Lihat sumber Ukuran (matematika)

{{periksaterjemahan|en|Measure (mathematics)}}
{{expert-subject}}
[[Berkas:Measure illustration.png|ka|jmpl|Ukuran dapat dibayangkan sebagai pasangan antara himpunan dan bilangan positif. Digambarkan di sini sifat monoton, di mana himpunan bagian berukuran lebih kecil]]

Dalam [[matematika]], '''ukuran''' adalah pemetaan yang menghubungkan himpunan bagian tertentu dengan suatu nilai, yang dianggap sebagai ukuran dari himpunan bagian tersebut. Ukuran dapat dipahami sebagai perumiman dari konsep seperti "panjang", "luas" dan "volume". Konsep ukuran ini penting untuk dapat dengan benar mendefinisikan integral dari suatu fungsi secara umum. Ukuran adalah konsep yang penting dalam [[Analisis matematis|analisis]] dan [[teori peluang]]. Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral.

Gagasan mengenai teori ukuran sudah ada semenjak zaman Yunani kuno, ketika Archimeder hendak  menghitung nilai eksak luas lingkaran. Tetapi teori ukuran sendiri baru berkembang di abad ke-20. Perintis dari teori ukuran adalah [[Henri Lebesgue]], [[Georg Cantor]], [[Émile Borel]], [[Constantin Carathéodory]] and [[Alfred Haar]]. Henri Lebesgue mengembangkan ukuran Lebesgue dan integral Lebesgue dalam <math>\mathbb{R}^{n}</math>. Georg Cantor dan Émile Borel kemudian mengidentifikasi besaran terukur dan besaran Borel. Constantin Carathéodory mendefinisikan dimensi eksternal dan konstruksi Carathéodory. Alfred Haar dikenal untuk ukuran Haar, konsep yang serupa dengan ukuran Lebesgue di grup topologis.

== Definisi ==
Misalkan <math> ( X, \Sigma ) </math> adalah suatu ruang terukur, dengan <math> X </math> suatu himpunan dan <math> \Sigma </math> suatu [[aljabar sigma|aljabar σ]] pada <math> X </math>.
Fungsi <math> \mu: \Sigma \rightarrow [0, + \infty] </math> disebut sebagai '''ukuran''' pada <math> ( X, \Sigma ) </math>, jika memenuhi sifat-sifat:
* ''Non-[[Bilangan negatif|negatif]]'': tiada himpunan yang berukuran negatif:

:: <math> \mu(A) \geq 0</math>

:untuk semua <math> A \in \Sigma </math>;

* [[Himpunan kosong]] berukuran nol:

:: <math> \mu(\varnothing) = 0; </math>

* ''Aditivitas terhitung'' atau aditivitas-σ: jika <math>A_1\,</math>, <math>A_2\,</math>,  <math>A_3\,</math>, ... adalah suatu barisan terhitung dari himpunan saling lepas pasang-demi-pasang yang termuat dalam <math>\Sigma</math>, maka

::<math>\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i).</math>

Anggota dari <math> \Sigma </math> disebut '''himpunan terukur''', dan <math> ( X, \Sigma, \mu ) </math> disebut '''ruang ukuran'''.

== Contoh ==
=== [[Ukuran Lebesgue]] ===
Ukuran Lebesgue di <math> \mathbb{R}  </math> suatu perumuman dari panjang.
''Panjang'' interval <math> I = [a, b], [a, b ), ( a, b ] </math> atau <math> (a,b) </math> didefinisikan <math> | I | = b - a </math>.
Sekarang misalkan <math> A \subseteq \mathbb{R} </math> suatu himpunan bagian.
Keluarga interval <math> ( I _i ) _{i \in \mathbb{N}} </math> dikatakan ''meliputi'' <math> A </math> apabila <math> A \subseteq \bigcup _{i \in \mathbb{N}} I _i </math>.
[[Ukuran luar]] <math> A </math> didefinisikan sebagai
:<math>  m ^\ast ( A ) = \inf \left\{   \sum _{i \in \mathbb{N}} | I _i |: ( I _i ) _{i \in \mathbb{N}} \mbox{ meliputi } A \right\} .</math>
Tepatnya, <math> m ^\ast </math> yang didefinisikan untuk semua himpunan bagian <math>A</math> dari <math> \mathbb{R} </math> bukan ukuran karena itu tidak memenuhi sifat-3 definisi ukuran.

