Deret pangkat: Perbedaan antara revisi
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
k Perbaikan untuk PW:CW (Fokus: Minor/komestika; 1, 48, 64) + genfixes |
||
(6 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
{{Kalkulus|deret}} |
{{Kalkulus|deret}} |
||
'''Deret pangkat''' (satu variabel) dalam [[matematika]] adalah [[deret tak terhingga]] dalam bentuk |
'''Deret pangkat''' atau '''Deret kuasa''' (satu variabel) dalam [[matematika]] adalah [[deret tak terhingga]] dalam bentuk |
||
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots</math> |
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots</math> |
||
dengan ''a<sub>n</sub>'' melambangkan koefisien suku ke-''n'', ''c'' adalah konstanta dan ''x'' berubah-ubah di sekitar ''c'' (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan ''berpusat'' di ''c''). Deret ini biasanya berupa [[deret Taylor]] dari suatu [[fungsi]]. |
dengan ''a<sub>n</sub>'' melambangkan koefisien suku ke-''n'', ''c'' adalah konstanta dan ''x'' berubah-ubah di sekitar ''c'' (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan ''berpusat'' di ''c''). Deret ini biasanya berupa [[deret Taylor]] dari suatu [[Fungsi (matematika)|fungsi]]. |
||
Pada banyak keadaan ''c'' sama dengan nol, contohnya pada [[ |
Pada banyak keadaan ''c'' sama dengan nol, contohnya pada [[Maclaurin series|deret Maclaurin]]. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana: |
||
::<math> |
::<math> |
||
Baris 15: | Baris 15: | ||
Deret pangkat biasanya ditemukan dalam [[analisis matematika]], tetapi juga dapat ditemukan pada [[kombinatorika]] (dengan nama [[fungsi pembangkit]]), dan pada [[teknik elektro]] (dengan nama [[transformasi Z]]). |
Deret pangkat biasanya ditemukan dalam [[analisis matematika]], tetapi juga dapat ditemukan pada [[kombinatorika]] (dengan nama [[fungsi pembangkit]]), dan pada [[teknik elektro]] (dengan nama [[transformasi Z]]). |
||
[[Berkas:Exp series.gif|ka|jmpl|[[ |
[[Berkas:Exp series.gif|ka|jmpl|[[exponential function|Fungsi eksponensial]] (biru), dan jumlah ''n''+1 elemen pertama dari [[Maclaurin series|deret pangkat Maclaurin]] (merah).]] |
||
== Contoh == |
== Contoh == |
||
Baris 35: | Baris 35: | ||
Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat, misalnya <math>1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots</math> |
Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat, misalnya <math>1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots</math> |
||
tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat (meskipun merupakan suatu [[ |
tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat (meskipun merupakan suatu [[Laurent series|deret Laurent]]). Demikian pula, pangkat pecahan seperti <math>x^{1/2}</math> tidak diizinkan (tetapi lihat [[Puiseux series|deret Puiseux]]). Koefisien-koefisien <math>a_n</math> tidak diizinkan untuk bergantung kepada <math>x</math>, jadi misalnya: |
||
:<math>\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,</math> bukan suatu deret pangkat. |
:<math>\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,</math> bukan suatu deret pangkat. |
||
=== Contoh 1 === |
|||
Cari jari jari konvergensi dan interval konvergensi deret pangkat |
|||
<math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-4)^n}{n}</math>. |
|||
---- |
|||
Pertama, lakukan uji rasio pada fungsi tersebut. |
|||
:<math>\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{f(n+1)}{f(n)} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-4)^{n+1}}{n+1} \div \frac{(x-4)^n}{n} \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n(x-4)}{n+1} \right|. \end{aligned}</math> |
|||
Untuk mengisolasi fungsi <math>x</math>, kita dapat dengan mudah menghapusnya dari limit, karena tidak bergantung pada <math>n</math>: |
|||
:<math>\begin{aligned} L &= \left| x-3\right| \times \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n}{n+1} \right| \\ &= \left| x-3\right| \times 1 \\ &= \left| x-3\right|. \end{aligned}</math> |
|||
Mengingat bahwa <math>L < 1</math> |
|||
agar rangkaian dapat bertemu, haruslah seperti itu <math>\left| x-3 \right| < 1 </math> saat menyatu. Ketika Anda memiliki ekspresi bentuk <math>\left| x + a \right| < r</math> dengan <math>a \in \mathbb{R}a</math> Jari-jari konvergensi adalah nilai ''r''. Jadi, radius konvergensi pada contoh tersebut adalah 1. |
|||
Interval konvergensi, di sisi lain, adalah himpunan dari semua nilai ''x'' yang rangkaiannya konvergen. Menggunakan ketidaksetaraan di atas, pasti begitu |
|||
:<math>\begin{aligned} \left| x-4 \right| &< 1\\ -1 < x-4 &< 1\\ 3 < x &< 5. \end{aligned}</math> |
|||
