Lihat sumber Grup (matematika)

[[Gambar:Rubik's cube.svg|thumb|right|Manipulasi dari [[Kubus Rubik]] membentuk [[Grup Kubus Rubik]].]]
Dalam [[matematika]], '''grup''' adalah suatu [[himpunan]], beserta satu [[operasi biner]], seperti perkalian atau penjumlahan yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut ''aksioma grup''. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut [[teori grup]].

Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup.

Asal usul teori grup berawal dari kerja [[Evariste Galois]] (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori [[bentuk kuadrat]].

== Definisi dan ilustrasi ==
=== Contoh pertama: bilangan bulat ===
Salah satu grup yang lebih dikenal adalah himpunan [[bilangan bulat]]  :<math>\mathbb{Z} = \{\ldots,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots\}</math>
dengan [[penambahan]].<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 2005|loc = App. 2, p. 360|nb = yes}}</ref> Untuk dua bilangan bulat ''a'' dan ''b'', [[penambahan]] ''a'' + ''b'' adalah bilangan bulat; sifat ''[[Penutupan (matematika)|penutupan]]'' bahwa + adalah [[operasi biner]] <math>\mathbb{Z}</math>. Sifat penjumlahan bilangan bulat berikut berfungsi sebagai model untuk aksioma grup dalam definisi di bawah ini.

* Untuk semua bilangan bulat ''a'', ''b'' dan ''c'', satu memiliki (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'').  Dinyatakan dalam kata-kata, menambahkan ''a'' ke ''b'' terlebih dahulu, setelah itu menambahkan hasilnya ke ''c'' memberikan hasil akhir yang sama seperti menambahkan ''a'' ke jumlah ''b'' dan ''C''. Sifat ini disebut sebagai ''[[asosiatif]]''.
* Jika ''a'' adalah bilangan bulat, maka {{nowrap|1=0 + ''a'' = ''a''}} dan {{nowrap|1=''a'' + 0 = ''a''}}. [[Nol]] disebut ''[[elemen identitas]]'' dari penjumlahan karena menambahkannya ke bilangan bulat akan mengembalikan bilangan bulat yang sama.
* Untuk setiap bilangan bulat ''a'', bilangan bulat ''b'' sebagai {{nowrap|1=''a'' + ''b'' = 0}} dan {{nowrap|1=''b'' + ''a'' = 0}}. Bilangan bulat ''b'' disebut ''[[elemen invers]]'' dari bilangan bulat ''a'' dan dilambangkan dengan −''a''.

Bilangan bulat dengan operasi +, membentuk objek matematika kelas luas yang terbagi aspek struktural serupa. Untuk memahami dengan tepat struktur tersebut sebagai suatu kolektif.

=== Definisi ===
{{quote box
|align = right
|width=33%
|quote=Aksioma untuk grup pendek dan alami... Namun harus bagaimana di balik aksioma ini adalah [[Grup monster|grup monster sederhana]], objek matematika sangat luar biasa, yang tampaknya tergantung pada banyak kebenaran yang aneh. Aksioma untuk grup tidak memberikan petunjuk yang jelas bahwa hal seperti ini ada.
|source=[[Richard Borcherds]] dalam ''Matematikawan: Pandangan Luar dari Dunia Batin'' <ref>{{Citation |last=Cook |first=Mariana R. |year=2009 |title=Mathematicians: An Outer View of the Inner World |publisher=Princeton University Press |location=Princeton, N.J. |page=24 | isbn=9780691139517 |url=https://books.google.com/books?id=06h8NT77OgMC&q=Richard+Ewen+Borcherds&pg=PA24 }}</ref>
}}

Grup adalah [[himpunan (matematika)|himpunan]] ''G'' dengan [[operasi biner]] ''G'' yang dilambangkan sebagai {{math|⋅}}, menggabungkan dua [[elemen (matematika)|elemen]] ''a'' dan ''b'' untuk membentuk elemen ''G'' dilambangkan {{nowrap|''a'' &sdot; ''b''}}, sedemikian rupa maka tiga persyaratan berikut, yang dikenal sebagai ''aksioma grup'', digunakan sebagai:<ref>{{Harvard citations|last = Artin|year = 2018|loc = §2.2, p. 40|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 2002|loc = I.§1, p. 3 and I.§2, p. 7|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 2005|loc = II.§1, p. 16|nb = yes}}</ref>

;Asosiatif: Untuk semua ''a'', ''b'', ''c'' dalam ''G'' yang menggunakan (''a'' &sdot; ''b'') &sdot; ''c'' = ''a'' &sdot; (''b'' &sdot; ''c'').
;Elemen identitas: Elemen ''e'' dalam ''G'', maka untuk setiap ''a'' dalam '' G '' yang menggunakan {{nowrap|1=''e'' &sdot; ''a'' = ''a''}} dan {{nowrap|1=''a'' &sdot; ''e'' = ''a''}}. Elemen unik ([[elemen identitas unik|lihat di bawah]]) disebut ''elemen identitas'' dari grup. 
;Elemen invers: Untuk setiap ''a'' dalam ''G'' adalah elemen ''b'' dalam ''G'' sedemikian rupa maka {{nowrap|1=''a'' &sdot; ''b'' = ''e''}} and {{nowrap|1=''b'' &sdot; ''a'' = ''e''}}, di mana ''e'' adalah elemen identitas. Untuk setiap ''a'', elemen ''b'' unik ([[#Keunikan invers|lihat di bawah]]); disebut sebagai ''invers'' dari ''a'' dan biasanya dilambangkan ''a''<sup>−1</sup>.

=== Notasi dan terminologi ===
Secara formal, grup tersebut adalah [[pasangan terurut]] dari suatu himpunan dan operasi biner pada himpunan ini yang memenuhi [[aksioma grup]]. Himpunan ini disebut ''himpunan mendasari'' grup, dan operasinya disebut ''operasi grup'' atau ''hukum grup''.

Grup dan himpunan dasarnya adalah dua [[objek matematika]] yang berbeda. Tetapi untuk menghindari notasi yang rumit, biasanya [[penyalahgunaan notasi|notasi penyalahgunaan]] dengan menggunakan simbol yang sama untuk menunjukkan keduanya. Hal ini mencerminkan cara berpikir informal, bahwa grup tersebut sama dengan himpunan kecuali telah diperkaya oleh struktur tambahan yang disediakan oleh operasi.

Misalnya, pertimbangkan himpunan [[bilangan riil]] <math>\mathbb R</math>, yang memiliki operasi penjumlahan <math>a+b</math> dan perkalian <math>ab</math>.  Secara formal, <math>\mathbb R</math> adalah satu himpunan, <math>(\mathbb R,+)</math> adalah sebuah grup, dan <math>(\mathbb R,+,\cdot)</math> adalah [[medan (matematika)|medan]]. Tapi biasanya ditulis sebagai <math>\mathbb R</math> untuk menunjukkan salah satu dari tiga objek ini.

