Integral Lebesgue: Perbedaan antara revisi
Tampilan
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
k →top: clean up, added underlinked tag |
||
(16 revisi perantara oleh 7 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
{{Underlinked|date=Januari 2023}} |
|||
{{gabung|Integrasi Lebesgue-Stieltjes}} |
|||
[[Berkas:Integral-area-under-curve.svg|thumb|The integral of a positive function can be interpreted as the area under a curve.|alt=|261x261px]] |
|||
{{Kalkulus|Integral}} |
|||
Dalam matematika modern, '''Integral Lebesgue''' suatu konsep integral. |
Dalam matematika modern, '''Integral Lebesgue''' suatu konsep integral. |
||
Baris 4: | Baris 9: | ||
=== Ruang ukuran === |
=== Ruang ukuran === |
||
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu [[ |
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu [[Ukuran (matematika)|ruang ukuran]] <math> (X, \Sigma, \mu) </math>. |
||
=== Integral dari fungsi sederhana === |
=== Integral dari fungsi sederhana === |
||
'''Fungsi karakteristik''' <math> \chi _A |
'''Fungsi karakteristik''' <math> \chi _A: X \rightarrow \{ 0, 1 \} </math> untuk himpunan <math> A \subseteq X </math> adalah |
||
:<math> \ |
:<math> \chi _A (x) = \begin{cases} 1 & \mathrm{jika} \; x \in A \\ 0 & \mathrm{jika} \; x \not \in A \end{cases} .</math> |
||
Suatu fungsi <math> \phi |
Suatu fungsi <math> \phi: X \rightarrow \mathbb{R} </math> tersebut '''fungsi sederhana''', jika |
||
:<math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> |
:<math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> |
||
untuk <math> \alpha _1 |
untuk <math> \alpha _1, \ldots, \alpha _n \in \mathbb{R} </math>, <math> A _1, \ldots, A _n \in \Sigma </math> dan <math> n \in \mathbb{N} </math>. |
||
Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana <math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> sebagai |
Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana <math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> sebagai |
||
:<math> \int \phi\, d \mu = \sum _{i=1} ^n \, \alpha _i \mu ( |
:<math> \int _X \phi\, d \mu = \sum _{i=1} ^n \, \alpha _i \mu (A _i) .</math> |
||
=== Integral dari fungsi tak negatif === |
|||
Misalnya <math> f: (X, \Sigma) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B} (\mathbb{R})) </math> suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana <math> \mathcal{B} (\mathbb{R}) </math> aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai |
|||
:<math> \int _X f \, d \mu = \sup \left\{ \int _X \phi \, d \mu: \phi \text{ sederhana, } 0 \leq \phi \leq f \right\} .</math> |
|||
Perhatikan bahwa <math> \int _X f \, d \mu \in [ 0, \infty ] </math>. |
|||
=== Integral dari fungsi terukur sembarang === |
|||
Misalnya <math> f: (X, \Sigma) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B} (\mathbb{R})) </math> suatu fungsi terukur. |
|||
Selanjutnya fungsi tak negatif <math> f ^+ </math> dan <math> f^- </math> adalah didefinisikan tik demi tik sebagai <math> f ^+ = \max \{ f, 0 \} </math> dan <math> f ^- = \max \{ - f, 0 \} </math>. |
|||
Perhatikan bahwa <math> f = f ^+ - f ^- </math> dan <math> | f | = f ^+ + f ^- </math>. |
|||
Jika <math> \int _X f ^+ \, d \mu < \infty </math> dan <math> \int _X f ^- \, d \mu < \infty </math>, maka <math> f </math> dikatakan '''terintegralkan''' dan kita mendefinisikan |
|||
:<math> \int _X f \, d \mu = \int _X f ^+ \, d \mu - \int _X f ^- \, d \mu .</math> |
|||
Jelas, <math> f </math> terintegralkan jika dan hanya jika <math> \int | f | \, d \mu < \infty </math>. |
|||
== Sifat-sifat dasar == |
|||
* Integral itu linear, yaitu jika <math> \alpha, \beta \in \mathbb{R} </math> dan <math> f, g </math> fungsi terintegralkan, maka <math> \alpha f + \beta g </math> juga terintegralkan dengan |
|||
:<math> \int _X \alpha f + \beta g \, d \mu = \alpha \int _X f \, d \mu + \beta \int _X g \, d \mu .</math> |
|||
* Integral itu monoton, yaitu jika <math> f,g </math> fungsi terintegralkan dan <math> f \leq g </math>, maka |
|||
:<math> \int _X f \, d \mu \leq \int _X g \, d \mu .</math> |
|||
{{Authority control}} |
|||
[[Kategori:Matematika]] |
Revisi terkini sejak 22 Januari 2023 19.23
Artikel ini perlu diwikifikasi agar memenuhi standar kualitas Wikipedia. Anda dapat memberikan bantuan berupa penambahan pranala dalam, atau dengan merapikan tata letak dari artikel ini.
Untuk keterangan lebih lanjut, klik [tampil] di bagian kanan.
|
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Integral-area-under-curve.svg/261px-Integral-area-under-curve.svg.png)
Kalkulus |
---|
Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.
Konstruksi
[sunting | sunting sumber]Ruang ukuran
[sunting | sunting sumber]Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran .
Integral dari fungsi sederhana
[sunting | sunting sumber]Fungsi karakteristik untuk himpunan adalah
Suatu fungsi tersebut fungsi sederhana, jika
untuk , dan .
Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana sebagai
Integral dari fungsi tak negatif
[sunting | sunting sumber]Misalnya suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai
Perhatikan bahwa .
Integral dari fungsi terukur sembarang
[sunting | sunting sumber]Misalnya suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif dan adalah didefinisikan tik demi tik sebagai dan . Perhatikan bahwa dan .
Jika dan , maka dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan
Jelas, terintegralkan jika dan hanya jika .
Sifat-sifat dasar
[sunting | sunting sumber]- Integral itu linear, yaitu jika dan fungsi terintegralkan, maka juga terintegralkan dengan
- Integral itu monoton, yaitu jika fungsi terintegralkan dan , maka