Lihat sumber Garis besar struktur aljabar

{{Periksa terjemahan|en|Outline of algebraic structures}}{{Struktur aljabar}}

Dalam [[matematika]], terdapat banyak tipe [[struktur aljabar]] yang dipelajari. [[Aljabar abstrak]] pada pokoknya merupakan studi mengenai struktu aljabar dan sifat-sifatnya tertentu. Struktur aljabar dapat dipandang dalam cara yang berbeda, namun titik awal umumnya mengenai pelajaran aljabar adalah bahwa sebuah objek aljabar menggabungkan satu [[Himpunan (matematika)|himpunan]] atau lebih dengan satu [[operasi biner]] atau [[operasi uner]] atau lebih memenuhi sebuah pengumpulan [[aksioma]].

Cabang matematika lainnya dikenal sebagai sebuah [[aljabar semesta]] mempelajari struktur aljabar pada umumnya. Dari sudut pandang aljabar semesta, hampir struktur-struktur dapat dibagi menjadi [[Varietas (aljabar universal)|varietas]] dan [[kuasivarietas]] bergantung pada aksioma digunakan. Beberapa [[bahasa formal]] [[aksioma]]tik bahwa baik bukan varietas maupun kuasivarietas, disebut ''takvarietas'', terkadang mencakup di antara struktur aljabar oleh tradisi.

Contoh konkret mengenai setiap struktur dapat ditemukan dalam artikel tertulis.

Struktur aljabar ada sangat banyak hari ini bahwa artikel ini akan pasti menjadi taklengkap. Sebagai tambahan untuk ini, terdapat beberapa nama untuk struktur yang sama, dan terkadang salah satu nama akan didefinisikan dengan tidak menyetujui aksioma oleh beberapa penulis. Kebanyakan struktur muncul pada halaman ini akan menjadi salah satu yang umum yang kebanyakan penulis setuju. Daftar-daftar situs lainnya mengenai struktur aljabar, diatur kurang lebih secara abjad, mencakup [http://math.chapman.edu/~jipsen/structures/doku.php Jipsen] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201127042753/http://math.chapman.edu/~jipsen/structures/doku.php |date=2020-11-27 }} dan [http://planetmath.org/browse/objects/ PlanetMath] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071113050602/http://planetmath.org/browse/objects/ |date=2007-11-13 }}. Daftar-daftar ini menyebutkan banyak struktur yang tidak dicakupi di bawah, dan dapat menyajikan lebih banyak informasi mengenai beberapa struktur daripada disajikan di sini

== Studi mengenai struktur aljabar ==
Struktur aljabar muncul dalam kebanyakan cabang-cabang matematika, dan salah satunya dapat menghadapinya dalam beberapa cara.

* Studi awal: Dalam universitas Amerika; [[Grup (matematika)|grup]], [[ruang vektor]] dan [[Medan (matematika)|medan]] umumnya merupakan struktur pertama yang dihadapi dalam subjek seperti [[aljabar linear]]. Mereka biasanya diperkenalkan sebagai himpunan-himpunan dengan aksioma tertentu.
* Studi lanjutan:
** [[Aljabar abstrak]] mempelajari sifat-sifat mengenai struktur aljabar spesifik.
** [[Aljabar semesta]] mempelajari struktur aljabar secara abstrak, daripada tipe-tipe struktur yang spesifik.
*** [[Varietas (aljabar universal)|Varietas]]
** [[Teori kategori]] mempelajari hubungan timbal balik antara struktur, aljabar, dan takaljabar yang berbeda. Untuk mempelajari sebuah objek takaljabar, ini sering kali digunakan untuk menggunakan teori kategori untuk menghubungkan objek dengan sebuah struktur aljabar.
*** Contoh: [[Grup fundamental]] mengenai sebuah [[ruang topologis]] memberikan informasi tentang ruang topologis.