''Grup aditif'' dari lapangan <math>\mathbb R</math> adalah grup yang himpunan dasar <math>\mathbb R</math> dan yang operasinya adalah penjumlahan. ''Grup perkalian'' dari lapangan <math>\mathbb R</math> adalah grup <math>\mathbb{R}^{\times}</math> himpunan dasar adalah himpunan bilangan real bukan nol <math>\mathbb{R} \setminus \{0\}</math> dan operasinya adalah perkalian.

Secara umum, kita berbicara tentang ''grup aditif'' setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai penjumlahan; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan {{math|0}},<ref>{{MathWorld |title=Elemen Identitas |urlname=IdentityElement}}</ref> dan invers dari elemen {{mvar|x}} dilambangkan dengan {{math|–''x''}}. Demikian pula, kita berbicara tentang ''grup perkalian'' setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai perkalian; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan {{math|1}}, dan inversi elemen {{mvar|x}} dilambangkan dengan {{math|''x''{{sup|–1}}}}.  Dalam grup perkalian, simbol operasi biasanya dihilangkan seluruhnya, so bahwa operasi dilambangkan dengan penjajaran, {{math|''ab''}} sebagai pengganti {{math|''a'' &sdot; ''b''}}.

Definisi grup tidak mensyaratkan bahwa {{math|1=''a'' &sdot; ''b'' = ''b'' &sdot; ''a''}} untuk semua elemen {{mvar|a}} dan {{mvar|b}} dalam {{mvar|G}}. Jika ketentuan tambahan berlaku, maka operasi tersebut dikatakan [[komutatif]], dan grup tersebut disebut [[grup abelian]]. Sudah menjadi kesepakatan umum bahwa untuk grup abelian, notasi aditif atau perkalian dapat digunakan, tetapi untuk grup nonabelian hanya digunakan notasi perkalian.

Beberapa notasi lain biasanya digunakan untuk grup yang elemennya bukan bilangan. Untuk grup di mana elemennya [[fungsi (matematika)|fungsi]], operasi sering kali digunakan dalam [[komposisi fungsi]] <math>f\circ g</math>; maka identitas tersebut dapat dilambangkan dengan {{math|id}}. Dalam kasus yang lebih spesifik dari grup [[transformasi geometris]], grup [[simetri (matematika)|simetri]], [[grup permutasi]], dan [[grup automorfisme]], simbol <math>\circ</math> dihilangkan, seperti grup perkalian. Banyak varian notasi lainnya yang ditemui.

=== Definisi alternatif ===
Definisi ekuivalen dari grup terdiri dari penggantian bagian "ada" dari aksioma grup dengan operasi yang hasilnya adalah elemen yang harus ada. Jadi, grup adalah himpunan yang dilengkapi dengan tiga operasi, yaitu [[operasi biner]] yang merupakan operasi grup, [[operasi uner]] sebagai kebalikan dari operan tunggalnya, dan [[operasi nullari]] yang tidak memiliki operan dan menghasilkan elemen identitas. Jika tidak, aksioma grupnya persis sama.

Varian definisi ini menghindari [[kuantifer eksistensial]]. Biasanya lebih sering digunakan untuk [[teori grup komputasi|komputasi dengan grup]] dan untuk [[bukti bantuan komputer]]. Rumus ini menunjukkan grup sebagai variasi [[aljabar universal]]. Ini pula digunakan untuk membicarakan sifat operasi invers, sebagaimana diperlukan untuk mendefinisikan [[grup topologi]] dan [[objek grup]].

=== Contoh kedua: grup simetri ===
Dua bilangan pada bidang adalah [[kongruensi (geometri)|kongruen]] jika satu diubah menjadi yang lain menggunakan kombinasi [[rotasi (matematika)|rotasi]], [[refleksi (matematika)|refleksi]], dan [[translasi (geometri)|translasi]]. Namun, beberapa figur kongruen dengan sendiri dalam lebih dari satu cara, dan kongruensi tambahan ini disebut [[simetri|simetris]]. Persegi memiliki delapan kesimetrian, yaitu:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Elemen dari grup simetri bujur sangkar ({{math|''D''<sub>4</sub>}}). Simpul diidentifikasi dengan warna atau bilangan.
|-
| [[Gambar:group D8 id.svg|140px]] <br /> {{math|id}} (sebagai sudut) || [[Gambar:group D8 90.svg|140px]] <br /> {{math|''r''<sub>1}}</sub> (rotasi 90° searah jarum jam) || [[Gambar:group D8 180.svg|140px]] <br /> {{math|''r''<sub>2</sub>}} (rotasi 180°) || [[Gambar:group D8 270.svg|140px]] <br /> {{math|''r''<sub>3</sub>}} (rotasi 270° searah jarum jam)
|-
| [[Gambar:group D8 fv.svg|140px]] <br /> {{math|''f''<sub>v</sub>}} (refleksi vertikal) || [[Gambar:group D8 fh.svg|140px]] <br /> {{math|''f''<sub>h</sub>}} (refleksi horizontal)|| [[Gambar:group D8 f13.svg|140px]] <br /> {{math|''f''<sub>d</sub>}} (refleksi diagonal) || [[Gambar:group D8 f24.svg|140px]] <br /> {{math|''f''<sub>c</sub>}} (refleksi kontra-diagonal)
|}
* [[operasi identitas]] untuk semua tidak diubah, dilambangkan dengan id;
* rotasi persegi di sekitar pusatnya sebesar 90°, 180°, dan 270° searah jarum jam, dilambangkan dengan {{math|''r''<sub>1</sub>}}, {{math|''r''<sub>2</sub>}} dan {{math|''r''<sub>3</sub>}};
* refleksi tentang garis tengah horizontal dan vertikal ({{math|''f''<sub>v</sub>}} dan {{math|''f''<sub>h</sub>)}}, atau melalui dua [[diagonal]] ({{math|''f''<sub>d</sub>}} dan {{math|''f''<sub>c</sub>}}).
{{clear}}

Simetri diatas adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]]. Masing-masing untuk satu titik dalam persegi ke titik yang sesuai di bawah simetri. Sebagai contoh, {{math|''r''<sub>1</sub>}} untuk titik ke rotasi 90° searah jarum jam di sekitar pusat persegi, dan {{math|''f''<sub>h</sub>}} untuk titik ke pantulan di garis tengah vertikal persegi. [[Komposisi fungsi|Komposisi]] dua kesimetrian menghasilkan kesimetrian yang lain. Kesimetrian ini menentukan sebuah grup yang disebut [[grup dihedral]] dengan derajat 4, dilambangkan {{math|''D''<sub>4</sub>}}. Himpunan yang didasari grup adalah himpunan simetri di atas, dan operasi grup adalah [[komposisi fungsi]].<ref>{{Harvard citations|last = Herstein|year = 1975|loc = §2.6, p. 54|nb = yes}}</ref> Dua simetri digabungkan dengan menyusunnya sebagai fungsi, yaitu menerapkan yang pertama ke persegi, dan yang kedua ke hasil aplikasi pertama. Hasil dari pertama kali {{math|''a''}} dan kemudian {{math|''b''}} ditulis secara simbolis ''dari kanan ke kiri'' sebagai <math>b\circ a</math> ("terapkan simetri {{math|''b''}} setelah melakukan simetri {{math|''a''}}"). Maka ini adalah notasi biasa untuk komposisi fungsi.