Namun, ini tidak sesederhana yang terlihat pada pandangan pertama. Kita juga perlu memeriksa nilai batas interval untuk memeriksa apakah rangkaian tersebut menyatu untuk nilai-nilai ini. Sehingga untuk nilai <math>x=3</math>, yaitu |
|||
:<math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3-4)^n}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n},</math> |
|||
yang, menggunakan uji seri bolak-balik, menyatu. Sekarang untuk <math>x=5</math>, |
|||
:<math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(5-4)^n}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1^n}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n},</math> |
|||
yang, sebagai hasil standar, tidak bertemu. Demikianlah Interval konvergensi untuk <math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-4)^n}{n}</math> adalah <math>3 \leq x < 5</math> |
|||
== Jari-jari konvergensi == |
== Jari-jari konvergensi == |
||
Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel ''x'' dan dapat bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat ''f''(''x'') dalam pangkat (''x''-''c'') akan bersifat konvergen pada ''x'' = ''c''. (Nilai yang benar ''f''(''c'') = ''a''<sub>0</sub> membutuhkan penafsiran ekspresi 0<sup>0</sup> sama dengan 1.) Jika ''c'' bukan satu-satunya titik konvergen, maka pasti ada satu bilangan ''r'' di mana 0 < ''r'' ≤ ∞ sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja |''x'' − ''c''| < ''r'' dan divergen bilamana |''x'' − ''c''| > ''r''. Bilangan ''r'' disebut [[ |
Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel ''x'' dan dapat bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat ''f''(''x'') dalam pangkat (''x''-''c'') akan bersifat konvergen pada ''x'' = ''c''. (Nilai yang benar ''f''(''c'') = ''a''<sub>0</sub> membutuhkan penafsiran ekspresi 0<sup>0</sup> sama dengan 1.) Jika ''c'' bukan satu-satunya titik konvergen, maka pasti ada satu bilangan ''r'' di mana 0 < ''r'' ≤ ∞ sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja |''x'' − ''c''| < ''r'' dan divergen bilamana |''x'' − ''c''| > ''r''. Bilangan ''r'' disebut [[radius of convergence|"'''jari-jari konvergensi'''" ("''radius of convergence''")]] suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai: |
||
:<math>r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}</math> |
:<math>r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}</math> |
||
Baris 75: | Baris 103: | ||
:<math> = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.</math> |
:<math> = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.</math> |
||
Urutan <math>m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}</math> dikenal sebagai [[ |
Urutan <math>m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}</math> dikenal sebagai [[convolution|konvolusi]] urutan <math>a_n</math> dan <math>b_n</math>. |
||
Untuk pembagian, perhatikan: |
Untuk pembagian, perhatikan: |
||
Baris 86: | Baris 114: | ||
=== Diferensiasi dan integrasi === |
=== Diferensiasi dan integrasi === |
||
Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu [[derivatif|dapat dihitung diferensialnya]] pada [[ |
Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu [[derivatif|dapat dihitung diferensialnya]] pada [[interior (topology)|interior]] ranah konvergensi. Dapat dihitung [[derivatif|diferensial]] dan [[integral]] dengan mudah dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah: |
||
::<math> |
::<math> |
||
Baris 100: | Baris 128: | ||
== Fungsi analitik == |
== Fungsi analitik == |
||
Sebuah fungsi ''f'' didefinisikan pada sejumlah [[ |
Sebuah fungsi ''f'' didefinisikan pada sejumlah [[open set|subset terbuka]] ''U'' dari '''R''' atau '''C''' disebut '''analitik''' jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap ''a'' ∈ ''U'' mempunyai [[neighborhood (topology)|''neighborhood'']] terbuka ''V'' ⊆ ''U'', sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat ''a'' yang konvergen ke ''f''(''x'') untuk setiap ''x'' ∈ ''V''. |
||
<!-- |
<!-- |
||
Every power series with a positive radius of convergence is analytic on the [[topological interior|interior]] of its region of convergence. All [[holomorphic function]]s are complex-analytic. Sums and products of analytic functions are analytic, as are quotients as long as the denominator is non-zero. |
Every power series with a positive radius of convergence is analytic on the [[topological interior|interior]] of its region of convergence. All [[holomorphic function]]s are complex-analytic. Sums and products of analytic functions are analytic, as are quotients as long as the denominator is non-zero. |
||
Baris 120: | Baris 148: | ||
== Deret pangkat formal == |
== Deret pangkat formal == |