== Tipe-tipe struktur aljabar ==
Secara umum penuhnya, sebuah struktur aljabar dapat digunakan suatu jumlah himpunan-himpunan dan suatu jumlah aksioma-aksioma dalam definisinya. Struktur yang dipelajari paling umum, namun, biasanya melibatkan hanya satu atau dua himpunan dan satu atau dua [[operasi biner]]. Struktur di bawah diatur oleh bagaimana banyak himpunan dilibatkan, dan berapa banyak operasi biner digunakan. Lekukan yang meningkat berarti untuk mengindikasi sebuah struktur yang lebih eksotik, dan tingkatan terlekukannya adalah paling dasar.

=== Satu operasi biner pada satu himpunan ===
{{Group-like structures}}
Struktur berikut terdiri dari sebuah himpunan dengan sebuah operasi biner. Struktur paling umum adalah ''grup''. Struktur lainnya melibatkan aksioma yang melemahkan atau menguatkan untuk grup, dan mungkin sebagai tambahan menggunakan operasi uner.

* [[Grup (matematika)|Grup]] adalah struktur utama. [[Grup Abelian|Grup Abel]] adalah sebuah tipe khusus grup yang penting.
** [[Semigrup]] dan [[monoid]]: Ini seperti grup, kecuali operasinya tidak perlu memiliki unsur balikan.
** [[Kuasigrup]] dan [[Gelung (matematika)|gelung]]: Ini seperti grup, kecuali operasinya tidak perlu menjadi asosiatif.
** [[Magma (aljabar)|Magma]]: Ini seperti grup, kecuali operasinya tidak perlu menjadi asosiatif atau memiliki unsur balikkan.
* [[Semikekisi]]: Ini pada dasarnya "setengah" struktur kekisi (lihat di bawah).

=== Dua operasi biner pada satu himpunan ===
Tipe-tipe utama mengenai struktur dengan satu operasi memiliki dua operasi biner adalah ''gelanggang'' dan ''kekisi''. Aksiomanya mendefinisikan banyak dari struktur-struktur lainnya adalah modifikasi dari aksioma untuk gelanggang dan kekisi. Salah satu perbedaan besar antara gelanggang dan kekisi adalah bahwa kedua operasinya berkaitan dengan satu sama lain dalam cara yang berbeda. Dalam struktur seperti gelanggang, dua operasinya terjalin oleh [[hukum distributif]], dalam struktur seperti kekisi, operasinya terjalin oleh [[hukum serapan]].

* [[Gelanggang (matematika)|Gelanggang]]: Dua operasinya biasanya dikatakan penambahan dan perkalian. Gelanggang komutatif adalah sebuah tipe yang termasuk penting mengenai gelanggang dimana operasi perkalian adalah komutatif. [[Ranah integral]] dan [[Medan (matematika)|medan]] adalah tipe yang termasuk penting mengenai gelanggang komutatif.
** [[Gelanggang takasosiatif]]: Ini seperti gelanggang, tapi operasi perkaliannya tidak perlu menjadi asosiatif.
*** [[Aljabar Lie|Gelanggang Lie]] dan [[gelanggang Jordan]] merupakan contoh khusus mengenai gelanggang takasosiatif.
** [[Semigelanggang]]: Ini seperti gelanggang, tapi operasi penambahannya tidak perlu memiliki balikkan.
** [[Gelanggang dekat]]: Ini seperti gelanggang, tapi operasi penambahannya tidak perlu menjadi komutatif.
** [[Gelanggang-*]]: Ini merupakan gelanggang dengan sebuah operasi uner tambahan dikenal sebagai sebuah [[Involusi (matematika)|involusi]].
* [[Kekisi (tatanan)|Kekisi]]: Dua operasinya biasanya dikatakan [[Sambungan dan pertemuan (matematika)|pertemuan dan sambungan]].
* ''Latticoid'', pertemuan dan sambungan [[Komutatif|bertukar]] tetapi tidak perlu [[Ranah integral|iring]].
* [[Kekisi pencong]]: pertemuan dan sambungan iring tetapi tidak perlu bertukar.

=== Dua operasi biner dan dua himpunan ===
Struktur berikut yang memiliki keistimewaan umum memiliki dua himpunan, <math>A</math> dan <math>B</math>, sehingga terdapat sebuah operasi biner dari <math>A \times A</math> ke dalam <math>A</math> dan operasi lainnya dari <math>B \times B</math> ke dalam <math>A</math>.