[[Tabel grup]] di sebelah kanan mencantumkan hasil dari semua komposisi yang memungkinkan. Misalnya, 270° searah jarum jam ({{math|''r''<sub>3</sub>}}) dan kemudian merefleksikan secara horizontal ({{math|''f''<sub>h</sub>}}) sama seperti melakukan refleksi di sepanjang diagonal ({{math|''f''<sub>d</sub>}}). Menggunakan simbol di atas, disorot dengan warna biru di tabel grup:
:<math>f_\mathrm h \circ r_3= f_\mathrm d.</math>

{| class="wikitable" style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em; width:40ex; height:40ex;"
|+ [[Tabel Cayley|Tabel grup]] dari {{math|''D''<sub>4</sub>}}
|-
!  style="width:12%; background:#fdd; border-top:solid black 2px; border-left:solid black 2px;"| 
!  style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| {{math|id}}
!  style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}}
!  style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| {{math|r<sub>2</sub>}}
!  style="background:#fdd; border-right:solid black 2px; border-top:solid black 2px; width:11%;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}}
! style="width:11%;"| {{math|''f''<sub>v</sub>}} !! style="width:11%;"| {{math|''f''<sub>h</sub>}} !! style="width:11%;"| {{math|''f''<sub>d</sub>}} !! style="width:11%;"| {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|-
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | {{math|id}}
|style="background:#FDD;"| {{math|id}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|style="background:#FDD;" | {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}}
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-top:solid black 2px;"| {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|-
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| {{math|id}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}}
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| {{math|''f''<sub>h</sub>}}
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|id}}
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| {{math|''f''<sub>d</sub>}}
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px; border-left:solid black 2px;" | {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|id}}
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>2</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}}
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|''f''<sub>v</sub>}}
|- style="height:10%"
! {{math|''f''<sub>v</sub>}}
| {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}}|| {{math|id}} || {{math|''r''<sub>2</sub>}} || {{math|''r''<sub>1</sub>}} || {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|- style="height:10%"
! {{math|''f''<sub>h</sub>}}
| {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''r''<sub>2</sub>}} || {{math|id}} || {{math|''r''<sub>3</sub>}} || {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|- style="height:10%"
! {{math|''f''<sub>d</sub>}}
| {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''r''<sub>3</sub>}} || {{math|''r''<sub>1</sub>}} || {{math|id}} || {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|- style="height:10%"
! {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|style="background:#9DFF93; border-left: solid black 2px; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | {{math|''f''<sub>v</sub>}}
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | {{math|''f''<sub>d</sub>}}
|style="background:#9DFF93; border-bottom:solid black 2px; border-top:solid black 2px; border-right:solid black 2px;" | {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''r''<sub>1</sub>}} || {{math|''r''<sub>3</sub>}} || {{math|''r''<sub>2</sub>}} || {{math|id}}
|-
| colspan="9" style="text-align:left"| Elemen {{math|id}}, {{math|''r''<sub>1</sub>}}, {{math|''r''<sub>2}}</sub>, dan {{math|''r''<sub>3}}</sub> sebagai bentuk [[subgrup]] tabel grup ditarik dalam {{color box|#FDD}} merah (wilayah kiri atas). [[Kohimpunan]] kiri dan kanan subgrup ini ditarik di {{color box|#9DFF93}} hijau (di baris terakhir) dan {{color box|#FFFC93}} kuning (kolom terakhir).
|}
Mengingat himpunan kesimetrian ini dan operasi yang dijelaskan, aksioma grup dapat dipahami sebagai berikut.

''Komposisi adalah operasi biner.'' Artinya, <math>a\circ b</math> adalah simetri untuk dua simetri {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}. Sebagai contoh,
:<math>r_3\circ f_\mathrm h = f_\mathrm c,</math>
yaitu, 270° searah jarum jam setelah memantulkan secara horizontal sama dengan pemantulan di sepanjang kontra-diagonal ({{math|''f''<sub>c</sub>}}). Memang setiap kombinasi lain dari dua simetri masih memberikan kesimetrian, seperti yang diperiksa dengan menggunakan tabel grup.

''Aksioma asosiatif'' berkaitan dengan penyusunan lebih dari dua simetri: Dimulai dengan tiga elemen {{math|''a''}}, {{math|''b''}} dan {{math|''c''}} dari {{math|''D''<sub>4</sub>}}, Ada dua kemungkinan cara menggunakan ketiga kesimetrian ini dalam urutan ini untuk menentukan kesimetrian bujur sangkar. Salah satu cara ini adalah dengan menulis {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} menjadi satu simetri, lalu untuk menyusun simetri tersebut dengan {{math|''c''}}. Cara lainnya adalah dengan menulis {{math|''b''}} dan {{math|''c''}}, kemudian untuk menyusun simetri yang dihasilkan dengan {{math|''a''}}. Kedua cara ini harus selalu memberikan hasil yang sama, yaitu,
:<math>(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c),</math>
Sebagai contoh, <math>(f_\mathrm d\circ f_\mathrm v)\circ r_2 = f_\mathrm d\circ (f_\mathrm v\circ r_2)</math> dapat diperiksa menggunakan tabel grup di sebelah kanan:
:<math>\begin{align}
(f_\mathrm d\circ f_\mathrm v)\circ r_2 &=r_3\circ r_2=r_1\\
f_\mathrm d\circ (f_\mathrm v\circ r_2) &=f_\mathrm d\circ f_\mathrm h =r_1.
\end{align}</math>

''Elemen identitas'' adalah {{math|id}}, karena tidak mengubah simetri {{mvar|a}} saat disusun dengan baik di kiri atau di kanan.

Semua simetri memiliki ''kebalikan'': {{math|is}}, pantulan {{math|''f''<sub>h</sub>}}, {{math|''f''<sub>v</sub>}}, {{math|''f''<sub>d</sub>}}, {{math|''f''<sub>c</sub>}} dan rotasi 180° {{math|r{{sub|2}}}} adalah invers, karena dua kali akan mengembalikan persegi ke orientasi aslinya. Rotasi {{math|''r''<sub>3</sub>}} dan {{math|''r''<sub>1</sub>}} adalah invers satu sama lain, karena 90° dan kemudian rotasi 270° (atau sebaliknya) menghasilkan rotasi lebih dari 360° yang membuat persegi tidak berubah. Ini dengan mudah diverifikasi di atas meja.

Berbeda dengan grup bilangan bulat di atas, di mana urutan operasinya tidak relevan, {{math|''D''<sub>4</sub>}}, misalnya <math>f_\mathrm h\circ r_1=f_\mathrm c</math> but <math>r_1\circ f_\mathrm h=f_\mathrm d</math> Dengan kata lain, {{math|''D''<sub>4</sub>}} bukan abelian.

