Lihat sumber Contoh grup

{{periksaterjemahan|en|Examples of groups}}
{{Multiple issues|
{{unreferenced|date=Desember}}
{{How to|date=Desember 2020}}
{{Expert|date=Desember 2020}}
{{Noref}}

}}
Beberapa dasar '''contoh grup''' dalam [[matematika]] diberikan pada [[Grup (matematika)|grup]].
Contoh lebih lanjut tercantum di sini.

== Permutasi dari satu himpunan tiga elemen ==
[[Berkas:Group diagram d6.svg|thumb|[[Grafik siklus (grup)|Grafik siklus]] untuk <math>\mathrm S_3</math>. Perulangan menentukan serangkaian kekuatan elemen apa pun yang terhubung ke elemen identitas (e). Misalnya, gelung <math>e-ba-ab</math> mencerminkan fakta bahwa <math>ba^2=ab</math> dan <math>ba^3=e</math>, as serta fakta bahwa <math>ab^2=ba</math> dan  <math>ab^3=e</math> "Lingkaran" lainnya adalah akar kesatuan sehingga, misalnya <math>a^2 = e</math>.]]
{{main|Grup urutan dihedral 6}}

Andaikan tiga blok berwarna (merah, hijau, dan biru), awalnya ditempatkan dalam urutan <math>\mathrm{RGB}</math>. Misalkan <math>a</math> adalah operasi "tukar blok pertama dan blok kedua", dan <math>b</math> adalah operasi "tukar blok kedua dan blok ketiga".

Kita dapat menulis <math>xy</math> untuk operasi "pertama <math>y</math>, lalu <math>x</math>"; sehingga <math>ab</math> adalah operasi <math>\mathrm{RGB} \to \mathrm{RBG} \to \mathrm{BRG}</math>, yang dapat digambarkan sebagai "pindahkan dua blok pertama satu posisi ke kanan dan letakkan blok ketiga di posisi pertama". Jika kita menulis <math>e</math> untuk "misalkan blok apa adanya" (operasi identitas), maka kita dapat menulis enam permutasi dari tiga blok sebagai berikut:

* <math>e \colon \mathrm{RGB} \to \mathrm{RGB}</math>
* <math>a \colon \mathrm{RGB} \to \mathrm{GRB}</math>
* <math>b \colon \mathrm{RGB} \to \mathrm{RBG}</math>
* <math>ab \colon \mathrm{RGB} \to \mathrm{BRG}</math>
*<math>ba \colon \mathrm{RGB} \to \mathrm{GBR}</math>
* <math>aba \colon \mathrm{RGB} \to \mathrm{BGR}</math>

Perhatikan bahwa <math>aa</math> memiliki efek <math>\mathrm{RGB} \to \mathrm{GRB} \to \mathrm{RGB}</math>; agar kita dapat menulis <math>aa = e</math>. Demikian pula, <math>bb = (aba)(aba) = e</math>; <math>(ab)(ba) = (ba)(ab) = e</math>; jadi setiap elemen memiliki kebalikan.

Dengan inspeksi, kita dapat menentukan asosiatif dan ketertutupan; perhatikan secara khusus bahwa <math>(ba)b = bab = b(ab)</math>.

Karena hal tersebut dibangun dari operasi dasar <math>a</math> dan <math>b</math>, kita katakan bahwa himpunan <math>\{a,b\}</math> ''[[Himpunan grup pembangkit|membangkit]]'' grup ini. Grup yang disebut '' [[grup simetrik]] ''<math>S_3</math>, memiliki [[Tingkat (teori grup)|tingkat]] 6, dan takabelian (karena, misalnya, <math>ab \ne ba</math>).

== Grup bidang translasi ==
'' Translasi '' bidang adalah gerakan kaku dari setiap titik bidang untuk jarak tertentu ke arah tertentu..
Misalnya "bergerak ke arah Timur Laut-Timur sejauh 2 mil" adalah translasi dari bidang.
Dua translasi seperti <math>a</math> dan <math>b</math> dapat disusun untuk membentuk translasi baru <math>a \circ b</math> sebagai berikut: pertama ikuti resep <math>b</math>, lalu <math>a</math>. Misalnya, jika
:<math>a = \text{bergerak ke Timur Laut sejauh 3 mil}</math>
dan
:<math>b = \text{bergerak ke Tenggara sejauh 4 mil}</math>
maka
:<math>a \circ b = \text{bergerak ke Timur sejauh 5 mil}</math>
(lihat [[Teorema Pythagoras]] mengapa demikian, secara geometris).