||
<!--{{main|Formal power series}}--> |
<!--{{main|Formal power series}}--> |
||
Dalam [[ |
Dalam [[abstract algebra|aljabar abstrak]], diupayakan untuk menangkap makna deret pangkat tanpa dibatasi pada [[field (mathematics)|bidang]] bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep [[formal power series|deret pangkat formal]], suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam [[algebraic combinatorics|kombinatorika aljabar]]. |
||
== Deret pangkat dalam beberapa variabel == |
== Deret pangkat dalam beberapa variabel == |
||
Suatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan [[ |
Suatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan [[multivariable calculus|kalkulus multivariabel]]. '''Deret pangkat''' di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk |
||
::<math> |
::<math> |
||
Baris 139: | Baris 167: | ||
--> |
--> |
||
== Tingkatan deret pangkat == |
== Tingkatan deret pangkat == |
||
Misalkan α adalah suatu multi-indeks untuk deret pangkat''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>). '''Tingkatan''' (''order'') dari deret pangkat ''f'' didefinisikan sebagai nilai terkecil |α| sedemikian sehingga ''a''<sub>α</sub> ≠ 0, atau 0 jika ''f'' ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat ''f''(''x'') dalam variabel tunggal ''x'', tingkatan ''f'' adalah pangkat terkecil dari ''x'' dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini mudah dikembangkan ke [[ |
Misalkan α adalah suatu multi-indeks untuk deret pangkat''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>). '''Tingkatan''' (''order'') dari deret pangkat ''f'' didefinisikan sebagai nilai terkecil |α| sedemikian sehingga ''a''<sub>α</sub> ≠ 0, atau 0 jika ''f'' ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat ''f''(''x'') dalam variabel tunggal ''x'', tingkatan ''f'' adalah pangkat terkecil dari ''x'' dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini mudah dikembangkan ke [[Laurent series|deret Laurent]]. |
||
== Lihat pula == |
== Lihat pula == |
||
* [[Deret (matematika)]] |
* [[Deret (matematika)]] |
||
* [[Deret Taylor]] |
|||
<!--* [[Flat function]] |
<!--* [[Flat function]] |
||
* [[Linear approximation]] |
* [[Linear approximation]] |
||
Baris 155: | Baris 184: | ||
* {{MathWorld | urlname= PowerSeries | title= Power Series }} |
* {{MathWorld | urlname= PowerSeries | title= Power Series }} |
||
* {{en}}[http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexPowerSeriesMod.html Modul deret pangkat kompleks oleh John H. Mathews] |
* {{en}}[http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexPowerSeriesMod.html Modul deret pangkat kompleks oleh John H. Mathews] |
||
* {{en}}[http://demonstrations.wolfram.com/PowersOfComplexNumbers/ Pangkat bilangan kompleks] oleh Michael Schreiber, [[ |
* {{en}}[http://demonstrations.wolfram.com/PowersOfComplexNumbers/ Pangkat bilangan kompleks] oleh Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]]. |
||
{{Authority control}} |
|||
[[Kategori:Matematika]] |
[[Kategori:Matematika]] |
Revisi terkini sejak 13 November 2022 03.10
Kalkulus |
---|
Deret pangkat atau Deret kuasa (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk
dengan an melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.
Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:
Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).
Contoh
[sunting | sunting sumber]Setiap polinomial dapat diekspresikan dengan mudah sebagai sebuah deret pangkat di sekitar pusat c, meskipun kebanyakan koefisien akan sama dengan nol karena suatu deret pangkat mempunyai elemen yang tak terhingga banyaknya menurut definisi. Misalnya, polinomial dapat ditulis sebagai suatu deret pangkat sekitar pusat sebagai
atau sekitar pusat sebagai
atau sesungguhnya sekitar pusat c manapun.[1] Deret pangkat dapat dipandang seperti "polinomials dengan derajat tak terhingga," meskipun deret pangkat bukanlah polinomial.
Rumus deret geometri
valid untuk , merupakan salah satu contoh paling penting untuk deret pangkat, sebagaimana rumus fungsi eksponensial
dan rumus sinus
valid untuk semua bilangan real x.
Semua deret pangkat ini juga merupakan contoh untuk deret Taylor.
Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat, misalnya tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat (meskipun merupakan suatu deret Laurent). Demikian pula, pangkat pecahan seperti tidak diizinkan (tetapi lihat deret Puiseux). Koefisien-koefisien tidak diizinkan untuk bergantung kepada , jadi misalnya:
- bukan suatu deret pangkat.
Contoh 1
[sunting | sunting sumber]Cari jari jari konvergensi dan interval konvergensi deret pangkat .