Himpunan <math> A \subseteq \mathbb{R} </math> dikatakan ''terukur'' (atau ''terukur Lebesgue'') apabila untuk setiap <math> \varepsilon > 0 </math> terdapat [[himpunan tertutup]] <math> F \subseteq A </math> dan [[himpunan terbuka]] <math> G \supseteq A </math> sedemikian sehingga <math> m ^\ast ( G \setminus F ) < \varepsilon </math>.
Sekarang misalkan <math> \Sigma </math> adalah keluarga himpunan terukur.
Tepatnya, <math> \Sigma </math> [[aljabar sigma]] dan fungsi <math> m ^\ast </math> yang dibatasi pada <math> \Sigma </math> ukuran.
Ukuran itu dikenal sebagai ''Ukuran Lebesgue'' (di <math> \mathbb{R} </math>) dan dilambangkan dengan <math> m </math>.

=== Ukuran penghitungan ===
Misalnya <math> X </math> suatu himpunan dan <math> \Sigma </math> [[Himpunan (matematika)#Himpunan kuasa|himpunan kunasa]], yakni <math> \Sigma </math> keluarga semua himpunan bagian dari <math> X </math>.
Jelas, <math> \Sigma </math> [[aljabar sigma]].
Untuk <math> A \in \Sigma </math>, nilai <math> \mu ( A ) </math> definisikan sebagai jumlah unsur himpunan <math> A </math>.
Fungsi itu <math> \mu: \Sigma \rightarrow [ 0, + \infty ] </math> dikenal sebagai ''ukuran penghitungan'' di <math> X </math>.

== Fitur ==
=== Kaidah perhitungan ===
Kaidah perhitungan dasar berikut untuk hasil langsung dari definisi <math>\mu \colon \mathcal{A} \to [0,\infty]</math>:
* Aditif hingga: untuk himpunan pemutus dengan <math>A_1, \dotsc, A_m \in \mathcal{A}</math> gilt <math>\textstyle \mu(A_1 \cup \ldots \cup A_m) = \sum_{n=1}^m \mu(A_n)</math>.
* Subtraktivitas: untuk <math>A, B \in \mathcal{A}</math> dengan <math>B \subseteq A</math> dan <math>\mu(B) < \infty</math> dari <math>\mu(A \setminus B) = \mu(A) - \mu(B)</math>.
* Monoton: untuk <math>A, B \in \mathcal{A}</math> dengan <math>B \subseteq A</math> dari <math>\mu(B) \leq \mu(A)</math>.
* Untuk <math>A, B \in \mathcal{A}</math> dengan himpunan <math>\mu(A \cup B) + \mu(A \cap B) = \mu(A) + \mu(B)</math>. Dengan [[prinsip penyertaan dan pengecualian]] rumus tersebut dapat digeneralisasikan dalam kasus ukuran hingga untuk penyatuan dan perpotongan dari banyak himpunan terbatas.
* [[σ-subadditivitas]]: Untuk sembarang urutan <math>(A_n)_{n\in\N}</math> dari himpunan <math>\mathcal{A}</math> dengan <math>\textstyle \mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n)</math>.

=== Sifat kontinuitas ===
Sifat kontinuitas berikut adalah fundamental untuk memperkirakan set terukur dengan σ-aditif.
* [[σ-kontinuitas bawah]]: adalah <math>A_1 \subseteq A_2 \subseteq \dotsb</math> urutan himpunan <math>\mathcal{A}</math> dan <math>A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n</math>, kemudian <math>\lim_{n\to\infty} \mu(A_n) = \mu(A)</math>.
* [[σ-kontinuitas atas]]: Adalah <math>A_1 \supseteq A_2 \supseteq \dotsb</math> urutan himpunan <math>\mathcal{A}</math> dengan <math>\mu(A_1) < \infty</math> dan <math>A = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n</math>, kemudian <math>\lim_{n\to\infty} \mu(A_n) = \mu(A)</math>.