Himpunan semua translasi bidang dengan komposisi sebagai operasi membentuk grup:

#Jika <math>a</math> dan <math>b</math> adalah translasi, maka <math>a \circ b</math> juga merupakan translasi.
#Komposisi translasi bersifat asosiatif: <math>(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) </math>.
#Elemen identitas untuk grup ini adalah translasi dengan resep "bergerak nol mil ke arah yang diinginkan".
#Kebalikan dari translasi diberikan dengan berjalan ke arah yang berlawanan untuk jarak yang sama.

Ini adalah grup abelian dan contoh pertama kita (tidak terpisah) dari [[grup Lie]]: grup yang juga merupakan [[manifold]].

== [[Grup simetri]] persegi: [[grup dihedral]] dengan urutan 8 ==
[[Berkas:Dih4 cycle graph.svg|thumb|left|[[Grafik Cyley (grup) |Grafik Cyley]] dari <math>\mathrm{Dih}_4</math><br><math>a</math> adalah rotasi searah jarum jam<br>dan <math>b</math> pantulan horizontal.]]
{| class=wikitable align=right width=360
|[[Berkas:Dihedral_group4_example.png|180px]]<br><math>\mathrm{Dih}_4</math> sebagai grup titik dua dimensi, <math>\mathrm{D}_4</math>, <math>[4]</math>, <math>(^*4 \bullet)</math>, urutan 4, dengan rotasi 4 kali lipat dan pembangkit cermin.
|[[Berkas:Dihedral_group4_example2.png|180px]]<br><math>\mathrm{Dih}_4</math> dalam [[Simetri dihedral dalam tiga dimensi |grup dihedral 3D]], <math>\mathrm D_4</math>, <math>[4,2]^+</math>, <math>422</math>, urutan 4, dengan pembangkit rotasi 4 kali lipat vertikal urutan 4, dan pembangkit horizontal 2 kali lipat
|}
[[Berkas:Dih 4 Cayley Graph; generators a, b.svg|thumb|[[Grafik Cayley]] pada <math>\mathrm{Dih}_4</math>]]
[[Berkas:Dih 4 Cayley Graph; generators b, c.svg|thumb|Grafik Cayley yang berbeda dari Dih<sub>4</sub>, dihasilkan oleh pantulan horizontal '' b '' dan pantulan diagonal '' c '']]

Grup sangat penting untuk mendeskripsikan [[simetri]] objek, baik itu geometris (seperti [[tetrahedron]]) atau aljabar (seperti kumpulan persamaan). Sebagai contoh, kita menganggap kotak kaca dengan ketebalan tertentu (dengan huruf "F" tertulis di atasnya, hanya untuk membuat posisi yang berbeda dapat didiskriminasi).

Untuk mendeskripsikan simetrinya, kita membentuk himpunan dari semua gerakan kaku persegi yang tidak membuat perbedaan terlihat (kecuali "F"). Misalnya, jika sebuah objek berputar <math>90^\circ</math> searah jarum jam masih terlihat sama, gerakan adalah salah satu elemen dari himpunan, misalnya <math>a</math>. Kita juga dapat membaliknya secara horizontal sehingga bagian bawahnya menjadi sisi atas, sedangkan tepi kiri menjadi tepi kanan. Sekali lagi, setelah melakukan gerakan ini, bujur sangkar kaca terlihat sama, jadi ini juga merupakan elemen himpunan kita dan kita menyebutnya <math>b</math>.Gerakan yang tidak melakukan apa-apa dilambangkan dengan <math>e</math>.

Diberikan dua gerakan seperti <math>x</math> dan <math>y</math>, dimungkinkan untuk menentukan komposisi <math>x \circ y</math> seperti di atas: pertama dilakukan gerakan '' y '', diikuti gerakan <math>x</math>. Hasilnya akan meninggalkan lempengan seperti sebelumnya.

Intinya adalah bahwa himpunan semua gerakan itu, dengan komposisi sebagai operasi, membentuk sebuah grup. Grup ini adalah deskripsi paling ringkas dari simetri bujur sangkar. Para ahli kimia menggunakan grup simetri jenis ini untuk menggambarkan simetri kristal dan molekul.

