Sifat distributif: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 7 September 2022 04.23

Visualisasi hukum distributif untuk bilangan positif

Dalam matematika, sifat distributif (bahasa Inggris: distributive property) adalah sifat yang mendistribusikan perkalian terhadap operasi penambahan. Sifat ini merupakan sifat dari operasi biner merupakan perumuman dari hukum distributif. Dalam aljabar dasar, hukum tersebut mengatakan bahwa persamaan $x*(y+z)=(x*y)+(x*z)$ selalu benar. Sebagai contoh, dalam aritmetika dasar, persamaan ${\textstyle 2\cdot (1+3)=(2\cdot 1)+(2\cdot 3)}$ adalah benar.

Sifat distributif dari bilangan merupakan bagian dari definisi dari hampir semua struktur aljabar yang mempunyai dua operasi dasar, yaitu penambahan dan perkalian. Struktur tersebut di antaranya bilangan kompleks, polinomial, matriks, gelanggang, dan lapangan. Sifat ini juga dipakai dalam aljabar Boole dan logika matematika, yang mengatakan bahwa masing-masing dari logika konjungsi (yang dinyatakan sebagai $\,\land \,$ ) dan logika disjungsi (yang dinyatakan sebagai $\,\lor \,$ ) mendistribusi terhadap operasi lain.

Definisi

Diberikan sebuah himpunan $S$ dan dua operator biner $*$ dan $+$ pada $S$ . Jika diberikan setiap anggota $x$ , $y$ , dan $z$ dari $S$ , maka operasi $*$ disebut distributif di kiri terhadap operasi $+$ , yang ditulis sebagai

$x*(y+z)=(x*y)+(x*z).$

Operasi $*$ disebut distributif di kanan terhadap operasi $+$ , jika diberikan setiap anggota $x$ , $y$ , dan $z$ dari $S$ , yang ditulis sebagai

$(y+z)*x=(y*x)+(z*x).$

Operasi $*$ disebut distributif terhadap operasi $+$ , jika $*$ distributif di kiri maupun di kanan.^[1] Perhatikan bahwa ketika $*$ bersifat komutatif, maka secara logika, ketiga syarat di atas ekuivalen.

Pengertian

Operator yang digunakan untuk contoh di bagian ini adalah operator penambahan ( $+$ ) dan perkalian ( $\cdot$ ). Jika operasi yang dilambangkan dengan $\cdot$ tidak komutatif, maka terdapat perbedaan pada sifat distribusi di kiri dan distribusi di kanan:

${\begin{aligned}a\cdot \left(b\pm c\right)&=a\cdot b\pm a\cdot c\\(a\pm b)\cdot c&=a\cdot c\pm b\cdot c\end{aligned}}$

Sifat pertama merupakan sifat distribusi di kiri, sedangkan yang kedua merupakan sifat distribusi di kanan. Pada kedua kasus tersebut, sifat distributif dapat dijelaskan sebagai berikut:

Untuk mengalikan penjumlahan (atau selisih) dengan sebuah faktor bilangan, setiap jumlah (atau kinurang) dikalikan dengan sebuah faktor bilangan, dan hasil dari perkalian tersebut kemudian ditambahkan (atau dikurangi).
Jika sifat yang terdapat operasi di luar tanda kurung bersifat komutatif (yaitu perkalian), maka definisi dari sifat distribusi di kiri menyiratkan sifat distribusi di kanan. Hal itu berlaku pula untuk sebaliknya.

Ada sebuah contoh operasi yang "hanya" distribusi di kanan. Sebagai contoh, operasi pembagian yang sifatnya tidak komutatif:

$(a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c$

Dalam kasus ini, distributif di kiri tidak berlaku untuk:

$a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c$

Hukum distributif ditemukan di antara aksioma untuk gelanggang (seperti gelanggang dari bilangan bulat) dan lapangan (seperti lapangan dari bilangan rasional). Operasi perkalian pada hukum ini bersifat distributif terhadap penambahan, sedangkan penambahan tidak distributif terhadap perkalian. Contoh struktur yang melibatkan dua operasi yang masing-masing distributif terhadap dengan yang lain adalah aljabar Boole.