== Sejarah ==
{{Main|Teori grup}}
Terdapat tiga akar sejarah teori grup: teori [[persamaaan aljabar]], [[teori bilangan]] dan [[geometri]]. [[Euler]], [[Gauss]], [[Lagrange]], [[Abel]], dan [[Galois]] merupakan para peneliti awal dalam bidang teori grup. Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang mengaitkan teori grup dan [[teori medan]], dengan teorinya yang sekarang disebut [[teori Galois]].

Sumber pertama muncul dalam hal cara membuat suatu persamaan tingkat ke-m yang memiliki akar m seperti akar dari suatu persamaan tingkat ke-n (m<n). Untuk sederhananya, persoalan itu dikembalikan pada ''[[Hudde]]''(1659). ''[[Saunderson]]''(1740) menyatakan bahwa penentuan faktor kuadratik dari peernyataan bikuadratik biasanya menghasilkan suatu persamaan sektik, dan ''[[Le Soeur]]'' (1748) dan ''[[Waring]]'' (1762 sampai 1782) masih menganalisi data lebih lanjut.

Fondasi umum yang digunakan dalam teori persamaan dasar dari ''[[permutasi grup]]'' ditemukan oleh ''[[Lagrange]]''(1770, 1771), dan berhasil merumuskan teori substitusi. Lagrange menemukan bahwa akan dari seluruh resolvent yang dia periksa merupakan fungsi rasional dari akar persamaan yang bersangkutan. Untuk mempelajari sifat-sifat dari fungsi-fungsi ini, Lagrange mengusulkan suatu Calcul des Combinaisons. Hasil kerja dari ''[[Vandermonde]]'' (1770) juga turut mewarnai teori-teori berikutnya. Ruffini (1799) berusaha membuktikan kemungkinan untuk menyelesaikan persamaan quintic dan persamaan lain dengan tingkat lebih tinggi.

''[[Ruffini]]'' (1799) membedakan intransitif dan ''[[transitif]]'', dan grup ''[[imprimitif]]'' dan primitif, dan (1801) menggunakan grup dari suatu persamaan yang disebut l'assieme della permutazioni. Dia juga mempublikasikan sebuah surat dari ''[[Abbati]]'' untuk dirinya sendiri, yang di dalamnya berisi tentang ide tentang grup.

''[[Galois]]'' menemukan bahwa jika r_1, r_2, \Idots r_n merupakan akar-akar n dari suatu persamaan, maka selalu ada suatu grup permutasi dari r yang (1) setiap fungsi akar yang bersifat invariabel dengan cara substitusi grup diketahui secara rasional, dan (2), kebalikannya, setiap fungsi akar yang dapat ditentukan secara rasioanl bersifat invarian dalam proses substitusi grup. Galois juga merumuskan teori ''[[persamaan modular]]'' dan ''[[fungsi eliptik]]''. Punlikasi pertama Galois dalam bidang teori grup diluncurkan saat usianya mencapai 18 tahun (1829), namun kontribusinya tidak begitu menarik perhatian sebelum publikasi paper-paper koleksinya pada tahun 1846 (Liouville, Vol. XI).

''[[Arthur Cayley]]'' dan ''[[Augustin Louis Cauchy]]'' adalah orang-oarang pertama yang menghargai pentingnya teori itu, yang selanjutnya secara khusu berhubungan dengan teori-teori penting yang lain. Materi ini turut dipopulerkan oleh ''[[Serret]]'', yang merelakan bagian VI dari aljabarnya untuk teori itu; oleh ''[[Camille Jordan]]'', yang Traité des Substitutions bersifat klasik; dan kepada ''[[Netto]]'' (1882), yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris oleh Cole (1892). Ahli-ahli teori grup yang lain dari ''[[abad ke-19]]'' adalah ''[[Bertrand]]'', ''[[Charles Hermite]]'', ''[[Frobenius]]'', ''[[Leopold Kronecker]]'', dan ''[[Mathieu]]''.

Pada tahun 1882, ''[[Walther von Dyck]]'' berhasil merumuskan definisi modern dari suatu grup.

Pembahasan mengenai ''[[grup Lie]]'', dan ''[[subgrup diskrit]]'', sebagai ''[[grup transformasi]]'', mulai secara sistematis pada tahun 1884 oleh ''[[Sophus Lie]]''; diikuti oleh ''[[Killing]]'', ''[[Study]]'', ''[[Schur]]'', dan ''[[Maurer]]''. Teori diskontinu (''[[grup diskrit]]'') dicetuskan oleh ''[[Felix Klein]]'', Lie, ''[[Poincaré]]'', and ''[[Charles Emile Picard]]'', dihubungkan dengan ''[[bentuk modular]]'' dan ''[[monodromi]]''.

Matematikawan lainnya yang turut berkecimpung dalam masalah ini adalah ''[[Emil Artin]]'', ''[[Emmy Noether]]'', ''[[Sylow]]'' dan masih banyak lagi.

== Konsekuensi elementer dari aksioma grup ==
Fakta dasar tentang semua grup yang diperoleh langsung dari aksioma grup biasanya dimasukkan dalam ''teori grup elementer''.<ref>{{Harvard citations|last = Ledermann|year = 1953|loc = §1.2, pp. 4–5|nb = yes}}</ref> Sebagai contoh, aplikasi [[Induksi matematika|berulang]] dari aksioma asosiatif menunjukkan bahwa ketidakjelasan dari
:''a'' &sdot; ''b'' &sdot; ''c'' = (''a'' &sdot; ''b'') &sdot; ''c'' = ''a'' &sdot; (''b'' &sdot; ''c'')
menggeneralisasi lebih dari tiga faktor. Karena ini menyiratkan bahwa tanda kurung dapat disisipkan di mana saja dalam serangkaian istilah tersebut, tanda kurung biasanya dihilangkan.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Ledermann|year = 1973|loc = §I.1, p. 3}}</ref>

Aksioma dapat dilemahkan untuk menegaskan hanya keberadaan dari [[identitas kiri]] dan [[elemen invers kiri|invers kiri]]. Keduanya dapat ditampilkan sebagai dua sisi, maka definisi yang dihasilkan setara dengan definisi di atas.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = §I.2, p. 7}}</ref>

=== Keunikan elemen identitas ===
Aksioma grup menyiratkan bahwa elemen identitas adalah unik: Jika ''e'' dan ''f'' adalah elemen identitas grup, maka ''e'' = ''e'' &sdot; ''f'' = ''f''. Oleh karena itu, kebiasaan untuk membicarakan identitas.<ref name="lang2005">{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.1, p. 17}}</ref>

=== Keunikan invers ===
Aksioma grup menyiratkan bahwa kebalikan (atau ''invers'') dari setiap elemen adalah unik: Jika elemen grup ''a'' memiliki ''b'' dan ''c'' sebagai invers, maka

:{|
|''b'' ||=||''b'' &sdot; ''e'' ||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||karena ''e'' adalah elemen identitas
|-
| ||=||''b'' &sdot; (''a'' &sdot; ''c'') ||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||karena ''c'' adalah invers dari ''a'', jadi ''e'' = ''a'' &sdot; ''c''
|-
| ||=||(''b'' &sdot; ''a'') &sdot; ''c'' ||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||dengan asosiatif, yang memungkinkan pengaturan ulang tanda kurung
|-
| ||=||''e'' &sdot; ''c''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||karena ''b'' adalah invers dari ''a'', jadi ''b'' &sdot; ''a'' = ''e''
|-
| ||=||''c''||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|| karena ''e'' adalah elemen identitas.
|}

