Rata-rata: Perbedaan antara revisi
Tidak ada ringkasan suntingan |
k clean up |
||
(36 revisi perantara oleh 10 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
{{Redirect|Mean|lagu Taylor Swift|Mean (lagu)}} |
{{Redirect|Rata-rata dan Mean|lagu Taylor Swift|Mean (lagu)}} |
||
{{Wikifikasi}} |
|||
rata-rata adalah suatu bilangan yang mewakili sekumpulan data. |
|||
'''Rata-rata''' adalah suatu bilangan yang mewakili sekumpulan data. |
|||
Dalam [[statistika]], '''rata-rata''', '''rerata''', atau '''rataan''' ([[Bahasa Inggris]]: ''mean'') memiliki tiga arti yang berkaitan: |
|||
* [[Rataan aritmetik]], pengertian yang paling umum dikenal awam, |
|||
* [[nilai harapan]] dari suatu [[peubah acak]], dan |
|||
* [[ukuran pemusatan data|ukuran pemusatan]] dari suatu [[sebaran probabilitas]]. |
|||
Dalam [[statistika]], '''rata-rata''', '''rerata''', atau '''rataan''' ({{Lang-en|mean, average}}) memiliki tiga arti yang berkaitan: |
|||
Rerata merupakan salah satu konsep sentral dalam statistika matematis dan, bersama dengan [[varians]], menjadi bagian penting dalam berbagai penurunan berbagai metode statistika. |
|||
* [[Rataan aritmetik]], pengertian yang paling umum dikenal awam. |
|||
* [[Nilai harapan]] dari suatu [[pengubah acak]]. |
|||
* [[ukuran pemusatan data|Ukuran pemusatan]] dari suatu [[sebaran probabilitas]]. |
|||
Rerata merupakan salah satu [[konsep]] sentral dalam statistika matematis. Selain itu, [[varian]]<nowiki/>menjadi bagian penting dalam berbagai penurunan berbagai metode [[statistika]]. |
|||
Dipandang dari sisi matematis, rerata adalah [[momen (statistika)|momen]] pertama dari suatu peubah acak. Momen pertama mengenai rerata dari suatu peubah acak disebut ''simpangan'' (deviasi). |
|||
Dipandang dari sisi matematis, rerata adalah [[momen (statistika)|momen]] pertama dari suatu peubah acak. |
|||
Momen pertama mengenai rerata dari suatu peubah acak disebut ''simpangan'' (deviasi). Itu bukan tidak rata rata. |
|||
== Rataan aritmetik == |
== Rataan aritmetik == |
||
{{utama|Rataan aritmetik}} |
{{utama|Rataan aritmetik}} |
||
Pengertian sebagai rataan aritmetik bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''X'', |
Pengertian sebagai rataan [[Aritmetika|aritmetik]] bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''X'', |
||
* untuk data tunggal |
* untuk data tunggal |
||
:<math>X = \frac{\sum_{i=1}^n{x_i}}{n} |
:<math>X = \frac{\sum_{i=1}^n{x_i}}{n}</math> |
||
atau "jumlah data dibagi banyak data". |
atau "jumlah data dibagi banyak data". |
||
: keterangan: |
: keterangan: |
||
* |
* X: rata-rata aritmetik |
||
* n: banyaknya data |
* n: banyaknya data |
||
* x_i: nilai data ke-i |
* x_i: nilai data ke-i |
||
Contoh: |
Contoh: |
||
* |
* Sehimpunan peubah acak bernilai 3, 2, dan 4. Berapa rataan aritmetik? |
||
:<math>X = \frac{3+2+4}{3} = 3.</math> |
:<math>X = \frac{3+2+4}{3} = 3.</math> |
||
* untuk data berkelompok |
* untuk data berkelompok |
||
:<math>X = \frac{\sum_{i=1}^k{f_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^k{f_i}} |
:<math>X = \frac{\sum_{i=1}^k{f_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^k{f_i}}</math> |
