Lihat sumber Persamaan diferensial biasa

{{Persamaan diferensial}}

Dalam [[matematika]], '''persamaan diferensial biasa''' (atau '''PDB,''' {{lang-en|'''Ordinary differential equation'''}} singkatan '''ODE''') adalah [[persamaan diferensial]] di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas [[Ketunggalan (matematika)|tunggal]]. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah [[fungsi riil]] atau [[fungsi kompleks]], tetapi secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkaan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut. Persamaan diferensial sederhana yaitu PD orde satu. Berdasarkan definisi, suatu PD orde satu dapat dinyatakan secara umum dalam dua bentuk, yaitu bentuk implisit dan eksplisit. Contoh-contoh mengidentifikasi PD orde satu dapat dikaji lebih lanjut.<ref>{{Cite book|last=Nababan|first=SM|date=2014|url=https://pustaka.ut.ac.id/lib/wp-content/uploads/pdfmk/MATA4323-M1.pdf|title=Persamaan Diferensial Biasa|location=Tangerang Selatan|publisher=Universitas Terbuka|isbn=9796896573|pages=1-57|url-status=live}}</ref>

Contoh sederhana adalah hukum gerak kedua Newton, yang menghasilkan persamaan diferensial

:<math>m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = F(x(t)),\,</math>

untuk gerakan partikel dengan [[massa]] konstan ''m''. Pada umumnya, [[gaya]] ''F'' tergantung kepada posisi partikel ''x(t)'' pada waktu ''t'', dan demikian fungsi yang tidak diketahui ''x(t)'' muncul pada kedua ruas persamaan diferensial, seperti yang diindikasikan dalam notasi ''F''(''x''(''t'')).

Persamaan diferensial biasa dibedakan dengan [[persamaan diferensial parsial]], yang melibatkan [[turunan parsial]] dari beberapa variabel.

Persamaan diferensial biasa muncul dalam berbagai keadaan, termasuk [[geometri]], [[mekanika]], [[astronomi]] dan pemodelan populasi. Banyak [[matematikawan]] ternama telah mempelajari persamaan diferensial dan memberi sumbangan terhadap bidang studi ini, termasuk [[Isaac Newton]], [[Gottfried Leibniz]], keluarga [[Bernoulli]], [[Riccati]], [[Alexis Claude Clairaut|Clairaut]], [[d'Alembert]] dan [[Euler]].

Dalam kasus persamaan tersebut [[transformasi linier|linier]], persamaan diferensial biasa dapat dipecahkan dengan metode analitik. Malangnya, kebanyakan persamaan diferensial nonlinier, dan kecuali sebagian kecil, tidak dapat dipecahkan secara eksak. Pemecahan hampiran dapat dicapai menggunakan komputer.

== Persamaan diferensial ==
[[Berkas:Parabolic trajectory.svg|ka|jmpl|250px|[[Lintasan]] [[Proyektil|peluru]] yang ditembakkan dari [[meriam]] mengikuti kurva yang ditentukan lewat persamaan diferensial parsial yang diturunkan dari hukum kedua Newton]]
[[Persamaan diferensial linear]] adalah persamaan diferensial yang ditentukan oleh [[polinomial linear]] dalam fungsi yang tidak diketahui dan turunannya, hal ini adalah [[persamaan]] dari bentuk
:<math>a_0(x)y +a_1(x)y' + a_2(x)y'' +\cdots +a_n(x)y^{(n)}+b(x)=0,</math>
dimana {{tmath|a_0(x)}}, ..., {{tmath|a_n(x)}} dan {{tmath|b(x)}} adalah nilai sembarang dari [[fungsi terdiferensiasi]] yang tidak perlu menggunakan linearr, dan  {{tmath|y', \ldots, y^{(n)} }} adalah turunan berurutan dari fungsi yang tidak diketahui {{mvar|y}} variabel {{mvar|x}}.

Di antara persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial linear memainkan peran penting karena beberapa alasan. Sebagian besar fungsi [[Fungsi dasar|dasar]] dan [[Fungsi khusus|khusus]] yang ditemukan dalam [[fisika]] dan [[matematika terapan]] adalah solusi persamaan diferensial linier (lihat [[Fungsi holonomik]]). Ketika fenomena fisik dimodelkan dengan persamaan non-linier, umumnya didekati dengan persamaan diferensial linier untuk solusi yang lebih mudah. Beberapa PDB non-linier yang dapat diselesaikan secara eksplisit umumnya diselesaikan dengan mengubah persamaan menjadi PDB linier ekuivalen (lihat, contohnya [[persamaan Riccati]]).