Oleh karena itu adalah kebiasaan untuk berbicara tentang ''kebalikan'' dari suatu elemen.<ref name="lang2005"/>

=== <span id="translation"></span>Pembagian ===
Mengingat elemen {{mvar|a}} dan {{mvar|b}} dari grup {{mvar|G}}, terdapat solusi unik {{mvar|x}} di {{mvar|G}} untuk persamaan {{math|1=''a'' &sdot; ''x'' = ''b''}}, yaitu {{math|''a''<sup>−1</sup> &sdot; ''b''}}. Biasanya menghindari penggunaan notasi seperti <math>\tfrac{b}{a}</math> atau {{math|''b''/''a''}}, kecuali {{mvar|G}} adalah abelian, karena ambiguitas apakah artinya {{math|''a''<sup>−1</sup> &sdot; ''b''}} atau {{math|''b'' &sdot; ''a''<sup>−1</sup>}}.<ref>Artin 2018, p. 40.</ref>  Oleh karena itu, untuk setiap {{mvar|a}} dalam {{mvar|G}}, fungsinya {{math|''G'' → ''G''}} diberikan oleh {{math|''x'' ↦ ''a'' &sdot; ''x''}} adalah [[bijeksi]]; itu disebut ''perkalian kiri dengan {{mvar|a}}'' atau ''translasi kiri oleh {{mvar|a}}''.

Demikian pula, dengan {{mvar|a}} dan {{mvar|b}}, solusi unik untuk {{math|1=''x'' &sdot; ''a'' = ''b''}} adalah {{math|''b'' &sdot; ''a''<sup>−1</sup>}}. Untuk setiap {{mvar|a}}, fungsinya {{math|''G'' → ''G''}} diberikan oleh {{math|''x'' ↦ ''x'' &sdot; ''a''}} adalah bijeksi yang disebut ''perkalian kanan dengan {{mvar | a}}'' atau ''translasi kanan dengan {{mvar|a}}''.

== Notasi grup ==
Suatu grup yang terdiri atas himpunan <math>G</math> dan operasi <math>*</math> dapat ditulis <math>(G,*)</math>.

Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan sebagai analog dari [[perkalian]], dan operasi grup ditulis seperti perkalian (''notasi perkalian''):
* Kita menulis <math>a\cdot b</math>, atau bahkan <math>ab</math>, untuk <math>a*b</math>.
* Kita menulis <math>1</math> untuk unsur identitas dan menyebutnya ''unsur satuan''.
* Kita menulis <math>a^{-1}</math> untuk invers <math>a</math> dan menyebutnya ''kebalikan'' dari <math>a</math>.

Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan sebagai analog dari [[penjumlahan]] dan ditulis seperti penjumlahan (''notasi penjumlahan''):
* Kita menulis <math>a + b</math> untuk <math>a * b</math> dan menyebutnya jumlah <math>a</math> dan <math>b</math>.
* Kita menulis <math>0</math> untuk unsur identitas dan menyebutnya ''unsur nol''.
* Kita menulis <math>-a</math> untuk invers <math>a</math> dan menyebutnya ''lawan'' dari <math>a</math>.

Biasanya, hanya [[grup abelian]] (grup yang operasinya komutatif untuk setiap dua unsur himpunan grup tersebut) yang ditulis dalam bentuk penjumlahan walaupun grup tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian. Ketika bersifat ''noncommittal'', kita dapat menggunakan notasi (dengan <math>*</math>) dan istilah yang dikemukakan dalam definisi menggunakan notasi <math>a^{-1}</math> sebagai invers dari <math>a</math>.

Bila <math>S</math> adalah sub himpunan dari <math>G</math> dan <math>x</math> unsur dari <math>G</math> maka dalam notasi perkalian <math>xS</math> merupakan himpunan dari semua hasil perkalian <math>xs</math> untuk <math>s</math> dalam <math>S</math> (dengan kata lain, <math>xS=\{xs | s\in S\}</math>). Hal yang sama juga dapat dilihat pada notasi <math>Sx=\{sx | s\in S\}</math>, dan untuk dua sub himpunan <math>S</math> dan <math>T</math> dari <math>G</math> kita dapat menulis <math>ST</math> untuk <math>\{st | s\in S,t\in T\}</math>. Dalam notasi penjumlahan, kita menuliskan <math>x+S,S+x,</math> dan <math>S+T</math> untuk masing-masing pasangan.

== Beberapa contoh grup dan contoh bukan grup ==
=== Sebuah grup abelian: bilangan bulat terhadap penjumlahan ===
Contoh grup yang pernah diperkenalkan saat di sekolah dasar salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan. Misalkan <math>\mathbb{Z}</math> merupakan himpunan bilangan bulat, <math>\{..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...\}</math> dan simbol <math>+</math> sebagai operasi [[penjumlahan]]. Dengan demikian, <math>(\mathbb{Z},+)</math> merupakan suatu grup.

Bukti:
* Bila <math>a</math> dan <math>b</math> merupakan bilangan bulat maka <math>a + b</math> juga merupakan bilangan bulat (ketertutupan).
* Bila <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> adalah bilangan bulat maka <math>(a + b) + c = a + (b + c)</math> (sifat asosiatif).
* <math>0</math> adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat <math>a</math>, <math>0 + a = a + 0 = a</math> (elemen identitas).
* Bila <math>a</math> sebuah bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat <math>b = -a</math> sedemikian sehingga <math>a + b = b + a = 0</math> (elemen invers).

Grup ini juga merupakan abelian, karena <math>a + b = b + a</math> (sifat komutatif).

Bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk struktur aljabar [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] yang lebih kompleks. Sebenarnya, elemen dari gelanggang apa saja membentuk sebuah grup abelian terhadap penjumlahan yang disebut “grup penjumlahan” dari gelanggang.

=== Bukan grup: bilangan bulat terhadap perkalian ===
Bilangan bulat terhadap [[perkalian]] yang dilambangkan dengan <math>\times</math>. Maka <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> bukan sebuah grup. Alasannya:
* Bila <math>a</math> dan <math>b</math> bilangan bulat maka <math>a \times b</math> merupakan bilangan bulat (ketertutupan).
* Bila <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> bilangan bulat maka <math>(a \times b) \times c = a \times (b \times c)</math> (sifat asosiatif).
* <math>1</math> adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat <math>a</math>, <math>1 \times a = a \times 1 = a</math> (elemen identitas).
* Tetapi, bila <math>a</math> sebaramg bilangan bulat bukan <math>0</math> maka tidak ada bilangan bulat bukan <math>0</math> yang memenuhi <math>ab = ba = 1</math>. Sebagai contoh, misalkan <math>a = 2</math> maka berapapun <math>b</math> (bilangan bulat bukan <math>0</math>) maka <math>|ab| = |2b| > 1</math> (Syarat elemen invers tidak dipenuhi).