||
: keterangan: |
: keterangan: |
||
* |
* X: rata-rata aritmetik |
||
* k |
* k: banyaknya kelas interval |
||
* f_i |
* f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i |
||
* x_i |
* x_i: titik tengah kelas interval ke-i |
||
Contoh: |
Contoh: |
||
Baris 50: | Baris 54: | ||
| 41–60 || 7 |
| 41–60 || 7 |
||
|- |
|- |
||
| |
| 61–80 || 6 |
||
|- |
|- |
||
| |
| 81–100 || 5 |
||
|} |
|} |
||
Berapa nilai rataan aritmetik? |
Berapa nilai rataan aritmetik? |
||
: |
: |
||
{class="wikitable" |
{|class="wikitable" |
||
|+ |
|+ |
||
|- |
|- |
||
Baris 67: | Baris 71: | ||
| 41–60 || 7 || 50 || 350 |
| 41–60 || 7 || 50 || 350 |
||
|- |
|- |
||
| |
| 61–80 || 6 || 70 || 420 |
||
|- |
|- |
||
| |
| 81–100 || 5 || 90 || 450 |
||
|- |
|- |
||
| Total || 25 || || 1,390 |
| Total || 25 || || 1,390 |
||
|} |
|} |
||
<math>X = \frac{1,390}{25} = 55.6</math> |
<math>X = \frac{1,390}{25} = 55.6.</math> |
||
== Rataan kuadratik == |
== Rataan kuadratik == |
||
{{utama|Rataan kuadratik}} |
{{utama|Rataan kuadratik}} |
||
Pengertian sebagai rataan kuadratik bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''Q'', |
Pengertian sebagai [[rataan kuadratik]] bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''Q'', |
||
* untuk data tunggal |
* untuk data tunggal |
||
Baris 84: | Baris 88: | ||
: keterangan: |
: keterangan: |
||
* |
* X: rata-rata kuadratik |
||
* n: banyaknya data |
* n: banyaknya data |
||
* x_i: nilai data ke-i |
* x_i: nilai data ke-i |
||
Contoh: |
Contoh: |
||
* |
* Sehimpunan peubah acak bernilai 5, 2, dan 4. Berapa rataan kuadratik? |
||
:<math>X = \sqrt{\frac{5^2+2^2+4^2}{3}} = \sqrt{\frac{45}{3}} = \sqrt{15} = 3,87.</math> |
:<math>X = \sqrt{\frac{5^2+2^2+4^2}{3}} = \sqrt{\frac{45}{3}} = \sqrt{15} = 3,87.</math> |
||
Baris 96: | Baris 100: | ||
* untuk data berkelompok |
* untuk data berkelompok |
||
:<math>X = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^k{f_i \cdot x_i^2}}{\sum_{i=1}^k{f_i}}} |
:<math>X = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^k{f_i \cdot x_i^2}}{\sum_{i=1}^k{f_i}}}</math> |
||
: keterangan: |
|||
* X: rata-rata kuadratik |
|||
* k: banyaknya kelas interval |
|||
* f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i |
|||
* x_i: titik tengah kelas interval ke-i |
|||
Contoh: |
Contoh: |
||
Baris 111: | Baris 121: | ||
| 41–60 || 7 |
| 41–60 || 7 |
||
|- |
|- |
||
| |
| 61–80 || 6 |
||
|- |
|- |
||
| |
| 81–100 || 5 |
||
|} |
|} |
||
Berapa nilai rataan |
Berapa nilai rataan kuadratik? |
||
: |
: |
||
{class="wikitable" |
{|class="wikitable" |
||
|+ |
|+ |
||
|- |
|- |
||
! Nilai !! Jumlah murid<br>{{small|a}} !! Nilai tengah<br>{{small|b}} !! b<sup>2</sup> !! a x b< |
! Nilai !! Jumlah murid<br>{{small|a}} !! Nilai tengah<br>{{small|b}} !! b<sup>2</sup> !! a x b<sup>2</sup> |
||
|- |
|- |
||
| 1–20 || 2 || 10 || 100 || 200 |
| 1–20 || 2 || 10 || 100 || 200 |
||
Baris 128: | Baris 138: | ||
| 41–60 || 7 || 50 || 2,500 || 17,500 |
| 41–60 || 7 || 50 || 2,500 || 17,500 |
||
|- |
|- |
||
| |
| 61–80 || 6 || 70 || 4,900 || 29,400 |
||