=== Menghasilkan grup ===
Mari selidiki lagi grup simetri persegi kita. Saat ini, kita memiliki elemen <math>a</math>, <math>b</math> dan <math>e</math>, tetapi kita dapat dengan mudah membentuk lebih banyak: misalnya <math>a \circ a</math>, juga ditulis sebagai <math>a^2</math>, berbelok <math>180^\circ</math> derajat. <math>a^3</math> adalah rotasi <math>270^\circ</math> searah jarum jam (atau <math>90^\circ</math> berlawanan arah jarum jam). Kita juga melihat bahwa <math>b^2 = e</math> dan juga <math>a^4 = e</math>. Ini yang menarik: apa yang dilakukan <math>a \circ b</math>? Pertama, dibalik secara horizontal, lalu putar. Cobalah untuk memvisualisasikan bahwa  <math>a \circ b = b \circ a^3</math>. Juga, <math>a^2 \circ b</math> adalah pembalik vertikal dan sama dengan <math>b \circ a^2</math>.

Kita mengatakan bahwa elemen <math>a</math> dan <math>b</math>[[Menghasilkan himpunan grup | menghasilkan]] grup.

Grup urutan 8 ini memiliki [[tabel Cayley]] berikut:

{| class="wikitable"
|-
! <sup>o</sup>|| e|| b||  a|| a<sup>2</sup>|| a<sup>3</sup>|| ab|| a<sup>2</sup>b|| a<sup>3</sup>b
|- align="center"
! e
| '''e'''|| b|| a|| a<sup>2</sup>|| a<sup>3</sup>|| ab|| a<sup>2</sup>b|| a<sup>3</sup>b
|- align="center"
! b
| b|| '''e'''|| a<sup>3</sup>b|| a<sup>2</sup>b|| ab|| a<sup>3</sup>|| a<sup>2</sup>|| a
|- align="center"
! a
| a|| ab|| a<sup>2</sup>|| a<sup>3</sup>|| '''e'''|| a<sup>2</sup>b|| a<sup>3</sup>b|| b
|- align="center"
! a<sup>2</sup>
| a<sup>2</sup>|| a<sup>2</sup>b|| a<sup>3</sup>|| '''e'''|| a|| a<sup>3</sup>b|| b|| ab
|- align="center"
! a<sup>3</sup>
| a<sup>3</sup>
|| a<sup>3</sup>b|| '''e'''|| a|| a<sup>2</sup>|| b|| ab|| a<sup>2</sup>b
|- align="center"
! ab
| ab|| a|| b|| a<sup>3</sup>b|| a<sup>2</sup>b|| '''e'''|| a<sup>3</sup>|| a<sup>2</sup>
|- align="center"
! a<sup>2</sup>b
| a<sup>2</sup>b|| a<sup>2</sup>|| ab|| b|| a<sup>3</sup>b|| a|| '''e'''|| a<sup>3</sup>
|- align="center"
! a<sup>3</sup>b
| a<sup>3</sup>b|| a<sup>3</sup>|| a<sup>2</sup>b|| ab|| b|| a<sup>2</sup>|| a|| '''e'''
|}

Untuk dua elemen dalam grup, tabel mencatat komposisi mereka.

Dimana "<math>a^3 b</math>" sebagai singkatan dari <math>a^3 \circ b</math>.

Dalam matematika, grup ini dikenal sebagai '''[[grup dihedral]]''' dengan urutan 8, dan juga dilambangkan <math>\mathrm{Dih}_4</math>, <math>\mathrm D_4</math> atau <math>\mathrm D_8</math>, tergantung pada konvensi. Ini adalah contoh grup takabelian: operasi <math>\circ</math> di sini bukan [[komutatif]], yang bisa dilihat dari tabel; tabel taksimetris dengan diagonal utama.

=== Subgrup normal ===
[[Berkas:Dihedral group of order 8; Cayley table (element orders 1,2,2,4,2,2,4,2); subgroup of S4.svg|jmpl|Gugus dihedral tingkat 8 bersifat isomorfik terhadap [[:Berkas:Dihedral group of order 8; Cayley table (element orders 1,2,2,4,2,2,4,2); subgroup of S4.svg|grup permutasi yang dihasilkan oleh (1234) dan (13)]].]]
Versi tabel Cayley ini menunjukkan bahwa grup ini memiliki satu [[subgrup normal]] yang ditampilkan dengan latar belakang merah. Dalam tabel ini <math>r</math> berarti rotasi, dan <math>f</math> berarti membalik. Karena subgrupnya normal, kohimpunan kiri sama dengan koset kanan.