Karena tidak semua elemen dari <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> mempunyai invers maka <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> bukan merupakan grup. Kita dapat menyebut <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> sebuah [[monoid]] komutatif.

=== Sebuah grup abelian: bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian ===
Misalkan <math>\mathbb{Q}</math> sebagai himpunan [[bilangan rasional]], yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan <math>\frac{a}{b}</math> dengan <math>a</math> dan <math>b</math> merupakan bilangan bulat dan <math>b</math> bukan nol. Misalkan pula operasi perkalian dinyatakan dengan simbol <math>\times</math> Karena bilangan rasional [[0]] tidak memiliki invers untuk perkalian maka <math>(\mathbb{Q},\times)</math>, sebagaimana juga <math>(\mathbb{Z},\times)</math> bukan sebuah grup.

Akan tetapi, kalau kita menggunakan himpunan <math>\mathbb{Q}\ \backslash\ \{0\}</math>, yang mencakup setiap bilangan rasional ''kecuali'' nol maka <math>(\mathbb{Q}\ \backslash\ \{0\}, \times)</math> merupakan grup abelian. Invers <math>\frac{a}{b}</math> adalah <math>\frac{b}{a}</math> dan aksioma grup lainnya mudah diperiksa kebenarannya. Kita tidak kehilangan ketertutupan dengan menghilangkan nol karena hasil kali dua bilangan rasional tidak nol tidak akan pernah nol.

Sama seperti bilangan bulat yang membentuk gelanggang, demikian juga bilangan rasional yang membentuk struktur aljabar dari [[medan (matematika)|medan]]. Sebenarnya, elemen bukan nol dari medan apapun akan membentuk grup terhadap perkalian yang disebut “grup perkalian” dari medan.

=== Grup bukan abelian tertentu: permutasi dari himpunan ===
Misalkan tiga buah blok berwarna (merah, hijau, dan biru) yang mula-mula diletakkan dengan susunan MHB. Misalkan ''a'' adalah aksi “menukarkan blok pertama dan blok kedua” dan ''b'' adalah aksi “menukarkan blok kedua dan ketiga”.

Dalam bentuk perkalian, kita menuliskan ''xy'' untuk melambangkan aksi “pertama-tama lakukan ''y'' kemudian lakukan ''x''” sehingga ''ab'' adalah aksi MHB → MBH → BMH yaitu “ambil blok terakhir dan pindahkan ke depan”. Bila kita menuliskan ''e'' untuk aksi “biarkan blok sebagaimana adanya” (aksi identitas) maka kita dapat menulis enam [[permutasi]] dari himpunan tiga blok sebagai berikut:
* ''e'': MHB → MHB
* ''a'': MHB → HMB
* ''b'': MHB → MBH
* ''ab'': MHB → BMH
* ''ba'': MHB → HBM
* ''aba'': MHB → BHM

Perhatikan bahwa aksi ''aa'' akan menyebabkan MHB → HMB → MHB atau aksi tersebut sama saja dengan aksi “biarkan blok sebagaimana adanya”. Dengan demikian, kita dapat menuliskan ''aa'' = ''e''.
Demikian pula,
* ''bb'' = ''e''
* (''aba'')(''aba'') = ''e'', dan
* (''ab'')(''ba'') = (''ba'')(''ab'') = ''e''.
Jadi, tiap aksi di atas mempunyai sebuah invers.

Dengan menyelidiki, kita juga dapat menentukan sifat asosiatif dan ketertutupan. Sebagai contoh perhatikan,
* (''ab'')''a'' = ''a''(''ba'') = ''aba'', dan
* (''ba'')''b'' = ''b''(''ab'') = ''aba''.

Grup ini disebut [[grup simetri]] pada tiga huruf, atau S<sub>3</sub>. Grup tersebut mempunyai orde 6 (atau 3!), dan bukan merupakan grup abelian (karena sebagai contoh ''ab'' ≠ ''ba''). Karena S<sub>3</sub> dibangun dari aksi dasar ''a'' dan ''b'' maka kita dapat mengatakan bahwa himpunan {''a'',''b''} membangun S<sub>3</sub>.

Setiap grup dapat diungkapkan dalam [[grup permutasi]] seperti S<sub>3</sub>. Hasilnya merupakan [[Teorema Cayley]] dan dipelajari sebgai bagian dari subyek [[aksi grup]].

=== Contoh lanjutan ===
Untuk beberapa contoh lanjutan dari grup untuk berbagai aplikasi lihat contoh-contoh grup dan daftar grup kecil.

== Teorema sederhana ==
* Sebuah grup mempunyai hanya satu elemen identitas.
* Setiap elemen mempunyai hanya satu invers.
* Kita dapat membagi grup yaitu elemen grup ''a'' dan ''b'' dari grup <math>G</math>, hanya ada satu solusi ''x'' dalam <math>G</math> terhadap persamaan ''x'' * ''a'' = ''b'' dan hanya satu solusi ''y'' dalam <math>G</math> untuk persamaan ''a'' * ''y'' = ''b''.
* Ungkapan ''a<sub>1</sub>'' * ''a<sub>2</sub> * ... * ''a<sub>n</sub>'' tidak ambigu karena hasilnya akan sama di mana saja kita menempatkan tanda kurung.
* Invers perkalian adalah hasil kali invers dalam susunan terbalik: (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> = ''b''<sup>−1</sup> * ''a''<sup>−1</sup>.

Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlaku untuk semua grup tertentu yang membentuk bidang dari [[teori grup elementer]].

=== Membuat grup baru dari suatu grup tertentu ===
* Jika himpunan bagian <math>H</math> dari grup <math>(G,*)</math>,
* Hasil kali dari dua grup <math>(G,*)</math> dan <math>(H, \times)</math> merupakan himpunan <math>G</math>x<math>H</math> dengan operasi (''g<sub>1</sub>'', ''h<sub>1</sub>'')(''g<sub>2</sub>'', ''h<sub>2</sub>'') = (''g<sub>1'' * ''g<sub>2</sub>'', ''h<sub>1</sub>'' × ''h<sub>2</sub>'').
* “Penjumlahan eksternal secara langsung” dari anggota grup merupakan subgrup perkalian yang diwakilkan oleh elemen yang mempunyai sejumlah bagian bukan nol. Jika anggota bersifat tertentu maka penjumlahan langsung dan perkalian adalah sama.
* Grup tertentu <math>G</math> dan sebuah [[subgrup normal]] <math>N</math>, maka [[grup kuosien]] adalah himpunan dari kohimpunan dari <math>G / N</math> terhadap operasi (''g''<math>N</math>)(''h''<math>N</math>) = ''gh''<math>N</math>.