|- |
|- |
||
| |
| 81–100 || 5 || 90 || 8,100 || 40,500 |
||
|- |
|- |
||
| Total || 25 || || || 92,100 |
| Total || 25 || || || 92,100 |
||
|} |
|} |
||
<math>X = \sqrt{\frac{92,100}{25}} = \sqrt{3,684} = 60.7</math> |
<math>X = \sqrt{\frac{92,100}{25}} = \sqrt{3,684} = 60.7.</math> |
||
: keterangan: |
: keterangan: |
||
* |
* X: rata-rata kuadratik |
||
* k |
* k: banyaknya kelas interval |
||
* f_i |
* f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i |
||
* x_i |
* x_i: titik tengah kelas interval ke-i |
||
== Rataan gabungan == |
== Rataan gabungan == |
||
Baris 146: | Baris 156: | ||
Pengertian sebagai rataan gabungan bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''X'', |
Pengertian sebagai rataan gabungan bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''X'', |
||
:<math>X = \frac{\sum_{i=1}^k{n_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^k{n_i}} |
:<math>X = \frac{\sum_{i=1}^k{n_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^k{n_i}}</math> |
||
: keterangan: |
: keterangan: |
||
* Q: rata-rata gabungan |
* Q: rata-rata gabungan |
||
* i |
* i: banyaknya nilai |
||
* n_i |
* n_i: nilai data ke-i |
||
* x_i |
* x_i: rerata ke-i |
||
Contoh: |
Contoh: |
||
Baris 160: | Baris 170: | ||
untuk melihat perbandingan rataan aritmetik yaitu: |
untuk melihat perbandingan rataan aritmetik yaitu: |
||
:<math>X = \frac{63+62+64}{3} = 63.</math> |
:<math>X = \frac{63+62+64}{3} = 63.</math> |
||
== Rataan terbobot == |
|||
{{utama|Rataan terbobot}} |
|||
Pengertian sebagai [[rataan terbobot]] bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''X'', |
|||
:<math>X = \frac{\sum_{i=1}^k{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^k{w_i}}</math> |
|||
: keterangan: |
|||
* Q: rata-rata terbobot |
|||
* i: banyaknya nilai |
|||
* w_i: bobot data ke-i |
|||
* x_i: rerata ke-i |
|||
Contoh: |
|||
* Sistem penilaian matematika yaitu 50 poin ujian, 30 poin ulangan harian serta 20 poin tugas. Seorang siswa memperoleh nilai sebagai berikut ujian 87, ulangan harian 86 serta tugas 92. Berapa jumlah nilai matematika yang diperolehnya? |
|||
:<math>X = \frac{87 \cdot 50 + 86 \cdot 30 + 92 \cdot 20}{50+30+20} = \frac{8,760}{100} = 87.6.</math> |
|||
untuk melihat perbandingan rataan aritmetik yaitu: |
|||
:<math>X = \frac{87+86+92}{3} = 88.33.</math> |
|||
== Rataan geometrik == |
|||
{{utama|Rataan geometrik}} |
|||
Pengertian sebagai rataan geometrik bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''X'', |
|||
* untuk data tunggal |
|||
:<math>G = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}}</math> |
|||
atau "jumlah data diakar banyak data". |
|||
atau |
|||
:<math>log G = \frac{\sum_{i=1}^n{log x_i}}{n}</math> |
|||
atau "log dari jumlah data dibagi banyak data". |
|||
: keterangan: |
|||
* G: rata-rata geometrik |
|||
* n: banyaknya datai |
|||
* x_i: nilai data ke-i |
|||
Contoh: |
|||
* Sehimpunan peubah acak bernilai 3, 2, dan 4. Berapa rataan geometrik? |
|||
:<math>G = \sqrt[3]{3 \cdot 2 \cdot 4} = \sqrt[3]{24} = 2.88.</math> |
|||
atau |
|||
:<math>log G = \frac{log 3 + log 2 + log 4}{3} = \frac{1.38}{3} = 0.46</math> |