<!--Some ODEs can be solved explicitly in terms of known functions and [[antiderivative|integrals]]. When that is not possible, the equation for computing the [[Taylor series]] of the solutions may be useful. For applied problems, [[numerical methods for ordinary differential equations]] can supply an approximation of the solution.-->

==Definisi==
Berikut ini, bila ''y'' menjadi [[variabel dependen dan independen|variabel dependen]] dan ''x'' sebuah [[Variabel dependen dan independen|variabel independen]], dan ''y'' = ''f''(''x'') adalah fungsi yang tidak diketahui dari ''x''. [[Notasi untuk diferensiasi]] bervariasi tergantung pada penulis dan notasi mana yang paling berguna untuk tugas yang sedang dikerjakan. Dalam konteks ini, [[notasi untuk diferensiasi#notasi Leibniz|notasi Leibniz]] (''dy''/''dx'',''d''<sup>2</sup>''y''/''dx''<sup>2</sup>,...,''d''<sup>''n''</sup>''y''/''dx''<sup>''n''</sup>) lebih berguna untuk diferensiasi dan [[Integrasi (matematika)|integrasi]], sedangkan [[notasi untuk diferensiasi#notasi Lagrange|notasi Lagrange]] (''y&prime;'',''y&prime;&prime;'', ..., ''y''<sup>(''n'')</sup>) lebih berguna untuk merepresentasikan turunan dari urutan apa pun secara kompak, dan [[notasi untuk diferensiasi#notasi Newton|notasi Newton]] <math>(\dot y, \ddot y, \overset{...}{y})</math> sering digunakan dalam fisika untuk mewakili turunan orde rendah sehubungan dengan waktu.

===Definisi umum===
biasanya ''F'', fungsi dari ''x'', ''y'', dan turunan dari ''y''. Kemudian persamaan bentuknya

:<math>F\left (x,y,y',\ldots, y^{(n-1)} \right )=y^{(n)}</math>

disebut sebagai [[Fungsi implisit dan eksplisit|eksplisit]] ''persamaan diferensial biasa'' dari nilai ''order'' ''n''.<ref name="Harper 1976 127">{{harvtxt|Harper|1976|p=127}}</ref><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=2}}</ref>

Lebih umum lagi, persamaan diferensial biasa ''[[fungsi implisit dan eksplisit|implisit]]'' ''n'' mengambil bentuknya:<ref>{{harvtxt|Simmons|1972|p=3}}</ref>

:<math>F\left(x, y, y', y'',\ \ldots,\ y^{(n)}\right) = 0</math>

<!--Ada klasifikasi lebih lanjut:
{{glossary}}
{{term|[[Sistem otonom (matematika)|Otonom]]}}{{defn|A persamaan diferensial tidak tergantung pada ''x'' is called ''[[Autonomous system (mathematics)|autonomous]]''.}}
{{term|[[Linear differential equation|Linear]]}}{{defn|
A differential equation is said to be ''linear'' if ''F'' can be written as a [[linear combination]] of the derivatives of ''y'':
:<math>y^{(n)} = \sum_{i=0}^{n - 1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)</math>

where {{math|''a''{{hairsp}}{{sub|''i''}}{{thinsp}}(''x'')}} and {{math|''r''{{hairsp}}(''x'')}} are continuous functions of {{mvar|x}}.<ref name="Harper 1976 127"/><ref name="Kreyszig 1972 24">{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=24}}</ref><ref>{{harvtxt|Simmons|1972|p=47}}</ref>