== Kutipan ==
{{Reflist}}

== Referensi ==
=== Referensi umum ===
* {{Citation
  | last1=Artin
  | first1=Michael
  | author-link1=Michael Artin
  | title=Algebra
  | publisher=[[Prentice Hall]]
  | isbn=978-0-13-468960-9
  | year=2018
 }}, Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
* {{Citation | last1=Devlin | first1=Keith | author-link1=Keith Devlin | title=The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible | publisher=Owl Books | isbn=978-0-8050-7254-9 | year=2000}}, Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
* {{Citation | author-link=George G. Hall | last=Hall | first=G. G. | title=Applied group theory | publisher=American Elsevier Publishing Co., Inc., New York | mr=0219593 | year=1967}}, an elementary introduction.
* {{Citation | last1=Herstein | first1=Israel Nathan |author-link1 = Israel Nathan Herstein | title=Abstract algebra | publisher=Prentice Hall Inc. | location=Upper Saddle River, NJ | edition=3rd | isbn=978-0-13-374562-7 | mr=1375019 | year=1996}}.
* {{Citation | last1=Herstein | first1=Israel Nathan | title=Topics in algebra | publisher=Xerox College Publishing | location=Lexington, Mass. | edition=2nd | mr=0356988 | year=1975}}.
* {{Lang Algebra}}<!-- Don't add a fullstop here: it breaks the layout! -->
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | title=Undergraduate Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-0-387-22025-3 | year=2005}}.
* {{Citation | last1=Ledermann | first1=Walter | title=Introduction to the theory of finite groups | publisher=Oliver and Boyd, Edinburgh and London | mr=0054593 | year=1953}}.
* {{Citation | last1=Ledermann | first1=Walter | title=Introduction to group theory | publisher=Barnes and Noble | location=New York | oclc=795613 | year=1973}}.
* {{Citation | last1=Robinson | first1=Derek John Scott | title=A course in the theory of groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94461-6 | year=1996}}.

=== Referensi khusus ===
* {{Citation | last1=Artin | first1=Emil | author1-link=Emil Artin | title=Galois Theory | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-62342-9 | year=1998}}.
* {{Citation | last1=Aschbacher | first1=Michael | author1-link = Michael Aschbacher | title=The Status of the Classification of the Finite Simple Groups | url=http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf | year=2004 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]]   | volume=51 | issue=7 | pages=736–740}}.
* {{Citation| last = Becchi| first = C.|arxiv=hep-ph/9705211|title=Introduction to Gauge Theories|year = 1997|bibcode = 1997hep.ph....5211B| page = 5211 }}.
* {{Citation | last1=Besche | first1=Hans Ulrich | last2=Eick | first2=Bettina | last3=O'Brien | first3=E. A. | title=The groups of order at most 2000 | url=http://www.ams.org/era/2001-07-01/S1079-6762-01-00087-7/home.html | mr=1826989 | year=2001 | journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | volume=7 | pages=1–4 | doi=10.1090/S1079-6762-01-00087-7| doi-access=free }}.
* {{Citation | last1=Bishop | first1=David H. L. | title=Group theory and chemistry | publisher=Dover Publications | location=New York | isbn=978-0-486-67355-4 | year=1993}}.
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Linear algebraic groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-97370-8 | mr=1102012 | year=1991 | volume=126}}.
* {{Citation | last1=Carter | first1=Roger W. | author1-link=Roger Carter (mathematician) | title=Simple groups of Lie type | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-50683-6 | year=1989}}.
* {{Citation | last1=Conway | first1=John Horton | author1-link=John Horton Conway | last2=Delgado Friedrichs | first2=Olaf | last3=Huson | first3=Daniel H. | last4=Thurston | first4=William P. | author4-link=William Thurston | title=On three-dimensional space groups | arxiv=math.MG/9911185 | mr=1865535 | year=2001 | journal=Beiträge zur Algebra und Geometrie   | volume=42 | issue=2 | pages=475–507}}.
* {{Citation | last1=Coornaert | first1=M. | last2=Delzant | first2=T. | last3=Papadopoulos | first3=A. | title=Géométrie et théorie des groupes [Geometry and Group Theory]| publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-52977-4 | mr=1075994 | year=1990 | volume=1441|language=fr}}.
* {{Citation | last1=Denecke | first1=Klaus | last2=Wismath | first2=Shelly L. | title=Universal algebra and applications in theoretical computer science | publisher=[[CRC Press]] | location=London | isbn=978-1-58488-254-1 | year=2002}}.
* {{Citation| last=Dudek |first=W.A. |title=On some old problems in n-ary groups |journal=Quasigroups and Related Systems |year=2001 |volume=8 |pages= 15–36}}.
* {{Citation | author-link=R. Frucht | last1=Frucht | first1=R. | title=Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construction of Graphs with Prescribed Group] | url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | year=1939 | journal=Compositio Mathematica | volume=6 | pages=239–50 | language=de | url-status=dead | archive-url=https://web.archive.org/web/20081201083831/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | archive-date=2008-12-01 }}.
* {{Citation| last1 = Fulton| first1 = William| author1-link = William Fulton (mathematician)| last2 = Harris| first2 = Joe| author2-link = Joe Harris (mathematician)| year         = 1991| title = Representation theory. A first course| publisher = Springer-Verlag| location = New York| series = [[Graduate Texts in Mathematics]], Readings in Mathematics| volume = 129| isbn  = 978-0-387-97495-8| mr =  1153249}}
* {{Citation| last = Goldstein | first = Herbert | author-link = Herbert Goldstein | year = 1980 | title = [[Classical Mechanics (textbook)|Classical Mechanics]] | edition = 2nd | publisher = Addison-Wesley Publishing | location = Reading, MA | isbn = 0-201-02918-9 | pages = 588–596}}.
* {{Citation | last1=Hatcher | first1=Allen | author-link=Allen Hatcher | title=Algebraic topology | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-79540-1 | year=2002}}.
* {{Citation | last1=Husain | first1=Taqdir | title=Introduction to Topological Groups | publisher=W.B. Saunders Company | location=Philadelphia | isbn=978-0-89874-193-3 | year=1966}}
* {{Citation | last1 = Jahn | first1=H.| author1-link=Hermann Arthur Jahn|last2=Teller|first2=E.|author2-link=Edward Teller| title = Stability of Polyatomic Molecules in Degenerate Electronic States. I. Orbital Degeneracy | year = 1937 | journal = [[Proceedings of the Royal Society A]] | volume = 161 | issue = 905 | pages = 220–235 | doi = 10.1098/rspa.1937.0142 | bibcode=1937RSPSA.161..220J| doi-access = free }}.
* {{Citation | last1=Kuipers | first1=Jack B. | title=Quaternions and rotation sequences—A primer with applications to orbits, aerospace, and virtual reality | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-05872-6 | mr=1670862 | year=1999}}.
* {{Citation | last1=Kuga | first1=Michio | author-link=Michio Kuga | title=Galois' dream: group theory and differential equations | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | isbn=978-0-8176-3688-3 | mr=1199112 | year=1993 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/galoisdreamgroup0000kuga }}.
* {{Citation | last1=Kurzweil | first1=Hans | last2=Stellmacher | first2=Bernd | title=The theory of finite groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-0-387-40510-0 | mr=2014408 | year=2004}}.
* {{Citation | last1=Lay | first1=David | title=Linear Algebra and Its Applications | publisher=[[Addison-Wesley]] | isbn=978-0-201-70970-4 | year=2003}}.
* {{Citation | last1=Mac Lane | first1=Saunders | author1-link=Saunders Mac Lane | title=[[Categories for the Working Mathematician]] | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | edition=2nd | isbn=978-0-387-98403-2 | year=1998}}.
* {{Citation | last1=Michler | first1=Gerhard | title=Theory of finite simple groups | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-86625-5 | year=2006}}.
* {{Citation | last1=Milne | first1=James S. | title=Étale cohomology | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-08238-7 | year=1980 | url=https://archive.org/details/etalecohomology00miln }}
* {{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | last2=Fogarty | first2=J. | last3=Kirwan | first3=F. | title=Geometric invariant theory | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-3-540-56963-3 | mr=1304906 | year=1994 | volume=34}}.
* {{Citation | last1=Naber | first1=Gregory L. | title=The geometry of Minkowski spacetime | publisher=Dover Publications | location=New York | isbn=978-0-486-43235-9 | mr=2044239 | year=2003}}.
* {{Citation | last = Neukirch| first = Jürgen| author-link = Jürgen Neukirch| title = Algebraic Number Theory| publisher = Springer-Verlag| location = Berlin| series = {{lang|de|Grundlehren der mathematischen Wissenschaften}}| isbn = 978-3-540-65399-8| mr = 1697859| zbl = 0956.11021 | year = 1999| volume = 322}}
* {{Citation | last1=Romanowska | first1=A.B. | last2=Smith | first2=J.D.H. | title=Modes | publisher=[[World Scientific]] | isbn=978-981-02-4942-7 | year=2002}}.
* {{Citation | last1=Ronan | first1=Mark | author1-link= Mark Ronan|title=Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematics | publisher=[[Oxford University Press]] | isbn=978-0-19-280723-6 | year=2007}}.
* {{Citation | last1=Rosen | first1=Kenneth H. | title=Elementary number theory and its applications | publisher=Addison-Wesley | edition=4th | isbn=978-0-201-87073-2 | mr=1739433 | year=2000}}.
* {{Citation| last = Rudin | first = Walter | author-link = Walter Rudin | title = Fourier Analysis on Groups|publisher=Wiley-Blackwell|series=Wiley Classics|year=1990|isbn=0-471-52364-X}}.
* {{Citation | last1=Seress | first1=Ákos | title=An introduction to computational group theory | url=http://www.ams.org/notices/199706/seress.pdf | mr=1452069 | year=1997 | journal=Notices of the American Mathematical Society   | volume=44 | issue=6 | pages=671–679}}.
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link=Jean-Pierre Serre | title=Linear representations of finite groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90190-9 | mr=0450380 | year=1977 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/linearrepresenta1977serr }}.
* {{Citation | last1=Shatz | first1=Stephen S. | title=Profinite groups, arithmetic, and geometry | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-08017-8 | mr=0347778 | year=1972}}
* {{Citation|last = Suzuki|first= Michio|author-link = Michio Suzuki (mathematician)|title = On the lattice of subgroups of finite groups|journal = [[Transactions of the American Mathematical Society]]| volume = 70| issue = 2| year = 1951| pages = 345–371| doi = 10.2307/1990375|jstor = 1990375|doi-access = free}}.
* {{Citation | last1=Warner | first1=Frank | title=Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90894-6 | year=1983}}.
* {{Citation | last1=Weinberg | first1=Steven | author1-link=Steven Weinberg | title=Gravitation and Cosmology | publisher=John Wiley & Sons | location=New York | year=1972 | isbn=0-471-92567-5 | url=https://archive.org/details/gravitationcosmo00stev_0 }}.
* {{Citation | last1=Welsh | first1=Dominic | title=Codes and cryptography | publisher=Clarendon Press | location=Oxford | isbn=978-0-19-853287-3 | year=1989}}.
* {{Citation | last1=Weyl | first1=Hermann | author1-link=Hermann Weyl | title=Symmetry | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-02374-8 | year=1952}}.

