Lihat sumber Matriks rotasi

Dalam aljabar linear, '''matriks rotasi''' adalah matriks transformasi yang digunakan untuk melakukan rotasi dalam ruang Euclidean. Misalnya, dengan menggunakan konvensi di bawah ini, matriks

:<math>R =
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\  
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}
</math>         
<!-- 
These signs are correct. THE MINUS SIGN GOES IN THE UPPER RIGHT CORNER. Please do not change them.  
-->

memutar titik-titik pada bidang {{mvar|xy}} berlawanan arah jarum jam melalui {{mvar|θ}} terhadap sumbu {{mvar|x}} terhadap titik asal sistem koordinat kartesius dua dimensi. Untuk melakukan rotasi pada titik bidang dengan koordinat standar {{math|1='''v''' = (''x'', ''y'')}}, harus ditulis sebagai vektor kolom, dan dikalikan dengan matriks {{mvar|R}}:

:<math>
R\mathbf{v} \ = \ \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\  
\sin \theta & \cos \theta 
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
\ = \ 
\begin{bmatrix} 
x\cos\theta-y\sin\theta \\
x\sin\theta+y\cos\theta
\end{bmatrix}.
</math>

Jika {{mvar|x}} dan {{mvar|y}} adalah koordinat titik akhir suatu vektor, di mana {{mvar|x}} adalah kosinus dan {{mvar|y}} adalah sinus, maka persamaan di atas menjadi rumus sudut penjumlahan trigonometri. Memang, matriks rotasi dapat dilihat sebagai rumus sudut penjumlahan trigonometri dalam bentuk matriks. Salah satu cara untuk memahami ini adalah dengan mengatakan bahwa kita memiliki sebuah vektor pada sudut 30° dari sumbu {{mvar|x}}, dan kita ingin memutar sudut itu sebesar 45° lebih jauh. Kita hanya perlu menghitung koordinat titik akhir vektor pada 75°.

== Dalam dua dimensi ==
Dalam dua dimensi, matriks rotasi standar memiliki bentuk berikut:

:<math>R(\theta) = \begin{bmatrix}
  \cos\theta & -\sin\theta \\
  \sin\theta &  \cos\theta \\
\end{bmatrix}.</math><!-- These signs are correct.  Please do not change them.  Do not confound with the matrix that rotate a coordinate system.  -->

Ini memutar vektor kolom melalui perkalian matriks berikut,
:<math>
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  \cos\theta & -\sin\theta \\
  \sin\theta &  \cos\theta \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
\end{bmatrix}.</math>

Jadi, koordinat baru {{math|(''x''′, ''y''′)}} dari suatu titik {{math|(''x'', ''y'')}} setelah rotasi adalah
:<math>\begin{align}
  x' &= x \cos\theta - y \sin\theta\, \\
  y' &= x \sin\theta + y \cos\theta\,
\end{align}.</math>

=== Contoh ===
Misalnya, ketika vektor
:<math>
  \mathbf{\hat{x}} = \begin{bmatrix}
    1 \\
    0 \\
  \end{bmatrix}
</math>
diputar dengan sudut {{mvar|θ}}, koordinat barunya adalah
:<math>
\begin{bmatrix}
  \cos\theta \\
  \sin\theta \\
\end{bmatrix},
</math>

dan ketika vektor
:<math>
  \mathbf{\hat{y}} = \begin{bmatrix}
    0 \\
    1 \\
  \end{bmatrix}
</math>

diputar dengan sudut , koordinat barunya adalah
:<math>
  \begin{bmatrix}
    -\sin\theta \\
     \cos\theta \\
  \end{bmatrix}.
</math>

== Referensi ==
* {{Citation
 | last=Arvo
 | first=James
 | year=1992
 | contribution=Fast random rotation matrices
 | title=Graphics Gems III
 | editor=David Kirk
 | publisher=[[Academic Press]] Professional
 | place=San Diego
 | pages=[https://archive.org/details/isbn_9780124096738/page/117 117–120]
 | bibcode=1992grge.book.....K
 | isbn=978-0-12-409671-4
 | url=https://archive.org/details/isbn_9780124096738/page/117
 }}
* {{Citation
 | last=Baker
 | first=Andrew
 | title=Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory
 | year=2003
 | publisher=[[Springer-Verlag|Springer]]
 | isbn=978-1-85233-470-3
 | url-access=registration
 | url=https://archive.org/details/matrixgroupsintr0000bake
 }}
* {{Citation
 | last=Bar-Itzhack
 | first=Itzhack Y.
 |date=Nov–Dec 2000
 | title=New method for extracting the quaternion from a rotation matrix
 | journal=Journal of Guidance, Control and Dynamics
 | volume=23
 | issue=6
 | pages=1085–1087
 | issn=0731-5090
 | doi=10.2514/2.4654
 | bibcode=2000JGCD...23.1085B
 }}
* {{Citation
 | last1=Björck
 | first1=Åke 
 | last2=Bowie
 | first2=Clazett 
 |date=June 1971
 | title=An iterative algorithm for computing the best estimate of an orthogonal matrix
 | journal=SIAM Journal on Numerical Analysis
 | volume=8
 | issue=2
 | pages=358–364
 | issn=0036-1429
 | doi=10.1137/0708036
 | bibcode=1971SJNA....8..358B 
 }}
* {{Citation
 | last=Cayley
 | first=Arthur
 | author-link=Arthur Cayley
 | year=1846
 | title=Sur quelques propriétés des déterminants gauches 
 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
 | volume=1846
 | issue=32
 | pages=119–123
 | issn=0075-4102
 | doi=10.1515/crll.1846.32.119
 | s2cid=199546746
 | url=https://zenodo.org/record/1448846
 }}; reprinted as article 52 in {{Citation
 | last=Cayley
 | first=Arthur
 | author-link=Arthur Cayley
 | year=1889
 | title=The collected mathematical papers of Arthur Cayley
 | publisher=[[Cambridge University Press]]
 | volume=I (1841–1853)
 | pages=332–336
 | isbn=<!-- none given -->
 | url=http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000349
 }}
* {{Citation
 | last1=Diaconis
 | first1=Persi
 | author1-link=Persi Diaconis
 | last2=Shahshahani
 | first2=Mehrdad
 | title=The subgroup algorithm for generating uniform random variables
 | journal=Probability in the Engineering and Informational Sciences
 | volume=1
 | pages=15–32
 | year=1987
 | issn=0269-9648
 | doi=10.1017/S0269964800000255
 }}

== Pranala luar ==
* {{springer|title=Rotation|id=p/r082620}}
* [http://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.html Rotation matrices at Mathworld]
* [http://www.mathaware.org/mam/00/master/dimension/demos/plane-rotate.html Math Awareness Month 2000 interactive demo] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190913154428/http://www.mathaware.org/mam/00/master/dimension/demos/plane-rotate.html |date=2019-09-13 }} (requires [[Java (programming language)|Java]])
* [http://www.mathpages.com/home/kmath593/kmath593.htm Rotation Matrices] at MathPages
* {{in lang|it}} [http://ansi.altervista.org A parametrization of SOn(R) by generalized Euler Angles]
* [http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/affine/aroundPoint/ Rotation about any point]

[[Kategori:Matriks]]


{{matematika-stub}}