|||
:<math>G = 10^{0.46} = 2.88.</math> |
|||
* untuk data berkelompok |
|||
:<math>G = \sqrt[\sum{i=1}^k{f_i}]{\prod_{i=1}^k{x_i}^{f_i}}</math> |
|||
atau |
|||
:<math>log G = \frac{\sum_{i=1}^k{f_i \cdot log x_i}}{\sum_{i=1}^k{f_i}} </math> |
|||
: keterangan: |
|||
* G: rata-rata geometrik |
|||
* k: banyaknya kelas interval |
|||
* f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i |
|||
* x_i: titik tengah kelas interval ke-i |
|||
Contoh: |
|||
* Perhatikan nilai data siswa kelas X sebagai berikut: |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|+ Nilai data siswa kelas X |
|||
|- |
|||
! Nilai !! Jumlah murid |
|||
|- |
|||
| 1–20 || 2 |
|||
|- |
|||
| 21–40 || 5 |
|||
|- |
|||
| 41–60 || 7 |
|||
|- |
|||
| 61–80 || 6 |
|||
|- |
|||
| 81–100 || 5 |
|||
|} |
|||
Berapa nilai rataan geometrik? |
|||
: |
|||
{|class="wikitable" |
|||
|+ |
|||
|- |
|||
! Nilai !! Jumlah murid<br>{{small|a}} !! Nilai tengah<br>{{small|b}} !! log b !! a x log b |
|||
|- |
|||
| 1–20 || 2 || 10 || 1 || 2 |
|||
|- |
|||
| 21–40 || 5 || 30 || 1.477 || 7.385 |
|||
|- |
|||
| 41–60 || 7 || 50 || 1.699 || 11,893 |
|||
|- |
|||
| 61–80 || 6 || 70 || 1.845 || 11.07 |
|||
|- |
|||
| 81–100 || 5 || 90 || 1.954 || 9.77 |
|||
|- |
|||
| Total || 25 || || || 42.118 |
|||
|} |
|||
:<math>log G = \frac{42.118}{25} = 1.68</math> |
|||
:<math>G = 10^{1.68} = 47.86.</math> |
|||
== Rataan harmonik == |
|||
{{utama|Rataan harmonik}} |
|||
Pengertian sebagai rataan harmonik bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi [[peubah acak]] bernilai nyata ''X'', |
|||
* untuk data tunggal |
|||
:<math>H = \frac{n}{\sum_{i=1}^n{\frac{1}{x_i}}}</math> |
|||
atau "jumlah data dibagi banyak data". |
|||
: keterangan: |
|||
* H: rata-rata harmonik |
|||
* n: banyaknya data |
|||
* x_i: nilai data ke-i |
|||
Contoh: |
|||
* Sehimpunan peubah acak bernilai 3, 2, dan 4. Berapa rataan harmonik? |
|||
:<math>H = \frac{3}{\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{3}{1.08} = 2.78.</math> |
|||
* untuk data berkelompok |
|||
:<math>H = \frac{\sum_{i=1}^k{f_i}}{\sum_{i=1}^k{\frac{f_i}{x_i}}}</math> |
|||
: keterangan: |
|||
* H: rata-rata harmonik |
|||
* k: banyaknya kelas interval |
|||
* f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i |
|||
* x_i: titik tengah kelas interval ke-i |
|||
Contoh: |
|||
* Perhatikan nilai data siswa kelas X sebagai berikut: |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|+ Nilai data siswa kelas X |
|||
|- |
|||
! Nilai !! Jumlah murid |
|||
|- |
|||
| 1–20 || 2 |
|||
|- |
|||
| 21–40 || 5 |
|||
|- |
|||
| 41–60 || 7 |
|||
|- |
|||
| 61–80 || 6 |
|||
|- |
|||
| 81–100 || 5 |
|||
|} |
|||
Berapa nilai rataan harmonik? |
|||
: |
|||
{|class="wikitable" |
|||
|+ |
|||
|- |
|||
! Nilai !! Jumlah murid<br>{{small|a}} !! Nilai tengah<br>{{small|b}} !! a/b |
|||
|- |
|||
| 1–20 || 2 || 10 || 0.2 |
|||
|- |
|||
| 21–40 || 5 || 30 || 0.17 |
|||
|- |
|||
| 41–60 || 7 || 50 || 0.14 |
|||
|- |
|||
| 61–80 || 6 || 70 || 0.09 |
|||
|- |
|||
| 81–100 || 5 || 90 || 0.056 |
|||
|- |
|||
