Lompat ke isi

Integral Lebesgue: Perbedaan antara revisi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Konten dihapus Konten ditambahkan
LaninBot (bicara | kontrib)
k Perubahan kosmetik tanda baca
k top: clean up, added underlinked tag
 
(4 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: Baris 1:
{{Underlinked|date=Januari 2023}}
{{gabung|Integrasi Lebesgue-Stieltjes}}
{{gabung|Integrasi Lebesgue-Stieltjes}}


[[Berkas:Integral-area-under-curve.svg|thumb|The integral of a positive function can be interpreted as the area under a curve.|alt=|261x261px]]
{{Kalkulus|Integral}}
Dalam matematika modern, '''Integral Lebesgue''' suatu konsep integral.
Dalam matematika modern, '''Integral Lebesgue''' suatu konsep integral.


Baris 6: Baris 9:


=== Ruang ukuran ===
=== Ruang ukuran ===
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu [[Ukuran (matematika)|ruang ukuran]] <math> ( X, \Sigma, \mu ) </math>.
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu [[Ukuran (matematika)|ruang ukuran]] <math> (X, \Sigma, \mu) </math>.


=== Integral dari fungsi sederhana ===
=== Integral dari fungsi sederhana ===
'''Fungsi karakteristik''' <math> \chi _A : X \rightarrow \{ 0, 1 \} </math> untuk himpunan <math> A \subseteq X </math> adalah
'''Fungsi karakteristik''' <math> \chi _A: X \rightarrow \{ 0, 1 \} </math> untuk himpunan <math> A \subseteq X </math> adalah
:<math> \chi _A (x) = \begin{cases} 1 & \mathrm{jika} \; x \in A \\ 0 & \mathrm{jika} \; x \not \in A \end{cases} .</math>
:<math> \chi _A (x) = \begin{cases} 1 & \mathrm{jika} \; x \in A \\ 0 & \mathrm{jika} \; x \not \in A \end{cases} .</math>


Baris 17: Baris 20:


Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana <math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> sebagai
Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana <math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> sebagai
:<math> \int _X \phi\, d \mu = \sum _{i=1} ^n \, \alpha _i \mu ( A _i ) .</math>
:<math> \int _X \phi\, d \mu = \sum _{i=1} ^n \, \alpha _i \mu (A _i) .</math>


=== Integral dari fungsi tak negatif ===
=== Integral dari fungsi tak negatif ===
Misalnya <math> f: ( X, \Sigma ) \rightarrow ( \mathbb{R}, \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) ) </math> suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana <math> \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) </math> aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai
Misalnya <math> f: (X, \Sigma) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B} (\mathbb{R})) </math> suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana <math> \mathcal{B} (\mathbb{R}) </math> aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai
:<math> \int _X f \, d \mu = \sup \left\{ \int _X \phi \, d \mu: \phi \text{ sederhana, } 0 \leq \phi \leq f \right\} .</math>
:<math> \int _X f \, d \mu = \sup \left\{ \int _X \phi \, d \mu: \phi \text{ sederhana, } 0 \leq \phi \leq f \right\} .</math>
Perhatikan bahwa <math> \int _X f \, d \mu \in [ 0, \infty ] </math>.
Perhatikan bahwa <math> \int _X f \, d \mu \in [ 0, \infty ] </math>.


=== Integral dari fungsi terukur sembarang ===
=== Integral dari fungsi terukur sembarang ===
Misalnya <math> f: ( X, \Sigma ) \rightarrow ( \mathbb{R}, \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) ) </math> suatu fungsi terukur.
Misalnya <math> f: (X, \Sigma) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B} (\mathbb{R})) </math> suatu fungsi terukur.
Selanjutnya fungsi tak negatif <math> f ^+ </math> dan <math> f^- </math> adalah didefinisikan tik demi tik sebagai <math> f ^+ = \max \{ f, 0 \} </math> dan <math> f ^- = \max \{ - f, 0 \} </math>.
Selanjutnya fungsi tak negatif <math> f ^+ </math> dan <math> f^- </math> adalah didefinisikan tik demi tik sebagai <math> f ^+ = \max \{ f, 0 \} </math> dan <math> f ^- = \max \{ - f, 0 \} </math>.
Perhatikan bahwa <math> f = f ^+ - f ^- </math> dan <math> | f | = f ^+ + f ^- </math>.
Perhatikan bahwa <math> f = f ^+ - f ^- </math> dan <math> | f | = f ^+ + f ^- </math>.
Baris 40: Baris 43:
* Integral itu monoton, yaitu jika <math> f,g </math> fungsi terintegralkan dan <math> f \leq g </math>, maka
* Integral itu monoton, yaitu jika <math> f,g </math> fungsi terintegralkan dan <math> f \leq g </math>, maka
:<math> \int _X f \, d \mu \leq \int _X g \, d \mu .</math>
:<math> \int _X f \, d \mu \leq \int _X g \, d \mu .</math>

{{Authority control}}


[[Kategori:Matematika]]
[[Kategori:Matematika]]

Revisi terkini sejak 22 Januari 2023 19.23

The integral of a positive function can be interpreted as the area under a curve.

Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.

Konstruksi

[sunting | sunting sumber]

Ruang ukuran

[sunting | sunting sumber]

Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran .

Integral dari fungsi sederhana

[sunting | sunting sumber]

Fungsi karakteristik untuk himpunan adalah

Suatu fungsi tersebut fungsi sederhana, jika

untuk , dan .

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana sebagai

Integral dari fungsi tak negatif

[sunting | sunting sumber]

Misalnya suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai

Perhatikan bahwa .

Integral dari fungsi terukur sembarang

[sunting | sunting sumber]

Misalnya suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif dan adalah didefinisikan tik demi tik sebagai dan . Perhatikan bahwa dan .

Jika dan , maka dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan

Jelas, terintegralkan jika dan hanya jika .

Sifat-sifat dasar

[sunting | sunting sumber]
  • Integral itu linear, yaitu jika dan fungsi terintegralkan, maka juga terintegralkan dengan
  • Integral itu monoton, yaitu jika fungsi terintegralkan dan , maka