Lihat sumber Kalkulus matriks

{{sect-stub}}
{{Kalkulus}}

Dalam [[matematika]] '''kalkulus matriks''' adalah notasi khusus untuk menghitung [[kalkulus multivariabel]] (kalkulus peubah banyak), terutama pada ruang [[matriks]]. Pada ruang matriks notasi ini mendefinisikan '''turunan matriks'''. Notasi ini cocok untuk memerikan sistem [[persamaan diferensial]], dan mengambil turunan dari fungsi matriks terhadap variabel berbentuk matriks pula. Kalkulus matriks umum digunakan dalam [[statistika]] dan [[rekayasa]], sedangkan [[notasi indeks tensor]] lebih disukai dalam [[fisika]].

== Notasi ==

Misalkan ''M''(''n'',''m'') melambangkan ruang matriks [[bilangan riil|riil]] ''n'' x ''m'' dengan ''n'' baris dan ''m'' kolom. Unsur ruang matriks ini dilambangkan sebagai '''F''', '''X''', '''Y''', dan seterusnya. Sebuah unsur ''M''(''n'',1), yaitu [[vektor kolom]], dilambangkan dengan huruf kecil tebal '''x''', dengan '''x'''<sup>T</sup> melambangkan vektor baris transposnya. Unsur ''M''(1,1) adalah skalar, dan dilambangkan dengan ''a'', ''b'', ''f'', ''t'', dan seterusnya.

== Kalkulus vektor ==
{{utama|Kalkulus vektor}}

Karena ruang ''M''(''n'',1) diidentifikasikan dengan [[ruang Euklides]] '''R'''<sup>''n''</sup> dan ''M''(1,1) diidentifikasikan dengan '''R''', notasi di sini dapat mengakomodasi operasi biasa dalam [[kalkulus vektor]].

<ul>
<li>[[Vektor singgung]] terhadap kurva '''x''': '''R''' → '''R'''<sup>''n''</sup> adalah
:<math>\frac{\partial \mathbf{x}} {\partial t} = 
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x_1}{\partial t} \\
\vdots \\
\frac{\partial x_n}{\partial t} \\
\end{bmatrix}.
</math>
</li>

<li>[[Gradien]] fungsi skalar ''f'': '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''
:<math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} = 
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n} \\
\end{bmatrix}.
</math>
[[Turunan berarah]] ''f'' ke arah '''v''' adalah
:<math>\nabla_\mathbf{v} f = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}\mathbf{v}.</math>
</li>

<li>[[Diferensial]] fungsi '''f''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup> dideskripsikan oleh [[matriks Jacobi]]
:<math>
\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} = 
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_m}\\
\end{bmatrix}.
</math>
Diferensial sepanjang '''f''' dari vektor '''v''' dalam '''R'''<sup>''m''</sup> adalah
:<math>d\,\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \mathbf{v}.</math>
</li>
</ul>

== Kalkulus matriks ==

Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks.

<ul>
<li>Vektor singgung kurva '''F''': '''R''' → ''M''(''n'',''m'')
:<math>
\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial t} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial F_{1,1}}{\partial t} & \cdots & \frac{\partial F_{1,m}}{\partial t}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial F_{n,1}}{\partial t} & \cdots & \frac{\partial F_{n,m}}{\partial t}\\
\end{bmatrix}.
</math>
</li>

<li>Gradien fungsi skalar ''f'': ''M''(''n'',''m'') → '''R'''
:<math>
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial X_{1,1}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_{n,1}}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f}{\partial X_{1,m}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_{n,m}}\\
\end{bmatrix}.
</math>

Perhatikan bahwa urutan indeks gradien terhadap ''X'' terbalik dibandingkan dengan urutan indeks '''X'''. Turunan berarah ''f'' ke arah matriks '''Y''' diberikan oleh

:<math>\nabla_\mathbf{Y} f = \operatorname{tr} \left(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} \mathbf{Y}\right),</math>
dengan ''tr'' melambangkan ''[[trace]]'' dari matriks.
</li>

<li>Diferensial atau turunan matriks dari fungsi <math>F: M(n,m) \Rightarrow M(p,q)</math> adalah unsur dari <math>M(p,q) \otimes M(m,n)</math>, sebuah [[tensor]] peringkat empat (pembalikan ''m'' dan ''n'' di sini menandakan [[ruang dual]] dari ''M''(''n'',''m'')). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks ''m''×''n'' yang masing-masing entrinya adalah matriks ''p''×''q''.

:<math>\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial\mathbf{F}}{\partial X_{1,1}} & \cdots & \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial X_{n,1}}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial\mathbf{F}}{\partial X_{1,m}} & \cdots & \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial X_{n,m}}\\
\end{bmatrix},
</math>

Catat pula bahwa tiap ∂'''F'''/∂''X''<sub>''i'',''j''</sub> adalah matriks ''p''×''q'' yang didefinisikan seperti di atas. Catat pula bahwa matriks ini memiliki indeks yang dibalikkan: ''m'' baris dan ''n'' kolom. Diferensial sepanjang '''F''' dari sebuah matriks '''Y''' berukuran ''n''×''m'' dalam ''M''(''n'',''m'') adalah

:<math>d\mathbf{F}(\mathbf{Y}) = \operatorname{tr}\left(\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}\mathbf{Y}\right).</math>

Definisi ini meliputi semua definisi sebelumnya sebagai kasus khusus.
</li>
</ul>

== Persamaan identitas ==

Perkalian matriks tidak [[komutatif]], karena itu agar identitas berikut berlaku, urutan perkalian tidak boleh diubah.

<ul>
<li> '''[[Kaidah rantai]]:''' Bila '''Z''' adalah fungsi dari '''Y''', yang pada gilirannya adalah fungsi dari '''X'''
:<math>
\frac{\partial \mathbf{Z}} {\partial \mathbf{X}} = \frac{\partial \mathbf{Z}} {\partial \mathbf{Y}} \frac{\partial \mathbf{Y}} {\partial \mathbf{X}}</math>
</li>

<li>'''[[Kaidah darab]]:'''
:<math>
\frac{\partial (\mathbf{Y}^T\mathbf{Z})}{\partial \mathbf{X}} = (\mathbf{Z}^T)\frac{\partial\mathbf{Y}}{\partial \mathbf{X}} + (\mathbf{Y}^T)\frac{\partial\mathbf{Z}}{\partial \mathbf{X}}
</math>
</li>
</ul>


== Pranala luar ==
* {{en}}[http://caswww.colorado.edu/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf Matrix calculus] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20030613050921/http://caswww.colorado.edu/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf |date=2003-06-13 }} Apendiks dari buku ''Introduction to Finite Element Methods'' di University of Colorado at Boulder. Menggunakan definisi Hessian untuk turunan vektor dan matriks.
* {{en}}[http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/calculus.html Matrix calculus] Matrix Reference Manual, Imperial College London.
* {{en}}[http://matrixcookbook.com The Matrix Cookbook], dengan bab ''turunan''. Menggunakan definsi Hessian.

[[Kategori:Kalkulus]]