| Total || 25 || || 0.656 |
|||
|} |
|||
<math>H = \frac{25}{0.656} = 38.11.</math> |
|||
Dari tiga jenis rataan yaitu aritmetik, geometrik dan harmonik maka urutan nilai rataan paling kecil adalah harmonik, geometrik dan aritmetik. |
|||
<!-- |
<!-- |
||
Pengertian sebagai nilai harapan bersifat konseptual, dalam kaitan dengan hubungan antara nilai [[statistik]] dari [[sampel]]/cuplikan data dengan [[parameter (statistika)|parameter]] dari suatu [[populasi (statistika)|populasi]] yang diduganya. Rerata sebagai ukuran pemusatan data menjadi penciri (karakteristik) bagi suatu sebaran probabilitas tertentu dan bersifat formulatif. |
Pengertian sebagai nilai harapan bersifat konseptual, dalam kaitan dengan hubungan antara nilai [[statistik]] dari [[sampel]]/cuplikan data dengan [[parameter (statistika)|parameter]] dari suatu [[populasi (statistika)|populasi]] yang diduganya. Rerata sebagai ukuran pemusatan data menjadi penciri (karakteristik) bagi suatu sebaran probabilitas tertentu dan bersifat formulatif. |
||
ekspektasi dari ''X''. Jika ekspektasi tidak ada, maka peubah acak tersebut tidak memiliki rata-rata. Setiap [[distribusi probabilitas]] memiliki rata-rata dan [[varians]]. |
ekspektasi dari ''X''. Jika ekspektasi tidak ada, maka peubah acak tersebut tidak memiliki rata-rata. Setiap [[distribusi probabilitas]] memiliki rata-rata dan [[varians]]. |
||
Untuk kumpulan data, rata-rata adalah jumlah keseluruhan pengamatan dibagi dengan jumlah pengamatan. Setelah itu biasanya dihitung [[simpangan baku]] (deviasi standar) untuk menggambarkan bagaimana data-data tersebut tersebar. Simpangan baku diperoleh dari akar kuadrat rata-rata simpangan data dari rata-rata yang dikuadratkan.--><!-- |
Untuk kumpulan data, rata-rata adalah jumlah keseluruhan pengamatan dibagi dengan jumlah pengamatan. Setelah itu biasanya dihitung [[simpangan baku]] (deviasi standar) untuk menggambarkan bagaimana data-data tersebut tersebar. Simpangan baku diperoleh dari akar kuadrat rata-rata simpangan data dari rata-rata yang dikuadratkan.--><!-- |
||
Baris 199: | Baris 373: | ||
==Harmonic mean== |
==Harmonic mean== |
||
The [[harmonic mean]] is an average which is useful for sets of numbers which are defined in relation to some [[unit]], for example [[speed]] (distance per unit of time). |
The [[harmonic mean]] is an average which is useful for sets of numbers which are defined in relation to some [[unit]], for example [[speed]] (distance per unit of time). |
||
:<math> \bar{x} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} </math> |
:<math> \bar{x} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} </math> |
||
Baris 229: | Baris 403: | ||
:<math> \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n {w_i}} </math> |
:<math> \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n {w_i}} </math> |
||
The weights <math>w_i</math> represent the bounds of the partial sample. In other applications they represent a measure for the reliability of the influence upon the mean by respective values. |