===Historical references===
{{See also|List of publications in mathematics#Group theory|l1=Historically important publications in group theory}}
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-0288-5 | year=2001}}
* {{Citation | last1=Cayley | first1=Arthur | author1-link=Arthur Cayley | title=The collected mathematical papers of Arthur Cayley | url=http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1889 | volume=II (1851–1860)}}.
* {{MacTutor | id=Development_group_theory | class=HistTopics | title = The development of group theory}}
* {{Citation | last1=Curtis | first1=Charles W. | author-link = Charles W. Curtis | title=Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | series=History of Mathematics | isbn=978-0-8218-2677-5 | year=2003}}.
* {{Citation | last1=von Dyck | year=1882 | first1=Walther | author1-link=Walther von Dyck | title=Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical Studies) | doi=10.1007/BF01443322 | journal=[[Mathematische Annalen]] | volume=20 | issue=1 | pages=1–44 | s2cid=179178038 | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1 | language=de | url-status=dead | archive-url=https://web.archive.org/web/20140222213905/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1 | archive-date=2014-02-22 }}.
* {{Citation | last1=Galois | first1=Évariste | author1-link=Évariste Galois | editor1-last=Tannery | editor1-first=Jules | title=Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts] | url=http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN9280 | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | year=1908|language=fr}} (Galois work was first published by [[Joseph Liouville]] in 1843).
* {{Citation | last1=Jordan | first1=Camille | author-link=Camille Jordan | title=Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations] | url=https://archive.org/details/traitdessubstit00jordgoog | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | year=1870 |language=fr}}.
* {{Citation | doi=10.2307/2690312 | last1=Kleiner | first1=Israel | author-link=Israel Kleiner (mathematician) | title=The Evolution of Group Theory: A Brief Survey | mr=863090 | year=1986 | journal=[[Mathematics Magazine]]   | volume=59 | issue=4 | pages=195–215 | jstor=2690312 }}.
* {{Citation | last1=Lie | first1=Sophus | author1-link=Sophus Lie | title=Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1] | publisher=Johnson Reprint Corp. | location=New York | mr=0392459 | year=1973|language=de}}.
* {{Citation | last1=Mackey | first1=George Whitelaw | author1-link=George Mackey | title=The theory of unitary group representations | publisher=[[University of Chicago Press]] | mr=0396826 | year=1976}}
* {{Citation | last1=Smith | first1=David Eugene | author1-link=David Eugene Smith | title=History of Modern Mathematics | url=https://www.gutenberg.org/ebooks/8746 | series=Mathematical Monographs, No. 1 | year=1906}}.
* {{Citation | last1=Wussing | first1=Hans | author-link=Hans Wussing | title=The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-45868-7 | year=2007}}.

== Pranala luar ==
* {{MathWorld |title=Group |urlname=Group }}
* {{Britannica|247054|Group (mathematics)}}

{{Grup navbox}}
{{Aljabar}}
{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Group (Mathematics)}}

[[Kategori:Matematika]]
[[Kategori:Struktur aljabar]]
[[Kategori:Teori grup]]