* [[Ruang vektor]]: Himpunan <math>A</math> merupakan sebuah grup Abel, dan himpunan <math>B</math> adalah [[Medan (matematika)|medan]].
** [[Ruang vektor bertingkat]]: Ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah penguraian [[jumlah langsung]] menjadi subruang.
* [[Modul (matematika)|Modul]]: Himpunan <math>A</math> adalah sebuah grup Abel, tapi <math>B</math> hanya sebuah gelanggang umum dan tidak selalu sebuah medan.
** Tipe khusus modul, termasuk [[modul bebas]], [[modul projektif]], [[modul injektif]], dan [[modul datar]] dipelajari dalam aljabar abstrak.
* [[Grup dengan operasi]]: Dalam kasus ini, himpunan <math>A</math> adalah grup, dan himpunan <math>B</math> hanya sebuah himpunan.

=== Tiga operasi biner dan dua himpunan ===
Banyak struktur disini sebenarnya adalah struktur hibrid dari salah satunya yang disebutkan sebelumnya.

* [[Aljabar atas medan]]: Ini adalah sebuah gelanggang yang juga merupakan sebuah ruang vektor atas medan. Terdapat aksioma mengatur interaksi dari dua struktur. Perkalian biasanya diasumsi menjadi asosiatif.
** [[Aljabar atas medan#Perampatan: Aljabar atas gelanggang|Aljabar atas gelanggang]]: Ini didefinisikan dengan cara yang sama sebagai aljabar atas medan, kecuali bahwa medan sekarang dapat menjadi suatu gelanggang komutatif.
** [[Aljabar bertingkat]]: Aljabar ini dilengkapi dengan sebuah penguraian menjadi ''tingkatan''.
* [[Aljabar takasosiatif]]: Ini adalah aljabar untuk yang asosiativitas mengenai perkalian gelanggang yang santai.
** [[Aljabar Lie]] dan [[Aljabar Jordan]] adalah contoh khusus mengenai aljabar takasosiatif.
* [[Koaljabar]]: Struktur ini memiliki aksioma yang membuat perkaliannya [[Dual (teori kategori)|dual]] dengan aljabar asosiatifnya.
** [[Bialjabar]]: Struktur ini sekaligus aljabar dan koaljabar yang operasinya serasi. Mereka sebenarnya ada empat operasi untuk struktur ini.

== Struktur aljabar dengan struktur takaljabar tambahan ==
Terdapat banyak contoh-contoh mengenai struktur matematis dimana struktur aljabar ada bersama struktur takaljabar.

* [[Ruang vektor topologis]] adalah ruang vektor dengan sebuah [[topologi]] serasi.
* [[Grup Lie]]: Ini adalah manifold topologis yang juga membawa sebuah struktur grup serasi.
* [[Grup terurut]], [[gelanggang terurut]], dan [[medan terurut]] memiliki struktur aljabar serasi dengan sebuah [[Teori tatanan|tatanan]] pada himpunan.
* [[Aljabar von Neumann]]: ini adalah aljabar-* pada sebuah [[ruang Hilbert]] yang dilengkapi dengan [[topologi operator lemah]].

== Struktur aljabar dalam disiplin berbeda ==
Beberapa struktur aljabar mencari penggunaan dalam disilpin di luar aljabar abstrak. Hal berikut berarti untuk mendemonstrasikan beberapa penerapan spesifik dalam bidang lainnya.

Dalam [[fisika]]:

* [[Grup Lie]] digunakan dengan luas dalam fisika. Beberapa yang diketahui mencakup [[grup ortogonal]] dan [[grup uniter]].
* [[Aljabar Lie]]
* [[Ruang darab dalam]]
* [[Aljabar Kac–Moody]]
* [[Kuaternion]] dan lebih umumnya [[aljabar geometrik]]

Dalam [[Logika matematika|logika matematis]]:

* [[Aljabar Boole]] adalah gelanggang dan kekisi, terhadap dua operasi.
** [[Aljabar Heyting]] adalah sebuah contoh khusus mengenai aljabar Boole.
* [[Aritmetika Peano]]
* [[Aljabar batas]]
* [[Aljabar-MV]]