The function ''r''(''x'') is called the ''source term'', leading to two further important classifications:<ref name="Kreyszig 1972 24"/><ref>{{harvtxt|Harper|1976|p=128}}</ref>}}
{{glossary}}
{{term|[[Homogeneous differential equation|Homogeneous]]}}{{defn|If ''r''(''x'') {{=}} 0, and consequently one "automatic" solution is the [[trivial solution]], ''y'' {{=}} 0. The solution of a linear homogeneous equation is a '''complementary function''', denoted here by ''y<sub>c</sub>''.
{{term|[[Homogeneous differential equation#Homogeneous linear differential equations|Nonhomogeneous (or inhomogeneous)]]}}{{defn|If ''r''(''x'') ≠ 0. The additional solution to the complementary function is the '''particular integral''', denoted here by ''y<sub>p</sub>''.}}
{{glossary end}}
The general solution to a linear equation can be written as ''y'' {{=}} ''y<sub>c</sub>'' + ''y<sub>p</sub>''.
}}
{{term|[[Non-linear differential equation|Non-linear]]}}{{defn|A differential equation that cannot be written in the form of a linear combination.}}
{{glossary end}}-->

==Sistem PDB==
{{Main|Sistem persamaan diferensial}}
Sejumlah persamaan diferensial berpasangan membentuk sistem persamaan. Jika '''y''' adalah vektor yang elemennya adalah fungsi; '''y'''(''x'') = [''y''<sub>1</sub>(''x''), ''y''<sub>2</sub>(''x''),..., ''y<sub>m</sub>''(''x'')], dan '''F''' adalah [[fungsi nilai vektor]] dari '' 'y' '' dan turunannya, maka

:<math>\mathbf{y}^{(n)} = \mathbf{F}\left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)</math>

adalah ''sistem eksplisit persamaan diferensial biasa'' dari ''orde'' ''n'' dan ''dimensi'' ''m''. Dalam bentuk [[vektor kolom]]:

:<math>\begin{pmatrix}
y_1^{(n)} \\
y_2^{(n)} \\
\vdots \\
y_m^{(n)}
\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}
f_1 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\
f_2 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\
\vdots \\
f_m \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)
\end{pmatrix}</math>

Ini tidak selalu linier. Analog ''implisit'' adalah:

:<math>\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)} \right) = \boldsymbol{0}</math>

Dimana '''0''' = (0, 0, ..., 0) adalah [[vektor nol]]. Dalam bentuk matriks

:<math>\begin{pmatrix}
f_1(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\
f_2(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\
\vdots \\
f_m(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)})
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}</math>

Untuk sistem bentuk <math>\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}'\right) = \boldsymbol{0}</math>, beberapa sumber juga mengharuskan [[matriks Jacobian]] <math>\frac{\partial\mathbf{F}(x,\mathbf{u},\mathbf{v})}{\partial \mathbf{v}}</math> jadilah [[matriks tunggal|non-singular]] untuk menyebutnya sebagai [sistem] PDB implisit; sistem PDB implisit yang memenuhi kondisi non-singularitas Jacobian ini dapat diubah menjadi sistem PDB eksplisit. Dalam sumber yang sama, sistem PDB implisit dengan Jacobian tunggal disebut [[persamaan aljabar diferensial]] (DAE). Perbedaan ini bukan hanya salah satu terminologi; DAE memiliki karakteristik yang berbeda secara fundamental dan umumnya lebih terlibat untuk diselesaikan daripada sistem PDB (nonsingular).<ref name="AscherPetzold1998">{{cite book|author1=Uri M. Ascher|author2=Linda R. Petzold|title=Metode Komputer untuk Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan Diferensial-Aljabar|year=1998|publisher=SIAM|isbn=978-1-61197-139-2|page=12}}</ref><ref name="IlchmannReis2014">{{cite book|author1=Achim Ilchmann|author2=Timo Reis|title=Survei dalam Persamaan Aljabar-Diferensial II|year=2014|publisher=Springer|isbn=978-3-319-11050-9|pages=104–105}}</ref> Agaknya untuk turunan tambahan, [[matriks Hessian]] dan seterusnya juga diasumsikan non-singular menurut skema tersebut, {{citation needed|date=September 2020}} meskipun perhatikan bahwa [[#Pengurangan ke sistem orde pertama|PDB apa pun dengan urutan yang lebih besar dari satu dapat [dan biasanya] ditulis ulang sebagai sistem PDB urutan pertama]],<ref name="AscherPetzold1998b">{{cite book|author1=Uri M. Ascher|author2=Linda R. Petzold|title=Metode Komputer untuk Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan Diferensial-Aljabar|year=1998|publisher=SIAM|isbn=978-1-61197-139-2|page=5}}</ref> yang membuat kriteria singularitas Jacobian cukup untuk taksonomi ini menjadi komprehensif di semua urutan.