The weights <math>w_i</math> represent the bounds of the partial sample. In other applications they represent a measure for the reliability of the influence upon the mean by respective values. |
||
==Truncated mean== |
==Truncated mean== |
||
Baris 237: | Baris 411: | ||
The [[interquartile mean]] is a specific example of a truncated mean. It is simply the arithmetic mean after removing the lowest and the highest quarter of values. |
The [[interquartile mean]] is a specific example of a truncated mean. It is simply the arithmetic mean after removing the lowest and the highest quarter of values. |
||
:<math> \bar{x} = {2 \over n} \sum_{i=(n/4)+1}^{3n/4}{x_i} </math> |
:<math> \bar{x} = {2 \over n} \sum_{i=(n/4)+1}^{3n/4}{x_i} </math> |
||
assuming the values have been ordered.--> |
assuming the values have been ordered. |
||
--> |
|||
== Rata-rata fungsi == |
== Rata-rata fungsi == |
||
Baris 246: | Baris 421: | ||
== Rata-rata lainnya == |
== Rata-rata lainnya == |
||
* [[Rataan aritmetik]] |
|||
* [[Rataan aritmetik-geometrik]] |
* [[Rataan aritmetik-geometrik]] |
||
* [[Rataan aritmetik-harmonik]] |
* [[Rataan aritmetik-harmonik]] |
||
* [[Rataan Cesàro]] |
* [[Rataan Cesàro]] |
||
* [[Rataan Chisini]] |
* [[Rataan Chisini]] |
||
* [[Rataan fungsi]] |
|||
* [[Rataan gabungan]] |
|||
* [[Rataan geometrik]] |
|||
* [[Rataan geometrik-harmonik]] |
* [[Rataan geometrik-harmonik]] |
||
* [[Rataan harmonik]] |
|||
* [[Rataan Heronian]] |
* [[Rataan Heronian]] |
||
* [[Rataan identrik]] |
* [[Rataan identrik]] |
||
* [[Rataan Lehmer]] |
* [[Rataan Lehmer]] |
||
* [[Rataan kuadratik]] |
|||
* [[Rataan Stolarsky]] |
* [[Rataan Stolarsky]] |
||
* [[Rataan tertimbang]] |
|||
* [[Entropi Rényi's]] |
* [[Entropi Rényi's]] |
||
Baris 275: | Baris 443: | ||
== Pranala luar == |
== Pranala luar == |
||
* [http://www.sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm Perbandingan antara rataan aritmetik dan rataan geometrik] |
* [http://www.sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm Perbandingan antara rataan aritmetik dan rataan geometrik] |
||
{{stat-stub}} |
|||
[[Kategori:Statistika]] |
[[Kategori:Statistika]] |
||
{{stat-stub}} |
Revisi terkini sejak 17 Desember 2022 23.41
Artikel ini perlu diwikifikasi agar memenuhi standar kualitas Wikipedia. Anda dapat memberikan bantuan berupa penambahan pranala dalam, atau dengan merapikan tata letak dari artikel ini.
Untuk keterangan lebih lanjut, klik [tampil] di bagian kanan.
|
Rata-rata adalah suatu bilangan yang mewakili sekumpulan data.
Dalam statistika, rata-rata, rerata, atau rataan (bahasa Inggris: mean, average) memiliki tiga arti yang berkaitan:
- Rataan aritmetik, pengertian yang paling umum dikenal awam.
- Nilai harapan dari suatu pengubah acak.
- Ukuran pemusatan dari suatu sebaran probabilitas.
Rerata merupakan salah satu konsep sentral dalam statistika matematis. Selain itu, varianmenjadi bagian penting dalam berbagai penurunan berbagai metode statistika.
Dipandang dari sisi matematis, rerata adalah momen pertama dari suatu peubah acak.
Momen pertama mengenai rerata dari suatu peubah acak disebut simpangan (deviasi). Itu bukan tidak rata rata.