{| class="wikitable" style="float:left; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em; width:40ex; height:40ex;"
|+ [[tabel Cayley|Tabel grup]] pada D<sub>4</sub>
|-
!  style="width:12%; background:#fdd; border-top:solid black 2px; border-left:solid black 2px;"|
!  style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| e
!  style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| r<sub>1</sub>
!  style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| r<sub>2</sub>
!  style="background:#fdd; border-right:solid black 2px; border-top:solid black 2px; width:11%;"| r<sub>3</sub>
! style="width:11%;"| f<sub>v</sub> !! style="width:11%;"| f<sub>h</sub> !! style="width:11%;"| f<sub>d</sub> !! style="width:11%;"| f<sub>c</sub>
|-
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | e
|style="background:#FDD;"| e
|style="background:#FDD;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;" | r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| r<sub>3</sub> || f<sub>v</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>d</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-top:solid black 2px;"| f<sub>c</sub>
|-
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| e || f<sub>c</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>v</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| f<sub>h</sub>
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>2</sub>
|style="background:#FDD;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD;"| e
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| r<sub>1</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>v</sub> || f<sub>c</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| f<sub>d</sub>
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px; border-left:solid black 2px;" | r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>3</sub>
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| e
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>1</sub>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| r<sub>2</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>c</sub> || f<sub>h</sub>
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| f<sub>v</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>v</sub>
| f<sub>v</sub> || f<sub>d</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub>|| e || r<sub>2</sub> || r<sub>1</sub> || r<sub>3</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>h</sub>
| f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub> || f<sub>v</sub> || f<sub>d</sub> || r<sub>2</sub> || e || r<sub>3</sub> || r<sub>1</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>d</sub>
| f<sub>d</sub> || f<sub>h</sub> || f<sub>c</sub> || f<sub>v</sub> || r<sub>3</sub> || r<sub>1</sub> || e || r<sub>2</sub>
|- style="height:10%"
! f<sub>c</sub>
|style="background:#9DFF93; border-left: solid black 2px; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>c</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>v</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | f<sub>d</sub>
|style="background:#9DFF93; border-bottom:solid black 2px; border-top:solid black 2px; border-right:solid black 2px;" | f<sub>h</sub> || r<sub>1</sub> || r<sub>3</sub> || r<sub>2</sub> || e
|-
| colspan="9" style="text-align:left"| Elemen e, r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, dan r<sub>3</sub> membentuk [[subgrup]], disorot di {{color box|#FDD}} merah (wilayah kiri atas). [[Coset]] kiri dan kanan subgrup ini disorot di {{color box|#9DFF93}} hijau (di baris terakhir) dan {{color box|#FFFC93}} kuning (kolom terakhir), masing-masing.
|}
== Grup bebas pada dua pembangkit ==
[[Grup bebas]] dengan dua pembangkit '' a '' dan '' b '' terdiri dari semua [[pita (ilmu komputer) | pita]] hingga yang dapat dibentuk dari empat simbol ''a'', ''a''<sup>−1</sup>, ''b'' dan ''b''<sup>−1</sup> sedemikian rupa sehingga tidak ada '' a '' yang muncul tepat di sebelah ''a''<sup>−1</sup> dan tidak ada '' b '' yang muncul tepat di sebelah a ''b''<sup>−1</sup>.
Dua string tersebut dapat digabungkan dan diubah menjadi string jenis ini dengan berulang kali mengganti substring "terlarang" dengan string kosong.
Misalnya: "''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup>" concatenated with
"''abab''<sup>−1</sup>''a''" yields "''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup>''abab''<sup>−1</sup>''a''", yang direduksi menjadi "''abaab''<sup>−1</sup>''a''".
Seseorang dapat memeriksa bahwa himpunan string tersebut dengan operasi ini membentuk grup dengan elemen netral string kosong ε: = "".
(Biasanya tanda petik tidak ada; inilah mengapa simbol ε! Adalah yg dibutuhkan)

Ini adalah grup takabelian tak terbatas lainnya.

Grup bebas penting dalam [[topologi aljabar]]; grup bebas dalam dua pembangkit juga digunakan untuk membuktikan [[paradoks Banach–Tarski]].

== Lihat pula ==
* [[Daftar grup kecil]]
* [[Daftar 230 grup ruang 3D kristalografi]]

== Referensi ==
{{empty section|date=Desember 2020}}
{{reflist}}
[[Kategori:Group theory]]
[[Kategori:Mathematical examples|Groups]]