Perilaku sistem PDB dapat divisualisasikan melalui penggunaan [[potret fase]].

== Solusi ==
Solusi dari persamaan diferensial
:<math>F\left(x, y, y', \ldots, y^{(n)} \right) = 0</math>
sebuah fungsi {{nowrap|''u'': ''I'' ⊂ '''R''' → '''R'''}}, dimana ''I'' adalah interval, disebut ''solusi'' atau [[kurva integral]] untuk ''F'', if ''u'' adalah ''n''-kali dibedakan ''I'', and
:<math>F(x,u,u',\ \ldots,\ u^{(n)})=0 \quad x \in I.</math>

Given two solutions {{nowrap|''u'': ''J'' ⊂ '''R''' → '''R'''}} and {{nowrap|''v'': ''I'' ⊂ '''R''' → '''R'''}}, ''u'' is called an ''extension'' of ''v'' if {{nowrap|''I'' ⊂ ''J''}} and
:<math>u(x) = v(x) \quad x \in I.\,</math>
<!--A solution that has no extension is called a ''maximal solution''. A solution defined on all of '''R''' is called a ''global solution''.

A ''general solution'' of an ''n''th-order equation is a solution containing ''n'' arbitrary independent [[constant of integration|constants of integration]].  A ''particular solution'' is derived from the general solution by setting the constants to particular values, often chosen to fulfill set '[[initial value problem|initial conditions]] or [[boundary value problem|boundary conditions]]'.<ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=78}}</ref>  A [[singular solution]] is a solution that cannot be obtained by assigning definite values to the arbitrary constants in the general solution.<ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=4}}</ref>-->

===Solusi tunggal===
Teori [[solusi tunggal]] s of biasa dan [[persamaan diferensial parsial]] adalah subjek penelitian dari zaman Leibniz, tetapi baru sejak pertengahan abad kesembilan belas hal itu mendapat perhatian khusus. Sebuah karya berharga tapi sedikit diketahui tentang masalah hal ini adalah karya Houtain (1854). [[Jean Gaston Darboux|Darboux]] (dari tahun 1873) adalah pemimpin dalam teori, dan dalam interpretasi geometris solusi ini ia membuka bidang yang dikerjakan oleh berbagai penulis, terutama [[Felice Casorati (matematikawan)|Casorati]]. Untuk yang terakhir adalah karena (1872) teori solusi tunggal dari persamaan diferensial orde pertama yang diterima sekitar tahun 1900.

==Pengurangan menjadi kuadrat==
Upaya primitif dalam menangani persamaan diferensial telah melihat pengurangan ke [[kuadrat (matematika)|kuadrat]]. Sebagaimana telah menjadi harapan para ahli aljabar abad kedelapan belas untuk menemukan metode untuk memecahkan persamaan umum dari ''n'' derajat, jadi analis berharap untuk menemukan metode umum untuk mengintegralkan persamaan diferensial. [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] (1799) menunjukkan, bagaimanapun, persamaan diferensial yang kompleks. Oleh karena itu, analis mulai menggantikan studi fungsi, sehingga membuka bidang baru dan subur. [[Cauchy]] adalah orang pertama yang menghargai pentingnya pandangan ini.  Setelah itu, pertanyaan sebenarnya bukan lagi apakah suatu solusi dimungkinkan melalui fungsi yang diketahui atau integral, tetapi apakah persamaan diferensial yang diberikan cukup untuk definisi fungsi dari variabel bebas atau variabel, dan, jika demikian, apa sifat karakteristiknya.

==Teori==

===Teori Fuchsian===
{{Main|Metode Frobenius}}
Dua memoar oleh [[Lazarus Fuchs|Fuchs]]<ref>''Crelle'', 1866, 1868</ref> mengilhami pendekatan baru, yang kemudian diuraikan oleh Thomé dan [[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]]. Collet adalah kontributor terkemuka mulai tahun 1869. Metodenya untuk mengintegrasikan sistem non-linier dikomunikasikan ke Bertrand pada tahun 1868. [[Alfred Clebsch|Clebsch]] (1873) menyerang teori sepanjang garis sejajar dengan teori [[Abelian integral]]. Karena yang terakhir dapat diklasifikasikan menurut sifat-sifat kurva fundamental yang tetap tidak berubah di bawah transformasi rasional, Clebsch mengusulkan untuk mengklasifikasikan fungsi transenden yang ditentukan oleh persamaan diferensial sesuai dengan sifat invarian dari permukaan yang sesuai ''f'' = 0 di bawah transformasi satu-ke-satu yang rasional.