Rataan aritmetik
[sunting | sunting sumber]Pengertian sebagai rataan aritmetik bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi peubah acak bernilai nyata X,
- untuk data tunggal
atau "jumlah data dibagi banyak data".
- keterangan:
- X: rata-rata aritmetik
- n: banyaknya data
- x_i: nilai data ke-i
Contoh:
- Sehimpunan peubah acak bernilai 3, 2, dan 4. Berapa rataan aritmetik?
- untuk data berkelompok
- keterangan:
- X: rata-rata aritmetik
- k: banyaknya kelas interval
- f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i
- x_i: titik tengah kelas interval ke-i
Contoh:
- Perhatikan nilai data siswa kelas X sebagai berikut:
Nilai | Jumlah murid |
---|---|
1–20 | 2 |
21–40 | 5 |
41–60 | 7 |
61–80 | 6 |
81–100 | 5 |
Berapa nilai rataan aritmetik?
Nilai | Jumlah murid a |
Nilai tengah b |
a x b |
---|---|---|---|
1–20 | 2 | 10 | 20 |
21–40 | 5 | 30 | 150 |
41–60 | 7 | 50 | 350 |
61–80 | 6 | 70 | 420 |
81–100 | 5 | 90 | 450 |
Total | 25 | 1,390 |
Rataan kuadratik
[sunting | sunting sumber]Pengertian sebagai rataan kuadratik bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi peubah acak bernilai nyata Q,
- untuk data tunggal
atau "jumlah data dibagi banyak data".
- keterangan:
- X: rata-rata kuadratik
- n: banyaknya data
- x_i: nilai data ke-i
Contoh:
- Sehimpunan peubah acak bernilai 5, 2, dan 4. Berapa rataan kuadratik?
untuk melihat perbandingan rataan aritmetik yaitu:
- untuk data berkelompok
- keterangan:
- X: rata-rata kuadratik
- k: banyaknya kelas interval
- f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i
- x_i: titik tengah kelas interval ke-i
Contoh:
- Perhatikan nilai data siswa kelas X sebagai berikut:
Nilai | Jumlah murid |
---|---|
1–20 | 2 |
21–40 | 5 |
41–60 | 7 |
61–80 | 6 |
81–100 | 5 |
Berapa nilai rataan kuadratik?
Nilai | Jumlah murid a |
Nilai tengah b |
b2 | a x b2 |
---|---|---|---|---|
1–20 | 2 | 10 | 100 | 200 |
21–40 | 5 | 30 | 900 | 4,500 |
41–60 | 7 | 50 | 2,500 | 17,500 |
61–80 | 6 | 70 | 4,900 | 29,400 |
81–100 | 5 | 90 | 8,100 | 40,500 |
Total | 25 | 92,100 |
- keterangan:
- X: rata-rata kuadratik
- k: banyaknya kelas interval
- f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i
- x_i: titik tengah kelas interval ke-i
Rataan gabungan
[sunting | sunting sumber]Pengertian sebagai rataan gabungan bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi peubah acak bernilai nyata X,
- keterangan:
- Q: rata-rata gabungan
- i: banyaknya nilai
- n_i: nilai data ke-i
- x_i: rerata ke-i
Contoh:
- Rerata rapor 37 siswa di kelas 1A adalah 63, rerata rapor 35 siswa di kelas 1B adalah 62 dan Rerata rapor 38 siswa di kelas 1B adalah 64. Berapa rataan gabungan?
untuk melihat perbandingan rataan aritmetik yaitu:
Rataan terbobot
[sunting | sunting sumber]Pengertian sebagai rataan terbobot bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi peubah acak bernilai nyata X,
- keterangan:
- Q: rata-rata terbobot
- i: banyaknya nilai
- w_i: bobot data ke-i
- x_i: rerata ke-i
Contoh:
- Sistem penilaian matematika yaitu 50 poin ujian, 30 poin ulangan harian serta 20 poin tugas. Seorang siswa memperoleh nilai sebagai berikut ujian 87, ulangan harian 86 serta tugas 92. Berapa jumlah nilai matematika yang diperolehnya?
untuk melihat perbandingan rataan aritmetik yaitu:
Rataan geometrik
[sunting | sunting sumber]Pengertian sebagai rataan geometrik bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi peubah acak bernilai nyata X,
- untuk data tunggal
atau "jumlah data diakar banyak data".
atau
atau "log dari jumlah data dibagi banyak data".