Perkalian antara operasi penjumlahan dapat dijelaskan sebagai berikut: Ketika sebuah operasi penjumlahan dikalikan dengan operasi penjumlahan, kalikan setiap jumlah dari penjumlahan dengan setiap penjumlahan dari jumlah lainnya,^{[C 1]} lalu jumlahkan semuanya setelah mengalikannya.

Logika proposisional

Aturan penggantian

Dalam logika proposisional kebenaran-fungsional standar, distribusi^[2]^[3] dalam pembuktian logika menggunakan dua aturan penggantian yang valid untuk memperluas kejadian individu dari perangkai logika dalam suatu rumus ke penerapan yang terpisah dari perangkai tersebut di antara subrumus dari rumus. Aturan tersebut dinyatakan sebagai

$(P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))$ dan

$(P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))$

dengan " $\Leftrightarrow$ ", atau ditulis $\equiv$ , merupakan simbol metalogik.

Perangkai fungsional kebenaran

Distributivitas merupakan sifat dari suatu perangkai logika dari logika proposisional fungsi kebenaran. Di bawah berikut merupakan persamaan logika yang memperlihatkan bahwa distributivitas adalah sifat dari perangkai yang bersifat khusus, serta merupakan tautologi fungsi kebenaran ${\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ konjungsi }}&&{\text{ terhadap }}&&{\text{ disjungsi }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ disjungsi }}&&{\text{ terhadap }}&&{\text{ konjungsi }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ konjungsi }}&&{\text{ terhadap }}&&{\text{ konjungsi }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ disjungsi }}&&{\text{ terhadap }}&&{\text{ disjungsi }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ implikasi }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ implikasi }}&&{\text{ terhadap }}&&{\text{ ekuivalensi }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ implikasi }}&&{\text{ terhadap }}&&{\text{ konjungsi }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribusi dari }}&&{\text{ disjungsi }}&&{\text{ terhadap }}&&{\text{ ekuivalensi }}\\\end{alignedat}}$

Distribusi ganda: ${\begin{aligned}((P\land Q)\lor (R\land S))&\Leftrightarrow (((P\lor R)\land (P\lor S))\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))\\((P\lor Q)\land (R\lor S))&\Leftrightarrow (((P\land R)\lor (P\land S))\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))\end{aligned}}$

Catatan

^ Perhatikan tanda-tanda operasi saat mengalikannya.

Rujukan

^ Distributivity of Binary Operations from Mathonline
^ Elliott Mendelson (1964) Introduction to Mathematical Logic, page 21, D. Van Nostrand Company
^ Alfred Tarski (1941) Introduction to Logic, page 52, Oxford University Press

Pranala luar

A demonstration of the Distributive Law for integer arithmetic (from cut-the-knot)

[2] Perhatikan tanda-tanda operasi saat mengalikannya.

[1] Distributivity of Binary Operations from Mathonline

[3] Elliott Mendelson (1964) Introduction to Mathematical Logic, page 21, D. Van Nostrand Company

[4] Alfred Tarski (1941) Introduction to Logic, page 52, Oxford University Press

[1]

[C 1]

[2]

