Sistem reaksi-difusi: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 27 September 2022 04.10

model reaksi-difusi adalah model matematika yang mendeskripsikan bagaimana konsentrasi dari satu atau lebih substansi terdistribusi dalam ruang berubah karena pengaruh dua proses: reaksi kimia lokal dimana substansi diubah menjadi yang lain, dan difusi yang menyebabkan substansi menyebar dalam ruang.

Sebagaimana deskripsi ini mengimplikasikan, sistem reaksi-difusi secara alami diterapkan di kimia. Akan tetapi, persamaan reaksi-difusi dapat juga mendeskripsikan proses dinamis non-kimiawi. Contoh-contoh ditemukan di biologi, geologi dan fisika serta ekologi. Secara matematis, sistem reaksi-difusi memiliki bentuk semi-linier persamaan diferensial parsial parabola. Persamaan tersebut dapat direpresentasi dalam bentuk umum

\partial _{t}{\boldsymbol {q}}={\underline {\boldsymbol {D}}}\Delta {\boldsymbol {q}}+{\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {q}}),

dimana masing-masing komponen vektor q(x,t) mewakili konsentrasi dari satu substansi ${\underline {\boldsymbol {D}}}$ adalah matriks diagonal koefisien difusi dan R memperhitungkan seluruh reaksi lokal. Solusi persamaan reaksi-difusi menunjukkan jangkauan yang luas perilaku, mencangkup pembentukan gelombang menjalar dan fenomena seperti-gelombang sebagaimana pembentukan pola organisasi diri yang lain seperti strip, heksagonal atau lebih banyak struktur ruwet seperti soliton disipatif......

Persamaan reaksi-difusi satu komponen

Persamaan reaksi-difusi yang paling sederhana memperlakukan konsentrasi u substansi tunggal dalam satu dimensi ruang,

\partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u),

juga dirujuk sebagai persamaan KPP (Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov).^[1] Jika suku reaksi hilang, maka persamaan menunjukkan proses difusi murni. Persamaan terkait adalah persamaan panas. Pilihan R(u)=u(1-u) menghasilkan persamaan Fisher yang pada awalnya digunakan untuk mendeskripsikan penyebaran populasi biologi,^[2] persamaan Newell-Whitehead-Segel dengan R(u) = u(1-u²) mendeskripsikan konveksi Rayleigh-Benard,^[3]^[4] persamaan Zeldovich yang lebih umum dengan R(u) = u(1-u)(u-α) dan 0<α<1 yang muncul dalam teori pembakaran,^[5] dan kasus degenerasi khususnya dengan R(u) = u²-u³ yang kadang-kadang dirujuk sebagai persamaan Zeldovich.^[6]

Dinamika sistem satu komponen adalah subjek terhadap pembatas tertentu sebagaimana persamaan evolusi dapat juga ditulis dalam bentuk variasional

\partial _{t}u=-{\frac {\delta {\mathfrak {L}}}{\delta u}}

dan oleh karenanya mendeskripsikan penurunan permanen "energi bebas" ${\mathfrak {L}}$ diberikan oleh fungsional

{\mathfrak {L}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left[{\frac {D}{2}}(\partial _{x}u)^{2}+V(u)\right]{\text{d}}x

dengan potensial V(u) sehingga R(u)=dV(u)/du.

Referensi

^ A. Kolmogorov et al, Moscow Univ. Bull. Math. A 1 (1937): 1
^ R. A. Fisher, Ann. Eug. 7 (1937): 355
^ A. C. Newell and J. A. Whitehead, J. Fluid Mech. 38 (1969): 279
^ L. A. Segel, J. Fluid Mech. 38 (1969): 203
^ Y. B. Zeldovich and D. A. Frank-Kamenetsky, Acta Physicochim. 9 (1938): 341
^ B. H. Gilding and R. Kersner, Travelling Waves in Nonlinear Diffusion Convection Reaction, Birkhäuser (2004)