- keterangan:
- G: rata-rata geometrik
- n: banyaknya datai
- x_i: nilai data ke-i
Contoh:
- Sehimpunan peubah acak bernilai 3, 2, dan 4. Berapa rataan geometrik?
atau
- untuk data berkelompok
atau
- keterangan:
- G: rata-rata geometrik
- k: banyaknya kelas interval
- f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i
- x_i: titik tengah kelas interval ke-i
Contoh:
- Perhatikan nilai data siswa kelas X sebagai berikut:
Nilai | Jumlah murid |
---|---|
1–20 | 2 |
21–40 | 5 |
41–60 | 7 |
61–80 | 6 |
81–100 | 5 |
Berapa nilai rataan geometrik?
Nilai | Jumlah murid a |
Nilai tengah b |
log b | a x log b |
---|---|---|---|---|
1–20 | 2 | 10 | 1 | 2 |
21–40 | 5 | 30 | 1.477 | 7.385 |
41–60 | 7 | 50 | 1.699 | 11,893 |
61–80 | 6 | 70 | 1.845 | 11.07 |
81–100 | 5 | 90 | 1.954 | 9.77 |
Total | 25 | 42.118 |
Rataan harmonik
[sunting | sunting sumber]Pengertian sebagai rataan harmonik bersifat teknis operasional, yang dapat dihitung secara langsung terhadap suatu himpunan data. Bagi peubah acak bernilai nyata X,
- untuk data tunggal
atau "jumlah data dibagi banyak data".
- keterangan:
- H: rata-rata harmonik
- n: banyaknya data
- x_i: nilai data ke-i
Contoh:
- Sehimpunan peubah acak bernilai 3, 2, dan 4. Berapa rataan harmonik?
- untuk data berkelompok
- keterangan:
- H: rata-rata harmonik
- k: banyaknya kelas interval
- f_i: frekuensi data pada kelas interval ke-i
- x_i: titik tengah kelas interval ke-i
Contoh:
- Perhatikan nilai data siswa kelas X sebagai berikut:
Nilai | Jumlah murid |
---|---|
1–20 | 2 |
21–40 | 5 |
41–60 | 7 |
61–80 | 6 |
81–100 | 5 |
Berapa nilai rataan harmonik?
Nilai | Jumlah murid a |
Nilai tengah b |
a/b |
---|---|---|---|
1–20 | 2 | 10 | 0.2 |
21–40 | 5 | 30 | 0.17 |
41–60 | 7 | 50 | 0.14 |
61–80 | 6 | 70 | 0.09 |
81–100 | 5 | 90 | 0.056 |
Total | 25 | 0.656 |
Dari tiga jenis rataan yaitu aritmetik, geometrik dan harmonik maka urutan nilai rataan paling kecil adalah harmonik, geometrik dan aritmetik.
Rata-rata fungsi
[sunting | sunting sumber]Dalam kalkulus, khususnya kalkulus multivariabel, rata-rata sebuah fungsi didefinisikan sebagai nilai rata-rata fungsi pada domain-nya. Dalam satu variabel, rata-rata fungsi f(x) pada interval (a,b) dinyatakan dengan
Dalam beberapa variabel, rata-rata domain U dalam ruang Euclidian dinyatakan dengan
Rata-rata lainnya
[sunting | sunting sumber]- Rataan aritmetik-geometrik
- Rataan aritmetik-harmonik
- Rataan Cesàro
- Rataan Chisini
- Rataan geometrik-harmonik
- Rataan Heronian
- Rataan identrik
- Rataan Lehmer
- Rataan Stolarsky
- Entropi Rényi's
Lihat pula
[sunting | sunting sumber]Pranala luar
[sunting | sunting sumber]