[3]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
+{{short description|Properti yang melibatkan dua operasi matematika}}
-[[Berkas:Sifat Distributif.gif|jmpl|ka|250px|Sifat Distributif pada bilangan bulat]]
+[[Berkas:Illustration of distributive property with rectangles.svg|thumb|Visualisasi hukum distributif untuk bilangan positif]]
+Dalam [[matematika]], '''sifat''' '''distributif''' ({{Lang-en|distributive property}}) adalah sifat yang mendistribusikan perkalian terhadap operasi penambahan. Sifat ini merupakan sifat dari [[operasi biner]] merupakan perumuman dari '''hukum distributif'''. Dalam [[Aljabar elementer|aljabar dasar]], hukum tersebut mengatakan bahwa persamaan<math display="block">x * (y + z) = (x * y) + (x * z)</math>selalu benar. Sebagai contoh, dalam [[aritmetika dasar]], persamaan <math display="inline">2 \cdot (1 + 3) = (2 \cdot 1) + (2 \cdot 3)</math> adalah benar.
+Sifat distributif dari bilangan merupakan bagian dari definisi dari hampir semua [[struktur aljabar]] yang mempunyai dua operasi dasar, yaitu penambahan dan perkalian. Struktur tersebut di antaranya [[bilangan kompleks]], [[polinomial]], [[Matriks (matematika)|matriks]], [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], dan [[Lapangan (matematika)|lapangan]]. Sifat ini juga dipakai dalam [[aljabar Boole]] dan [[logika matematika]], yang mengatakan bahwa masing-masing dari [[logika konjungsi]] (yang dinyatakan sebagai <math>\,\land\,</math>) dan [[logika disjungsi]] (yang dinyatakan sebagai <math>\,\lor\,</math>) mendistribusi terhadap operasi lain.
-'''Distributif''' adalah suatu penggabungan dengan cara mengkombinasikan bilangan dari hasil [[operasi]] terhadap elemen-elemen [[kombinasi]] tersebut.<ref>{{cite book|title= Ensiklopedia Indonesia, Jilid 7|publisher=Ichtiar Baru|author= Van Hoeve|location= Jakarta|author2=Hassan Shadily|page=838-839}}</ref> Distirbutif yang dimaksud disini adalah salah satu sifat-sifat dari operasi hitungan pada [[bilangan bulat]].<ref name="internet"/> Bilangan bulat terdiri dari [[bilangan]] cacah dan negatifnya.<ref name="in">{{cite web|title= Bilangan Bulat|url=http://rumus-matematika.com/pengertian-dan-operasi-bilangan-bulat/|accessdate= 15 Juni 2014}}</ref> Bilangan termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4,… sehingga [[negatif]] dari bilangan [[cacah]] yaitu -1,-2,-3,-4,… dalam hal ini -0 = 0 maka tidak dimasukkan lagi secara terpisah.<ref name="in"/> Sifat Distributif ini biasanya disebut juga sifat penyebaran.<ref name="internet">{{cite web|title= Sifat-sifat Operasi Hitungan|url=http://www.crayonpedia.org/mw/Sifat-Sifat_Operasi_Hitung_6.1|accessdate= 15 Juni 2014}}</ref> Contohnya: ax (b + c) = axb + axc. Pada posisi ini operasinya adalah [[perkalian]] dan kombinasinya adalah [[penjumlahan]].<ref>{{cite book|title= Ensiklopedia Indonesia, Jilid 7|publisher=Ichtiar Baru|author= Van Hoeve|location= Jakarta|author2=Hassan Shadily|page=839}}</ref>
+== Definisi ==
-== Contoh Soal dan Jawaban Menggunakan Sifat Distributif ==
-=== Contoh 1 ===
-Apakah 1.(25 × 2) + (12 × 6)?
-.(20 x 3) + (7 x 4)?
+Diberikan sebuah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>S</math> dan dua [[operator biner]] <math>*</math> dan <math>+</math> pada <math>S</math>. Jika diberikan setiap anggota <math>x</math>, <math>y</math>, dan <math>z</math> dari <math>S</math>, maka operasi <math>*</math> disebut ''distributif di kiri'' terhadap operasi <math>+</math>, yang ditulis sebagai
+<math display="block">x * (y + z) = (x * y) + (x * z).</math>
-Jawab:
+Operasi <math>*</math> disebut ''distributif di kanan'' terhadap operasi <math>+</math>, jika diberikan setiap anggota <math>x</math>, <math>y</math>, dan <math>z</math> dari <math>S</math>, yang ditulis sebagai
-× (4 + 5) = 3 × 9 = 27
-(3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27
+<math display="block">(y + z) * x = (y * x) + (z * x).</math>
+Operasi <math>*</math> disebut ''distributif'' terhadap operasi <math>+</math>, jika <math>*</math> distributif di kiri maupun di kanan.<ref>[http://mathonline.wikidot.com/distributivity-of-binary-operations Distributivity of Binary Operations] from Mathonline</ref> Perhatikan bahwa ketika <math>*</math> bersifat [[komutatif]], maka secara logika, ketiga syarat di atas [[kesetaraan logika|ekuivalen]].
-Jadi, 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5).<ref name="internet"/>
-=== Contoh 2 ===
+== Pengertian ==
+Operator yang digunakan untuk contoh di bagian ini adalah operator [[penambahan]] (<math>+</math>) dan [[perkalian]] (<math>\cdot</math>). Jika operasi yang dilambangkan dengan <math>\cdot</math> tidak komutatif, maka terdapat perbedaan pada sifat distribusi di kiri dan distribusi di kanan:
-Apakah 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5)?
+<math display="block">\begin{align}
-Jawab:
+a \cdot \left( b \pm c \right) &= a \cdot b \pm a \cdot c \\
+(a \pm b) \cdot c &= a \cdot c \pm b \cdot c
+\end{align}</math>
+Sifat pertama merupakan sifat distribusi di kiri, sedangkan yang kedua merupakan sifat distribusi di kanan. Pada kedua kasus tersebut, sifat distributif dapat dijelaskan sebagai berikut:
-× (4 – 5) = 3 × (–1) = –3
+* Untuk mengalikan [[penjumlahan]] (atau [[Pengurangan|selisih]]) dengan sebuah faktor bilangan, setiap jumlah (atau [[kinurang]]) dikalikan dengan sebuah faktor bilangan, dan hasil dari perkalian tersebut kemudian ditambahkan (atau dikurangi).
-(3 × 4) – (3 × 5) = 12 – 15 = –3
+* Jika sifat yang terdapat operasi di luar tanda kurung bersifat komutatif (yaitu perkalian), maka definisi dari sifat distribusi di kiri menyiratkan sifat distribusi di kanan. Hal itu berlaku pula untuk sebaliknya.
+Ada sebuah contoh operasi yang "hanya" distribusi di kanan. Sebagai contoh, operasi pembagian yang sifatnya tidak komutatif:
-Jadi, 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5).<ref name="internet"/>
+<math display="block">(a \pm b) \div c = a \div c \pm b \div c</math>
+Dalam kasus ini, distributif di kiri tidak berlaku untuk:
+<math display="block">a \div(b \pm c) \neq a \div b \pm a \div c</math>
+Hukum distributif ditemukan di antara aksioma untuk [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] (seperti gelanggang dari [[bilangan bulat]]) dan [[Lapangan (matematika)|lapangan]] (seperti lapangan dari [[bilangan rasional]]). Operasi perkalian pada hukum ini bersifat distributif terhadap penambahan, sedangkan penambahan tidak distributif terhadap perkalian. Contoh struktur yang melibatkan dua operasi yang masing-masing distributif terhadap dengan yang lain adalah [[Aljabar Boolean|aljabar Boole]].
+Perkalian antara operasi penjumlahan dapat dijelaskan sebagai berikut: Ketika sebuah operasi penjumlahan dikalikan dengan operasi penjumlahan, kalikan setiap jumlah dari penjumlahan dengan setiap penjumlahan dari jumlah lainnya,<ref group="C">Perhatikan tanda-tanda operasi saat mengalikannya.</ref> lalu jumlahkan semuanya setelah mengalikannya.
+== Logika proposisional ==
+=== Aturan penggantian ===