[1] A. Kolmogorov et al, Moscow Univ. Bull. Math. A 1 (1937): 1

[2] R. A. Fisher, Ann. Eug. 7 (1937): 355

[3] A. C. Newell and J. A. Whitehead, J. Fluid Mech. 38 (1969): 279

[4] L. A. Segel, J. Fluid Mech. 38 (1969): 203

[5] Y. B. Zeldovich and D. A. Frank-Kamenetsky, Acta Physicochim. 9 (1938): 341

[6] B. H. Gilding and R. Kersner, Travelling Waves in Nonlinear Diffusion Convection Reaction, Birkhäuser (2004)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-'''Sistem reaksi-difusi''' adalah model matematika yang mendeskripsikan bagaimana konsentrasi dari satu atau lebih substansi terdistribusi dalam ruang berubah karena pengaruh dua proses: [[reaksi kimia]] lokal dimana substansi diubah menjadi yang lain, dan [[difusi]] yang menyebabkan substansi menyebar dalam ruang.
+'''model reaksi-difusi''' adalah model matematika yang mendeskripsikan bagaimana konsentrasi dari satu atau lebih substansi terdistribusi dalam ruang berubah karena pengaruh dua proses: [[reaksi kimia]] lokal dimana substansi diubah menjadi yang lain, dan [[difusi]] yang menyebabkan substansi menyebar dalam ruang.
 Sebagaimana deskripsi ini mengimplikasikan, sistem reaksi-difusi secara alami diterapkan di [[kimia]]. Akan tetapi, persamaan reaksi-difusi dapat juga mendeskripsikan proses dinamis non-kimiawi. Contoh-contoh ditemukan di [[biologi]], [[geologi]] dan [[fisika]] serta [[ekologi]]. Secara matematis, sistem reaksi-difusi memiliki bentuk semi-linier [[persamaan diferensial parsial parabola]]. Persamaan tersebut dapat direpresentasi dalam bentuk umum
@@ Baris 8: / Baris 7: @@
 + \boldsymbol{R}(\boldsymbol{q}), </math>
-dimana masing-masing komponen vektor '''q'''('''x''',''t'') mewakili konsentrasi dari satu substansi <math>\underline{\boldsymbol{D}}</math> adalah [[matriks diagonal]] [[koefisien difusi]] dan '''R''' memperhitungkan seluruh reaksi lokal. Solusi persamaan reaksi-difusi menunjukkan jangkauan yang luas perilaku, mencangkup pembentukan [[gelombang menjalar]] dan fenomena seperti-gelombang sebagaimana [[pembentukan pola]] [[organisasi diri]] yang lain seperti strip, heksagonal atau lebih banyak struktur ruwet seperti [[soliton disipatif]].
+dimana masing-masing komponen vektor '''q'''('''x''',''t'') mewakili konsentrasi dari satu substansi <math>\underline{\boldsymbol{D}}</math> adalah [[matriks diagonal]] [[koefisien difusi]] dan '''R''' memperhitungkan seluruh reaksi lokal. Solusi persamaan reaksi-difusi menunjukkan jangkauan yang luas perilaku, mencangkup pembentukan [[gelombang menjalar]] dan fenomena seperti-gelombang sebagaimana [[pembentukan pola]] [[organisasi diri]] yang lain seperti strip, heksagonal atau lebih banyak struktur ruwet seperti [[soliton disipatif]]......
-==Persamaan reaksi-difusi satu komponen ==
+== Persamaan reaksi-difusi satu komponen ==
 Persamaan reaksi-difusi yang paling sederhana memperlakukan konsentrasi ''u'' substansi tunggal dalam satu dimensi ruang,
@@ Baris 18: / Baris 17: @@
 </math>
-juga dirujuk sebagai persamaan KPP (Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov).
+juga dirujuk sebagai persamaan KPP (Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov).<ref>A. Kolmogorov
+et al, Moscow Univ. Bull. Math. A 1 (1937): 1</ref> Jika suku reaksi hilang, maka persamaan menunjukkan proses difusi murni. Persamaan terkait adalah [[persamaan panas]]. Pilihan ''R''(''u'')=''u''(1-''u'') menghasilkan [[persamaan Fisher]] yang pada awalnya digunakan untuk mendeskripsikan penyebaran [[populasi]] biologi,<ref>R. A. Fisher, Ann.
+Eug. 7 (1937): 355</ref> persamaan Newell-Whitehead-Segel dengan ''R''(''u'') = ''u''(1-''u''²) mendeskripsikan [[konveksi Rayleigh-Benard]],<ref>A. C. Newell and J. A. Whitehead, J. Fluid Mech. 38 (1969): 279</ref><ref>L. A. Segel,
+J. Fluid Mech. 38 (1969): 203</ref> persamaan [[Zeldovich]] yang lebih umum dengan ''R''(''u'') = ''u''(1-''u'')(''u''-''α'') dan 0<''α''<1 yang muncul dalam teori [[pembakaran]],<ref>Y. B. Zeldovich and D. A. Frank-Kamenetsky, Acta Physicochim. 9 (1938): 341</ref> dan kasus degenerasi khususnya dengan ''R''(''u'') = ''u²''-''u³'' yang kadang-kadang dirujuk sebagai persamaan Zeldovich.<ref>B. H. Gilding and R. Kersner, Travelling Waves in Nonlinear Diffusion Convection Reaction, Birkhäuser (2004)</ref>
+Dinamika sistem satu komponen adalah subjek terhadap pembatas tertentu sebagaimana persamaan evolusi dapat juga ditulis dalam bentuk variasional
+:<math>
+\partial_t u=-\frac{\delta\mathfrak L}{\delta u}
+</math>
+dan oleh karenanya mendeskripsikan penurunan permanen "energi bebas" <math>\mathfrak L</math> diberikan oleh fungsional
+:<math> \mathfrak L=\int\limits_{-\infty}^\infty\left[\frac
+D2(\partial_xu)^2+V(u)\right]\text{d}x
+ </math>
+dengan potensial ''V''(''u'') sehingga ''R''(''u'')=d''V''(''u'')/d''u''.
+[[Berkas:Travelling wave for Fisher equation.svg|jmpl|ka|A travelling wave front solution for Fisher's equation.]]
+== Referensi ==
+{{reflist}}
+[[Kategori:Model matematika]]
-== Pustaka ==
-*Reaction-Diffusion System, http://en.wiki-indonesia.club/wiki/Reaction%E2%80%93diffusion_system