=== Teorema keunikan ===
{{See also|Ukuran unik}}
Untuk dimensi <math>\mu, \nu \colon \mathcal{A} \to [0,\infty]</math> di ruang ukur <math>(\Omega, \mathcal{A})</math> sebagai berikut:

Misalkan [[σ-aljabar#σ-operator|produsen]] <math>\mathcal{E}</math> dari <math>\mathcal{A}</math>, hal itu berlaku <math>\mathcal{A} = \sigma(\mathcal{E})</math> dan untuk <math>E_1, E_2 \in \mathcal{E}</math> ist <math>E_1 \cap E_2 \in \mathcal{E}</math>, dengan sifat berikut:
# Untuk <math>E \in \mathcal{E}</math> dengan <math>\mu(E) = \nu(E)</math>, dengan <math>\mu|_{\mathcal{E}} = \nu|_{\mathcal{E}}</math>, dan
# Urutan <math>(E_n)_{n\in\N}</math> dari himpunan <math>\mathcal{E}</math> dengan <math>\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n = \Omega</math> dan <math>\mu(E_n) = \nu(E_n) < \infty</math> für alle <math>n \in \N</math>.
Kemudian <math>\mu = \nu</math>.

Untuk dimensi dengan <math>\mu(\Omega) = \nu(\Omega)</math> kondisi 2 otomatis. Secara khusus, dua ukuran probabilitas adalah sama jika keduanya generator dari rata yang stabil dari aljabar.

Teorema keunikan memberikan, misalnya, keunikan kelanjutan dari ukuran ke ukuran dengan menggunakan ukuran luar dan [[teorema ekstensi ukuran oleh Carathéodory]]

== Himpunan non-ukur ==
{{Main|Himpunan non-ukur}}

Jika [[aksioma pilihan]] dibuktikan tidak semua himpunan bagian dari [[ruang Euklides]] adalah [[ukuran Lebesgue]]; contoh dari himpunan tersebut termasuk [[himpunan Vitali]], dan himpunan yang tidak dapat diukur yang didalilkan oleh [[paradoks Hausdorff]] dan [[paradoks Banach-Tarski]].

== Generalisasi ==
Untuk tujuan tertentu, "ukuran" yang nilainya tidak terbatas pada riil non-negatif atau tak terhingga. Misalnya, aditif terhitung [[fungsi set]] dengan nilai dalam bilangan real (bertanda) disebut ''[[ukuran tanda]]'', sedangkan fungsi seperti itu dengan nilai-nilai dalam [[bilangan kompleks]] disebut ''[[ukuran kompleks]]''. Pengukuran yang mengambil nilai dalam [[ruang Banach]] telah dipelajari secara ekstensif.<ref>{{citation
 | last = Rao | first = M. M.
 | isbn = 978-981-4350-81-5
 | mr = 2840012
 | publisher = [[World Scientific]]
 | series = Series on Multivariate Analysis
 | title = Random and Vector Measures
 | volume = 9
 | year = 2012}}.</ref> Ukuran dari nilai dalam himpunan proyeksi self-adjoint pada [[ruang Hilbert]] disebut ''[[ukuran nilai proyeksi]]''; digunakan dalam [[analisis fungsional]] untuk [[teorema spektral]]. Jika untuk membedakan ukuran biasa yang mengambil nilai non-negatif dari generalisasi, istilah digunakan '''ukuran positif'''. Pengukuran positif ditutup di bawah [[kombinasi kerucut]] tetapi tidak umum [[kombinasi linear]], sedangkan pengukuran bertanda tangan adalah penutupan linier dari pengukuran positif.

Generalisasi lain adalah ''ukuran aditif hingga'', juga dikenal sebagai [[Isi (teori ukuran)|isi]]. Ini sama dengan ukuran kecuali bahwa alih-alih membutuhkan aditifitas yang ''dapat dihitung'', kita hanya memerlukan aditifitas yang ''terbatas''. Secara historis, definisi ini digunakan pertama kali. Ternyata secara umum, ukuran aditif hingga terkait dengan pengertian seperti [[limit Banach]], rangkap [[ruang Lp|''L''<sup>∞</sup>]] dan [[pemadatan Stone–Čech]]. Terkait dalam satu atau lain cara dengan [[aksioma pilihan]]. Masalah teknis tertentu di [[teori ukuran geometris]]; ini adalah teori [[ukuran Banach]].

[[ukuran bertanda|Muatan]] adalah generalisasi di kedua arah: adalah ukuran bertanda tangan aditif hingga.