===Teori Lie===
Dari tahun 1870, karya [[Sophus Lie]] menempatkan teori persamaan diferensial di atas fondasi yang lebih baik. Dia menunjukkan bahwa teori integrasi dari ahli matematika yang lebih tua bisa, menggunakan [[Lie grup]], dirujuk ke sumber yang sama, dan persamaan diferensial biasa yang mengakui hal yang sama [[infinitesimal transformasi]] menghadirkan kesulitan integrasi yang sebanding. Dia juga menekankan subjek [[transformasi kontak]].

<!--Lie's group theory of differential equations has been certified, namely: (1) that it unifies the many ad hoc methods known for solving differential equations, and (2) that it provides powerful new ways to find solutions. The theory has applications to both ordinary and partial differential equations.<ref>{{harvtxt|Lawrence|1999|p=9}}</ref>

A general solution approach uses the symmetry property of differential equations, the continuous [[infinitesimal transformation]]s of solutions to solutions ([[Lie theory]]). Continuous [[group theory]], [[Lie algebras]], and [[differential geometry]] are used to understand the structure of linear and nonlinear (partial) differential equations for generating integrable equations, to find its [[Lax pair]]s, recursion operators, [[Bäcklund transform]], and finally finding exact analytic solutions to DE.

Symmetry methods have been applied to differential equations that arise in mathematics, physics, engineering, and other disciplines.-->

=== Teori Sturm-Liouville ===
{{main article|Teori Sturm-Liouville}}
Teori Sturm-Liouville adalah teori jenis khusus dari persamaan diferensial biasa linier orde dua. Solusi mereka didasarkan pada [[eigenvalues]] dan korespondensi [[Fungsi eigen|eigenfunctions]] operator linier yang ditentukan melalui orde kedua [[Sistem persamaan lineatr|persamaan linier homogen]].<!-- The problems are identified as Sturm-Liouville Problems (SLP) and are named after [[Jacques Charles François Sturm|J.C.F. Sturm]] and [[Joseph Liouville|J. Liouville]], who studied them in the mid-1800s. SLPs have an infinite number of eigenvalues, and the corresponding eigenfunctions form a complete, orthogonal set, which makes orthogonal expansions possible. This is a key idea in applied mathematics, physics, and engineering.<ref>Logan, J. (2013). Applied mathematics (Fourth ed.).</ref> SLPs are also useful in the analysis of certain partial differential equations.-->

==Eksistensi dan keunikan solusinya==

Ada beberapa teorema yang menetapkan keberadaan dan keunikan solusi untuk [[masalah nilai awal]] yang melibatkan PDB baik secara lokal maupun global. Dua teorema utama tersebut adalah

:{| class="wikitable"
|-
! Dalil
! Anggapan
! Kesimpulan
|-
|[[Teorema keberadaan Peano]]
||F [[fungsi kontinu|kontinu]]
||keberadaan lokal saja
|-
|[[Teorema Picard–Lindelöf]]
||F [[Lipschitz terus menerus]]
||keberadaan dan keunikan lokal
|-
|}

Dalam bentuk dasarnya, kedua teorema ini hanya menjamin hasil lokal, meskipun yang terakhir dapat diperpanjang untuk memberikan hasil global, misalnya, jika kondisi [[Pertidaksamaan Grönwall]] terpenuhi.