Pertama, lakukan uji rasio pada fungsi tersebut.
Untuk mengisolasi fungsi , kita dapat dengan mudah menghapusnya dari limit, karena tidak bergantung pada :
Mengingat bahwa agar rangkaian dapat bertemu, haruslah seperti itu saat menyatu. Ketika Anda memiliki ekspresi bentuk dengan Jari-jari konvergensi adalah nilai r. Jadi, radius konvergensi pada contoh tersebut adalah 1.
Interval konvergensi, di sisi lain, adalah himpunan dari semua nilai x yang rangkaiannya konvergen. Menggunakan ketidaksetaraan di atas, pasti begitu
Namun, ini tidak sesederhana yang terlihat pada pandangan pertama. Kita juga perlu memeriksa nilai batas interval untuk memeriksa apakah rangkaian tersebut menyatu untuk nilai-nilai ini. Sehingga untuk nilai , yaitu
yang, menggunakan uji seri bolak-balik, menyatu. Sekarang untuk ,
yang, sebagai hasil standar, tidak bertemu. Demikianlah Interval konvergensi untuk adalah
Jari-jari konvergensi
[sunting | sunting sumber]Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel x dan dapat bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat f(x) dalam pangkat (x-c) akan bersifat konvergen pada x = c. (Nilai yang benar f(c) = a0 membutuhkan penafsiran ekspresi 00 sama dengan 1.) Jika c bukan satu-satunya titik konvergen, maka pasti ada satu bilangan r di mana 0 < r ≤ ∞ sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja |x − c| < r dan divergen bilamana |x − c| > r. Bilangan r disebut "jari-jari konvergensi" ("radius of convergence") suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai:
atau, secara ekuivalen,
Operasi pada deret pangkat
[sunting | sunting sumber]Penjumlahan dan pengurangan
[sunting | sunting sumber]Bilamana dua fungsi f dan g didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat c yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu dapat dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:
maka
Perkalian dan pembagian
[sunting | sunting sumber]Dengan definisi yang sama seperti di atas, hasil kali dan hasil bagi deret pangkat dari kedua fungsi itu dapat diperoleh sebagai berikut:
Urutan dikenal sebagai konvolusi urutan dan .
Untuk pembagian, perhatikan:
dan kemudian gunakan koefisien-koefisien pembanding di atas.
Diferensiasi dan integrasi
[sunting | sunting sumber]Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu dapat dihitung diferensialnya pada interior ranah konvergensi. Dapat dihitung diferensial dan integral dengan mudah dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah:
Kedua deret ini memiliki jari-jari konvergensi yang sama dengan deret asalnya.
Fungsi analitik
[sunting | sunting sumber]Sebuah fungsi f didefinisikan pada sejumlah subset terbuka U dari R atau C disebut analitik jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap a ∈ U mempunyai neighborhood terbuka V ⊆ U, sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat a yang konvergen ke f(x) untuk setiap x ∈ V.
Deret pangkat formal
[sunting | sunting sumber]Dalam aljabar abstrak, diupayakan untuk menangkap makna deret pangkat tanpa dibatasi pada bidang bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep deret pangkat formal, suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam kombinatorika aljabar.
Deret pangkat dalam beberapa variabel
[sunting | sunting sumber]Suatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan kalkulus multivariabel. Deret pangkat di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk
di mana j = (j1, ..., jn) adalah vektor bilangan asli; koefisien a(j1,...,jn) biasanya adalah bilangan real atau kompleks, dan pusat c = (c1, ..., cn) serta argumen x = (x1, ..., xn) biasanya adalah vektor real atau kompleks. Notasi multi-index yang lebih sederhana dapat ditulis
Tingkatan deret pangkat
[sunting | sunting sumber]Misalkan α adalah suatu multi-indeks untuk deret pangkatf(x1, x2, …, xn). Tingkatan (order) dari deret pangkat f didefinisikan sebagai nilai terkecil |α| sedemikian sehingga aα ≠ 0, atau 0 jika f ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat f(x) dalam variabel tunggal x, tingkatan f adalah pangkat terkecil dari x dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini mudah dikembangkan ke deret Laurent.
Lihat pula
[sunting | sunting sumber]Referensi
[sunting | sunting sumber]- ^ Howard Levi (1967). Polynomials, Power Series, and Calculus. Van Nostrand. hlm. 24.
Pranala luar
[sunting | sunting sumber]- Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Power series", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- (Inggris) Weisstein, Eric W. "Formal Power Series". MathWorld.
- (Inggris) Weisstein, Eric W. "Power Series". MathWorld.
- (Inggris)Modul deret pangkat kompleks oleh John H. Mathews
- (Inggris)Pangkat bilangan kompleks oleh Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.