Lihat sumber Integral tak tentu

{{Calculus}}

Dalam [[kalkulus]], '''Integral tak tentu''' ({{lang-en|indefinite integral}}), atau disebut sebagai '''antiturunan'''<ref>Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII, ISBN 978-602-282-103-8, Jakarta 2015 http://bse.mahoni.com/data/2013/kelas_12sma/siswa/Kelas_12_SMA_Matematika_Siswa.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200331152812/http://bse.mahoni.com/data/2013/kelas_12sma/siswa/Kelas_12_SMA_Matematika_Siswa.pdf |date=2020-03-31 }}</ref> atau '''antiderivatif''' ({{Lang-en|antiderivative}}) adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu [[fungsi (matematika)|fungsi]] yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa [[variabel]]) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut "integral tak tentu".

Bila fungsi ''F'' adalah integral tak tentu dari suatu fungsi ''f'' maka berlaku F'= ''f''.

Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi. Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui "[[Teorema dasar kalkulus]]", dan memberikan cara mudah untuk menghitung [[integral]] dari berbagai fungsi.

== Contoh ==
Sebagai contoh, <math>F(x) = \tfrac{x^3}{3}</math> adalah antiturunan dari fungsi <math>f(x) = x^2</math>, sebab turunan dari <math>\tfrac{x^3}{3}</math> adalah <math>x^2</math> serta turunan dari [[Fungsi konstan|konstanta]] adalah nol. Ketika mencari integral tak tentu dari <math>x^2</math>, maka akan ada tak berhingga banyaknya antiturunan, seperti <math>\tfrac{x^3}{3}, \tfrac{x^3}{3}+1, \tfrac{x^3}{3}-2</math>, dst. Dengan demikian, semua integral tak tentu dari <math>x^2</math> dapat diperoleh dengan mengubah nilai {{math|''c''}} di <math>F(x) = \tfrac{x^3}{3}+c</math>, dengan {{math|''c''}} menyatakan sebarang [[Konstanta integrasi|konstanta]]. Grafik antiturunan dari fungsi tersebut dapat digeser secara vertikal, tergantung nilai konstantanya. Hal ini juga berlaku untuk fungsi yang lebih umum, yaitu [[fungsi pangkat]] <math>f(x) = x^n</math>, yang mempunyai antiturunan <math>F(x) = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + c</math> jika {{math|''n'' ≠ &minus;1}}, dan <math>F(x) = \ln |x| + c</math> if {{math|1=''n'' = &minus;1}}.

== Penerapan dan sifat ==
{{Main|Teorema dasar kalkulus}}

Antiturunan dipakai untuk menghitung [[integral tentu]], dengan menggunakan [[teorema dasar kalkulus]]: bila fungsi <math>F</math> adalah antiturunan dari fungsi [[Integral Riemann|terintegralkan]] <math>f</math> di interval <math>[a,b]</math>, maka:<math display="block">\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a).</math>Oleh karena itu, setiap antiturunan (yang tak berhingga banyaknya) dari fungsi <math>f</math> dapat disebut sebagai "integral tak tentu" dari <math>f</math>, dan antiturunan tersebut ditulis menggunakan simbol integral tanpa adanya batas.<math display="block">\int f(x)\,dx.</math>

Terdapat rumus lain dalam teorema dasar kalkulus. Setiap fungsi kontinu <math>f</math> memiliki antiturunan, dan antiturunan {{math|''F''}} dirumuskan sebagai integral tak tentu dari <math>f</math> dengan batas atas variabel:<math display="block">F(x)=\int_0^x f(t)\,dt.</math>

Terdapat banyak fungsi yang antiturunannya tidak dapat dinyatakan dalam [[fungsi elementer]], seperti [[Polinomial|fungsi polinomial]], [[fungsi eksponensial]], [[fungsi logaritma]], [[fungsi trigonometri]], [[fungsi invers trigonometri]], dan juga gabungan fungsi-fungsi lain. Fungsi-fungsi yang dijelaskan tadi adalah [[fungsi galat]], [[fungsi Fresnel]], [[fungsi integral sinus]], [[fungsi integral logaritmik]], dan [[fungsi mimpi Sophomore]].

== Tabel integral ==
{{Main|Tabel integral}}

:<math>\int 1 \,\,{\rm d}x = x + C</math>
:<math>\int x^n\ \,{\rm d}x =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math>
:<math>\int {1 \over x} \,{\rm d}x = \ln{\left|x\right|} + C</math>
:<math>\int {1 \over {a^2+x^2}} \,{\rm d}x = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C</math>

== Lihat pula ==
* [[Integral]]
* [[Daftar integral]]

== Referensi ==
{{reflist}}

== Pustaka ==
* ''Introduction to Classical Real Analysis'', by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see [http://groups.google.com/group/sci.math/browse_frm/thread/8d900a2d79429d43/0ba4ff0d46efe076?lnk=st&q=&rnum=19&hl=en#0ba4ff0d46efe076 also])
* ''Historical Essay On Continuity Of Derivatives'', by Dave L. Renfro; http://groups.google.com/group/sci.math/msg/814be41b1ea8c024

[[Kategori:Integral]]