+Dalam logika proposisional kebenaran-fungsional standar, ''distribusi''<ref>[[Elliott Mendelson]] (1964) ''Introduction to Mathematical Logic'', page 21, D. Van Nostrand Company</ref><ref>[[Alfred Tarski]] (1941) ''Introduction to Logic'', page 52, [[Oxford University Press]]</ref> dalam pembuktian logika menggunakan dua [[aturan penggantian]] yang valid untuk memperluas kejadian individu dari [[perangkai logika]] dalam suatu [[rumus logika |rumus]] ke penerapan yang terpisah dari perangkai tersebut di antara subrumus dari rumus. Aturan tersebut dinyatakan sebagai
+<math display="block">(P \land (Q \lor R)) \Leftrightarrow ((P \land Q) \lor (P \land R))</math>
+dan
+<math display="block">(P \lor (Q \land R)) \Leftrightarrow ((P \lor Q) \land (P \lor R))</math>
+dengan "<math>\Leftrightarrow</math>", atau ditulis <math>\equiv</math>, merupakan simbol [[metalogik]].
+=== Perangkai fungsional kebenaran ===
+''Distributivitas ''merupakan sifat dari suatu perangkai logika dari [[logika proposisional]] fungsi kebenaran. Di bawah berikut merupakan persamaan logika yang memperlihatkan bahwa distributivitas adalah sifat dari perangkai yang bersifat khusus, serta merupakan [[tautologi (logika) |tautologi]] fungsi kebenaran<math display="block">\begin{alignat}{13}
+&(P &&\;\land &&(Q \lor R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \land Q) &&\;\lor (P \land R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ konjungsi } && \text{ terhadap } && \text{ disjungsi } \\
+&(P &&\;\lor &&(Q \land R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \lor Q) &&\;\land (P \lor R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ disjungsi } && \text{ terhadap } && \text{ konjungsi } \\
+&(P &&\;\land &&(Q \land R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \land Q) &&\;\land (P \land R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ konjungsi } && \text{ terhadap } && \text{ konjungsi } \\
+&(P &&\;\lor &&(Q \lor R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \lor Q) &&\;\lor (P \lor R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ disjungsi } && \text{ terhadap } && \text{ disjungsi } \\
+&(P &&\to &&(Q \to R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \to Q) &&\to (P \to R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ implikasi } && \text{  } && \text{  } \\
+&(P &&\to &&(Q \leftrightarrow R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \to Q) &&\leftrightarrow (P \to R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ implikasi } && \text{ terhadap } && \text{ ekuivalensi } \\
+&(P &&\to &&(Q \land R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \to Q) &&\;\land (P \to R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ implikasi } && \text{ terhadap } && \text{ konjungsi } \\
+&(P &&\;\lor &&(Q \leftrightarrow R)) &&\;\Leftrightarrow\;&& ((P \lor Q) &&\leftrightarrow (P \lor R)) && \quad\text{ Distribusi dari } && \text{ disjungsi } && \text{ terhadap } && \text{ ekuivalensi } \\
+\end{alignat}</math>
+;Distribusi ganda:<math>\begin{align}
+  ((P \land Q) \lor (R \land S)) &\Leftrightarrow (((P \lor R) \land (P \lor S)) \land ((Q \lor R) \land (Q \lor S))) \\
+   ((P \lor Q) \land (R \lor S)) &\Leftrightarrow (((P \land R) \lor (P \land S)) \lor ((Q \land R) \lor (Q \land S)))
+\end{align}</math>
+== Catatan ==
+<references group="C" />
 == Rujukan ==
 {{reflist}}
+== Pranala luar ==
-{{matematika-stub}}
+{{Wiktionary|distributivity}}
+*[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Arithmetic/DistributiveLaw.shtml A demonstration of the Distributive Law] for integer arithmetic (from [[cut-the-knot]])
-[[Kategori:Matematika]]
+[[Kategori:Aljabar abstrak]]
-[[Kategori:Bilangan]]
+[[Kategori:Operasi biner|*Distributivitas]]
-[[Kategori:Perkalian]]
+[[Kategori:Aljabar elementer]]
+[[Kategori:Kaidah inferensi]]
+[[Kategori:Teorema dalam logika proposisional]]