=2015-05-12 }} Bagian matematika dari perpustakaan FreeScience
* Rusin, Dave: [http://www.math-atlas.org/ ''The Mathematical Atlas''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20040403120115/http://www.math-atlas.org/ |date=2004-04-03 }}. Panduan wisata melalui aneka macam matematika modern. (Juga dapat ditemukan [http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/index.html di sini] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061006114449/http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/index.html |date=2006-10-06 }}.)
* Polyanin, Andrei: [http://eqworld.ipmnet.ru/ ''EqWorld: The World of Mathematical Equations'']. Sebuah sumber '''online''' yang memusatkan perhatian pada fisika matematika, aljabar, diferensial biasa, diferensial parsial, integral, dan persamaan-persamaan matematika lainnya.
* Cain, George: [http://www.math.gatech.edu/~cain/textbooks/onlinebooks.html Buku teks Matematika '''Online'''] tersedia '''online''' secara bebas.
* [http://etext.lib.virginia.edu/DicHist/analytic/anaVII.html Matematika dan Logika: Searah matematika formal, gagasan-gagasan logis, linguistik, dan metodologis.] Di dalam ''Kamus Sejarah Gagasan.''
* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/ Riwayat Hidup Matematikawan]. [[:en:MacTutor History of Mathematics archive|Arsip Sejarah Matematika MacTutor]] sejarah ekstensif dan kutipan dari matematikawan termasyhur.
* [http://metamath.org/ ''Metamath'']. Sebuah situs dan sebuah bahasa, yang memformalkan matematika dari dasar-dasarnya.
* [http://www.nrich.maths.org/public/index.php Nrich], sebuah situs peraih hadiah bagi para siswa berusia sejak lima tahun dari [[Universitas Cambridge]]
* [http://garden.irmacs.sfu.ca Taman Masalah Terbuka], sebuah [[wiki]] dari masalah matematika terbuka
* [http://planetmath.org/ ''Planet Math'']. Sebuah ensiklopedia matematika '''online''' yang masih dibangun, memusatkan perhatian pada matematika modern. Menggunakan [[Lisensi Dokumentasi Bebas GNU|GFDL]], memungkinkan pertukaran artikel dengan Wikipedia. Menggunakan pemrograman [[TeX]].
* [http://www-math.mit.edu/daimp Beberapa aplet matematika, di [[Institut Teknologi Massachusetts|MIT]]]
* Weisstein, Eric et al.: [http://www.mathworld.com/ ''MathWorld: World of Mathematics'']. Sebuah ensiklopedia '''online''' matematika.
* Patrick Jones' [http://www.youtube.com/user/patrickJMT Tutorial Video] tentang Matematika
</div>

{{Bidang matematika}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Matematika| ]]
[[Kategori:Ilmu formal]]
[[Kategori:Kata dan frasa Yunani]]
[[Kategori:Artikel topik utama]]