== Lihat pula ==
{{Portal|Matematika}}
{{div col|colwidth=20em|small=yes}}
* [[Aljabar Abelian von Neumann]]
* [[Hampir di mana-mana]]
* [[Teorema perluasan Carathéodory]]
* [[Isi (teori pengukuran)]]
* [[Teorema Fubini]]
* [[Lemma Fatou]]
* [[Teori pengukuran Fuzzy]]
* [[Teori ukuran geometris]]
* [[Ukuran Hausdorff]]
* [[Ukuran dalam]]
* [[Integrasi Lebesgue]]
* [[Pengukuran Lebesgue]]
* [[Ruang Lorentz]]
* [[Teori pengangkatan]]
* [[Kardinal terukur]]
* [[Fungsi terukur]]
* [[Konten Minkowski]]
* [[Ukuran luar]]
* [[Ukuran produk]]
* [[Ukuran Pushforward]]
* [[Ukuran reguler]]
* [[Ukuran vektor]]
* [[Penilaian (teori ukuran)]]
* [[Bentuk volume]]
{{div col end}}

== Referensi ==
{{reflist}}

== Bibliografi ==
{{refbegin}}
* [[Robert G. Bartle]] (1995) ''The Elements of Integration and Lebesgue Measure'', Wiley Interscience.
* {{citation | last=Bauer|first=H.|title=Measure and Integration Theory|year=2001|publisher=de Gruyter|location=Berlin|isbn=978-3110167191}}
* {{citation | last=Bear|first=H.S.|title=A Primer of Lebesgue Integration|year=2001|publisher=Academic Press|location=San Diego|isbn=978-0120839711}}
* {{citation | last=Bogachev|first=V. I.|title=Measure theory|year=2006|publisher=Springer|location=Berlin|isbn=978-3540345138}}
* {{citation | last=Bourbaki| first=Nicolas | title=Integration I |  year=2004 | publisher=[[Springer Verlag]] | isbn=3-540-41129-1}} Chapter III.
* R. M. Dudley, 2002. ''Real Analysis and Probability''. Cambridge University Press.
* {{citation | last=Folland | first=Gerald B.| title=Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications | year = 1999 | publisher = John Wiley and Sons | isbn=0471317160 }} Second edition.
* Federer, Herbert. Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., New York 1969 xiv+676 pp.
* D. H. Fremlin, 2000. ''[http://www1.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/mt.htm Measure Theory]''. Torres Fremlin.
* {{citation | last=Jech| first=Thomas | title=Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded |  year=2003 | publisher=[[Springer Verlag]] | isbn=3-540-44085-2}}
* [[R. Duncan Luce]] and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," ''The [[New Palgrave: A Dictionary of Economics]]'', v. 3, pp.&nbsp;428–32.
* M. E. Munroe, 1953. ''Introduction to Measure and Integration''. Addison Wesley.
* {{Citation|author=K. P. S. Bhaskara Rao and M. Bhaskara Rao|title=Theory of Charges: A Study of Finitely Additive Measures| publisher=Academic Press|location=London|year=1983|pages=x + 315|isbn=0-12-095780-9}}
* Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. ''Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach'', Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. {{isbn|0-486-63519-8}}. Emphasizes the [[Daniell integral]].
* {{citation | last = Teschl| first = Gerald| author-link = Gerald Teschl| title = Topics in Real and Functional Analysis| url = https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/index.html|publisher = (lecture notes)}}
* {{cite book|last1=Tao|first1=Terence|author-link=Terence Tao|title=An Introduction to Measure Theory|date=2011|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I.|isbn=9780821869192}}
* {{cite book|last1=Weaver|first1=Nik|title=Measure Theory and Functional Analysis|date=2013|publisher= [[World Scientific]]|isbn=9789814508568}}
{{refend}}

== Pranala luar ==
{{Wiktionary|Ukuran}}
*{{springer|title=Measure|id=p/m063240}}
*[https://vannevar.ece.uw.edu/techsite/papers/documents/UWEETR-2006-0008.pdf Tutorial: Measure Theory for Dummies]

{{Anaisis-footer}}
{{Authority control}}

[[Kategori:Teori ukuran| ]]
[[Kategori:Ukuran (teori ukuran)| ]]