Dalam [[ilmu komputer]]:

* [[Aljabar maks-plus]]
* [[Monoid sintatik]]
* [[Monoid peralihan]]

== Lihat pula ==

* [[Aljabar abstrak]]
** [[Garis besar aljabar abstrak]]
* [[Aljabar semesta]]
** [[Varietas (aljabar semesta)]]
* [[Aljabar linear]]
** [[Garis besar aljabar linear]]
* [[Ariti]]
* [[Teori kategori]]
* [[Objek bebas]]
* [[Operasi (matematika)]]
* [[Tanda tangan (logika)]]
* [[Teori tingkat pertama]]
* [[Daftar matematis]]

== Catatan ==

== Referensi ==
{{refbegin}}
*[[Garrett Birkhoff]], 1967. ''Lattice Theory'', 3rd ed, AMS Colloquium Publications Vol. 25. American Mathematical Society.
*———, and [[Saunders MacLane]], 1999 (1967). ''Algebra'', 2nd ed. New York: Chelsea.
*[[George Boolos]] and [[Richard Jeffrey]], 1980. ''Computability and Logic'', 2nd ed. Cambridge Univ. Press.
*Dummit, David S., and Foote, Richard M., 2004. ''Abstract Algebra'', 3rd ed. John Wiley and Sons.
*Grätzer, George, 1978. ''Universal Algebra'', 2nd ed. Springer.
*[[David K. Lewis]], 1991. ''Part of Classes''. Blackwell.
* Michel, Anthony N., and Herget, Charles J., 1993 (1981). ''Applied Algebra and Functional Analysis''. Dover.
*Potter, Michael, 2004. ''Set Theory and its Philosophy'', 2nd ed. Oxford Univ. Press.
*Smorynski, Craig, 1991. ''Logical Number Theory I''. Springer-Verlag.
A monograph available free online:
* Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050123031934/http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html |date=2005-01-23 }}''  Springer-Verlag. {{ISBN|3-540-90578-2}}.
{{refend}}

== Pranala luar ==

* Jipsen:
** [https://math.chapman.edu/~jipsen/structures/doku.php Daftar] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230706205832/https://math.chapman.edu/~jipsen/structures/doku.php |date=2023-07-06 }} alfabetis mengenai struktur aljabar; mencakup banyak yang tidak disebutkan disini.
** [https://math.chapman.edu/~jipsen/structures/doku.php/online_books_and_lecture_notes Buku daring dan catatan perkuliahan.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220330044942/https://math.chapman.edu/~jipsen/structures/doku.php/online_books_and_lecture_notes |date=2022-03-30 }}
** [http://www1.chapman.edu/~jipsen/PCP/theoriesPO1.html Map] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210507020125/http://www1.chapman.edu/~jipsen/PCP/theoriesPO1.html |date=2021-05-07 }} berisi sekitar 50 struktur, beberapa di antaranya tidak muncul di atas. Demikian juga, kebanyakan struktur di atas tidak hadir dari peta ini.
* Indeks topik [http://planetmath.org/browse/objects/ PlanetMath] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071113050602/http://planetmath.org/browse/objects/ |date=2007-11-13 }}.
* [[Hazewinkel, Michiel]] (2001) ''[https://books.google.com/books?id=3ndQH4mTzWQC&dq Encyclopaedia of Mathematics.]'' Springer-Verlag.
* Halaman [http://mathworld.wolfram.com/topics/Algebra.html Mathworld] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201130232032/http://mathworld.wolfram.com/topics/Algebra.html |date=2020-11-30 }} pada aljabar abstrak.
* [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]: [http://plato.stanford.edu/entries/algebra/ Algebra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200925191746/http://plato.stanford.edu/entries/algebra/ |date=2020-09-25 }} oleh [[Vaughan Pratt]].

[[Kategori:Daftar bertopik matematika]]
[[Kategori:Struktur aljabar]]
[[Kategori:Garis besar Wikipedia]]
[[Kategori:Garis besar matematika dan logika]]