Selain itu, teorema keunikan seperti Lipschitz di atas tidak berlaku untuk sistem [[persamaan aljabar diferensial|DAE]], yang mungkin memiliki beberapa solusi yang berasal dari bagian aljabar (non-linear) saja.<ref name="AscherPetzold1998c">{{cite book|author1=Uri M. Ascher|author2=Linda R. Petzold|title=Metode Komputer untuk Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan Diferensial-Aljabar|year=1998|publisher=SIAM|isbn=978-1-61197-139-2|page=13}}</ref>

===Eksistensi lokal dan teorema keunikan disederhanakan===

Teorema dapat dinyatakan secara sederhana sebagai berikut.<ref name= "EDEBVP" >Elementary Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Batas (Edisi ke-4), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, {{isbn|0-471-83824-1}}</ref> Untuk persamaan dan masalah nilai awal:

:<math> y' = F(x,y)\,,\quad y_0 = y(x_0)</math>

bila ''F'' and ∂''F''/∂''y'' bersambung dalam [[persegi panjang]] tertutup

:<math>R=[x_0-a,x_0+a]\times [y_0-b,y_0+b]</math>

dalam ''x-y'' bidang, dimana ''a'' dan ''b'' adalah [[bilangan real|real]] (secara simbolis: ''a, b'' ∈ ℝ) dan × menunjukkan [[produk kartesian]], tanda kurung siku menunjukkan [[notasi interval|interval tertutup]], lalu ada interval

:<math>I = [x_0-h,x_0+h] \subset [x_0-a,x_0+a]</math>

<!--for some ''h'' ∈ ℝ where ''the'' solution to the above equation and initial value problem can be found. That is, there is a solution and it is unique. Since there is no restriction on ''F'' to be linear, this applies to non-linear equations that take the form ''F''(''x, y''), and it can also be applied to systems of equations.

===Global uniqueness and maximum domain of solution===
When the hypotheses of the Picard–Lindelöf theorem are satisfied, then local existence and uniqueness can be extended to a global result. More precisely:<ref>Boscain; Chitour 2011, p.&nbsp;21</ref>

For each initial condition (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>) there exists a unique maximum (possibly infinite) open interval

:<math>I_{\max} = (x_-,x_+), x_\pm \in \R \cup \{\pm \infty\}, x_0 \in I_{\max}</math>

such that any solution that satisfies this initial condition is a [[Restriction (mathematics)|restriction]] of the solution that satisfies this initial condition with domain <math>I_\max</math>.

In the case that <math>x_\pm \neq \pm\infty</math>, there are exactly two possibilities

*explosion in finite time: <math>\limsup_{x \to x_\pm} \|y(x)\| \to \infty</math>
*leaves domain of definition: <math>\lim_{x \to x_\pm} y(x)\ \in \partial \bar{\Omega}</math>

where Ω is the open set in which ''F'' is defined, and <math>\partial \bar{\Omega}</math> is its boundary.

Note that the maximum domain of the solution

* is always an interval (to have uniqueness)
* may be smaller than <math>\R</math>
* may depend on the specific choice of (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>).

;Example.

:<math>y' = y^2</math>

This means that ''F''(''x, y'') = ''y''<sup>2</sup>, which is ''C''<sup>1</sup> and therefore locally Lipschitz continuous, satisfying the Picard–Lindelöf theorem.

Even in such a simple setting, the maximum domain of solution cannot be all <math>\R</math> since the solution is

:<math>y(x) = \frac{y_0}{(x_0-x)y_0+1}</math>

which has maximum domain:

:<math>\begin{cases}\R & y_0 = 0 \\[4pt] \left (-\infty, x_0+\frac{1}{y_0} \right ) & y_0 > 0 \\[4pt] \left (x_0+\frac{1}{y_0},+\infty \right ) & y_0 < 0 \end{cases}</math>

This shows clearly that the maximum interval may depend on the initial conditions. The domain of ''y'' could be taken as being <math>\R \setminus (x_0+ 1/y_0),</math> but this would lead to a domain that is not an interval, so that the side opposite to the initial condition would be disconnected from the initial condition, and therefore not uniquely determined by it.

The maximum domain is not <math>\R</math> because

:<math>\lim_{x \to x_\pm} \|y(x)\| \to \infty,</math>

which is one of the two possible cases according to the above theorem.-->

== Pengurangan pesanan ==
Persamaan diferensial biasanya dapat diselesaikan dengan lebih mudah jika urutan persamaan dapat dikurangi.

=== Pengurangan ke sistem orde pertama === <!-- Alihkan tautan [[Persamaan kaku]] ke sini -->
Persamaan orde diferensial eksplisit apa pun ''n'',

:<math>F\left(x, y, y', y'',\ \ldots,\ y^{(n-1)}\right) = y^{(n)}</math>

dapat ditulis sebagai sistem ''n'' persamaan diferensial orde pertama dengan mendefinisikan keluarga baru fungsi yang tidak diketahui

:<math>y_i = y^{(i-1)}.\!</math>

bagi ''i'' = 1, 2,..., ''n''. Kemudian sistem dimensi ''n'' dari persamaan diferensial berpasangan orde satu

:<math>\begin{array}{rcl}
  y_1'&=&y_2\\
  y_2'&=&y_3\\
  &\vdots&\\
  y_{n-1}'&=&y_n\\
  y_n'&=&F(x,y_1,\ldots,y_n).
\end{array}
</math>

lebih kompak dalam notasi vektor:

:<math>\mathbf{y}'=\mathbf{F}(x,\mathbf{y})</math>

dimana
:<math>\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_n),\quad \mathbf{F}(x,y_1,\ldots,y_n)=(y_2,\ldots,y_n,F(x,y_1,\ldots,y_n)).</math>

==Metode tebakan==
{{unreferenced section|date=September 2020}}
Ketika semua metode lain untuk menyelesaikan PDB gagal, atau dalam kasus di mana kami memiliki beberapa intuisi tentang seperti apa solusi untuk DE, Terkadang mungkin untuk menyelesaikan DE hanya dengan menebak solusi dan memvalidasinya benar. Untuk menggunakan metode ini, kita cukup menebak solusi dari persamaan diferensial, lalu memasukkan solusi tersebut ke dalam persamaan diferensial untuk memvalidasi apakah solusi tersebut memenuhi persamaan tersebut. Jika benar, maka kami memiliki solusi khusus untuk DE, jika tidak, kami mulai lagi dan coba tebakan lain.  Misalnya kita bisa menebak bahwa solusi untuk DE memiliki bentuk: <math>y = Ae^{\alpha t}</math> karena ini adalah solusi yang sangat umum yang secara fisik berperilaku sinusoidal.

Dalam kasus PDB orde pertama yang tidak homogen, pertama-tama kita harus mencari solusi DE untuk bagian DE yang homogen, atau yang dikenal sebagai persamaan karakteristik.

<math>\text{solusi total} = \text{solusi homogen} + \text{solusi tertentu}</math>

==Lihat pula==
*[[Masalah nilai batas]]
*[[Contoh persamaan diferensial]]
*[[Transformasi Laplace diterapkan pada persamaan diferensial]]
*[[Daftar topik sistem dinamis dan persamaan diferensial]]
*[[Persamaan diferensial matriks]]
*[[Metode koefisien yang belum ditentukan]]
*[[Relasi perulangan]]

== Catatan ==
{{reflist|2}}

==Referensi==
* {{citation | first1 = David | last1 = Halliday | authorlink1 = David Halliday (physicist) | first2 = Robert | last2 = Resnick | authorlink2 = Robert Resnick | year = 1977 | isbn = 0-471-71716-9 | title = Physics | edition = 3rd | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York }}
* {{citation | first1 = Charlie | last1 = Harper | year = 1976 | isbn = 0-13-487538-9 | title = Introduction to Mathematical Physics | publisher = [[Prentice-Hall]] | location = New Jersey }}
* {{citation | first1 = Erwin | last1 = Kreyszig | authorlink = Erwin Kreyszig | year = 1972 | isbn = 0-471-50728-8 | title = Advanced Engineering Mathematics | edition = 3rd | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York | url-access = registration | url = https://archive.org/details/advancedengineer00krey }}.
* Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, ''Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)", Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. {{isbn|1-58488-297-2}}
* {{citation | first1 = George F. | last1 = Simmons | authorlink = George F. Simmons | year = 1972 | title = Differential Equations with Applications and Historical Notes | publisher = [[McGraw-Hill]] | location = New York | lccn = 75173716 }}
* {{citation | first1 = Paul A. | last1 = Tipler | year = 1991 | isbn = 0-87901-432-6 | title = Physics for Scientists and Engineers: Extended version | edition = 3rd | publisher = [[Worth Publishers]] | location = New York }}
* {{citation | first1 = Ugo | last1 = Boscain | first2 = Yacine | last2 = Chitour | year = 2011 | title = Introduction à l'automatique | url = http://www.cmapx.polytechnique.fr/~boscain/poly2011.pdf | language = french}}
* {{citation | first1 = Lawrence | last1 = Dresner | year = 1999 | title = Applications of Lie's Theory of Ordinary and Partial Differential Equations | isbn = 978-0750305303 | publisher = [[Institute of Physics Publishing]] | location = Bristol and Philadelphia }}

== Bibliografi ==
* {{cite book | last1=Coddington | first1=Earl A. | last2=Levinson | first2=Norman | authorlink2 = Norman Levinson |title=Theory of Ordinary Differential Equations | url=https://archive.org/details/theoryofordinary00codd | url-access=registration | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | year=1955}}
* {{Citation | last1=Hartman | first1=Philip |authorlink=Philip Hartman |title=Ordinary differential equations | origyear=1964 | url=https://books.google.com/books?id=CENAPMUEpfoC | publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] | location=Philadelphia | series=Classics in Applied Mathematics | isbn=978-0-89871-510-1 |mr=1929104 | year=2002 | volume=38 | doi=10.1137/1.9780898719222}}
* W. Johnson, [http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=abv5010.0001.001 ''A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations''], John Wiley and Sons, 1913, in [http://hti.umich.edu/u/umhistmath/ University of Michigan Historical Math Collection]
* {{Citation | last1=Ince | first1=Edward L. |authorlink=Edward Lindsay Ince | title=Ordinary Differential Equations | origyear=1926 | url=https://archive.org/details/ordinarydifferen029666mbp | publisher=Dover Publications, New York | isbn=978-0-486-60349-0 | mr=0010757  | year=1944}}
* [[Witold Hurewicz]], ''Lectures on Ordinary Differential Equations'', Dover Publications, {{isbn|0-486-49510-8}}
*{{Cite book |first=Nail H. |last=Ibragimov |authorlink = Nail H. Ibragimov |title=CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3 |publisher=CRC-Press |location=Providence |year=1993 |isbn=0-8493-4488-3 }}.
* {{cite book| last = Teschl| given = Gerald|authorlink=Gerald Teschl| title = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems| publisher=[[American Mathematical Society]]| place = [[Providence, Rhode Island|Providence]]| year = 2012| isbn= 978-0-8218-8328-0| url = https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/}}
* [[Andrei Polyanin|A. D. Polyanin]], V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations'', Taylor & Francis, London, 2002. {{isbn|0-415-27267-X}}
* D. Zwillinger, ''Handbook of Differential Equations (3rd edition)'', Academic Press, Boston, 1997.

==Pranala luar==
{{wikibooks|Calculus/Ordinary differential equations}}
{{Commonscat|Ordinary differential equations}}
*{{springer|title=Persamaan diferensial, biasa|id=p/d031910}}
*{{dmoz|Science/Math/Differential_Equations/|Persamaan Diferensial}} (termasuk daftar [[perangkat lunak]] untuk memecahkan persamaan diferensial).
*[http://eqworld.ipmnet.ru/index.htm EqWorld: The World of Mathematical Equations], berisi daftar persamaan diferensial biasa beserta solusinya.
*[http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/de.aspx Online Notes / Differential Equations] oleh Paul Dawkins, [[Lamar University]].
*[http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Differential Equations], S.O.S. Matematika.
*[http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/gen/08ode/mws_gen_ode_bck_primer.pdf A primer on analytical solution of differential equations] dari Holistic Numerical Methods Institute, University of South Florida.
*[https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems] lecture notes by [[Gerald Teschl]].
*[http://www.jirka.org/diffyqs/ Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers] Buku pengantar tentang persamaan diferensial oleh Jiri Lebl dari [[UIUC]].
*[http://www.openeering.com/sites/default/files/LHY_Scilab_Tutorial_Part1.pdf Modeling with PDBs using Scilab] Sebuah tutorial tentang bagaimana memodelkan sistem fisik yang dijelaskan oleh PDB menggunakan [[bahasa pemrograman]] standar Scilab oleh tim Openeering.
*[http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+%2B+2xy+%3D+0 Solving an ordinary differential equation in Wolfram|Alpha]

{{Topik persamaan diferensial}}
{{Kontrol otoritas}}

[[Kategori:Kalkulus diferensial]]
[[Kategori:Persamaan diferensial biasa| ]]
[[Kategori:Persamaan diferensial|Biasa]]
[[Kategori:Persamaan matematika|Diferensial biasa]]
[[Kategori:Persamaan|Diferensial biasa]]