Vektor singgung: Perbedaan antara revisi
k Menambah Kategori:Geometri menggunakan HotCat |
k clean up |
||
(Satu revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
⚫ | |||
⚫ | Di [[matematika]], khusunya geometri, gagasan vektor singgung merupakan hal yang penting. Mudahnya berbicara, '''vektor singgung''' merupakan [[Vektor (spasial)|vektor]] yang menyinggung suatu [[kurva]] atau permukaan di suatu titik. Vektor singgung dibahas dalam kajian [[Geometri kurva diferensial|geometri diferensial bagi kurva]] dalam konteks kurva di '''R'''<sup>''n''</sup> . Lebih umum, vektor singgung adalah anggota [[ruang singgung]] dari [[Lipatan terdiferensialkan|keragaman diferensiabel]] . Vektor singgung juga dapat dibahas melalui konsep [[Kuman (matematika)|germs]] . Secara formal, dalam kaitannya dengan germs, vektor singgung di titik <math>x</math> adalah derivasi linier dari aljabar yang didefinisikan oleh himpunan germs di <math>x</math> . |
||
⚫ | |||
⚫ | Di [[matematika]], khusunya geometri, gagasan vektor singgung merupakan hal yang penting. Mudahnya berbicara, '''vektor singgung''' merupakan [[Vektor (spasial)|vektor]] yang menyinggung suatu [[kurva]] atau permukaan di suatu titik. Vektor singgung dibahas dalam kajian [[ |
||
== Gagasan Awal == |
== Gagasan Awal == |
||
Sebelum sampai pada batasan yang general dari konsep vektor singgung, terlebih dahulu kita bahas penggunaannya dalam [[kalkulus]] dan sifat [[ |
Sebelum sampai pada batasan yang general dari konsep vektor singgung, terlebih dahulu kita bahas penggunaannya dalam [[kalkulus]] dan sifat [[tensor]]nya . |
||
=== Kalkulus === |
=== Kalkulus === |
||
Andaikan <math>\mathbf{r}(t)</math> merupakan parameter [[Kurva|kurva licin]]. Vektor singgung diberikan oleh <math>\mathbf{r}^\prime(t)</math>. Dalam hal ini, tanda aksen sama maknanya dengan titik biasa, yaitu menyatakan turunan terhadap parameter ''t'' . |
Andaikan <math>\mathbf{r}(t)</math> merupakan parameter [[Kurva|kurva licin]]. Vektor singgung diberikan oleh <math>\mathbf{r}^\prime(t)</math>. Dalam hal ini, tanda aksen sama maknanya dengan titik biasa, yaitu menyatakan turunan terhadap parameter ''t'' .<ref>J. Stewart (2001)</ref> Vektor singgung satuan dituliskan sebagai |
||
: <math>\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}^\prime(t)}{|\mathbf{r}^\prime(t)|}\,.</math> |
: <math>\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}^\prime(t)}{|\mathbf{r}^\prime(t)|}\,.</math> |
||
==== Contoh ==== |
==== Contoh ==== |
||
Diberikan sebuah kurva |
Diberikan sebuah kurva |
||
: <math>\mathbf{r}(t)=\{(1+t^2,e^{2t},\cos{t})|\ t\in\mathbb{R}\}</math> |
: <math>\mathbf{r}(t)=\{(1+t^2,e^{2t},\cos{t})|\ t\in\mathbb{R}\}</math> |
||
di <math>\mathbb{R}^3</math>, vektor singgung satuan pada <math>t=0</math> diberikan oleh |
di <math>\mathbb{R}^3</math>, vektor singgung satuan pada <math>t=0</math> diberikan oleh |
||
: <math>\mathbf{T}(0)=\frac{\mathbf{r}^\prime(0)}{\|\mathbf{r}^\prime(0)\|}=\left.\frac{(2t,2e^{2t},\ -\sin{t})}{\sqrt{4t^2+4e^{4t}+\sin^2{t}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.</math> |
: <math>\mathbf{T}(0)=\frac{\mathbf{r}^\prime(0)}{\|\mathbf{r}^\prime(0)\|}=\left.\frac{(2t,2e^{2t},\ -\sin{t})}{\sqrt{4t^2+4e^{4t}+\sin^2{t}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.</math> |
||
: |
: |
||
: |
: |
||
: |
: |
||
: |
|||
: |
|||
: |
: |
Revisi terkini sejak 2 Februari 2023 03.51
- Untuk sesuatu yang lebih umum - tetapi lebih teknis - dalam bahasan vektor singgung, lihat ruang singgung .
Di matematika, khusunya geometri, gagasan vektor singgung merupakan hal yang penting. Mudahnya berbicara, vektor singgung merupakan vektor yang menyinggung suatu kurva atau permukaan di suatu titik. Vektor singgung dibahas dalam kajian geometri diferensial bagi kurva dalam konteks kurva di Rn . Lebih umum, vektor singgung adalah anggota ruang singgung dari keragaman diferensiabel . Vektor singgung juga dapat dibahas melalui konsep germs . Secara formal, dalam kaitannya dengan germs, vektor singgung di titik adalah derivasi linier dari aljabar yang didefinisikan oleh himpunan germs di .
Gagasan Awal
[sunting | sunting sumber]Sebelum sampai pada batasan yang general dari konsep vektor singgung, terlebih dahulu kita bahas penggunaannya dalam kalkulus dan sifat tensornya .
Kalkulus
[sunting | sunting sumber]Andaikan merupakan parameter kurva licin. Vektor singgung diberikan oleh . Dalam hal ini, tanda aksen sama maknanya dengan titik biasa, yaitu menyatakan turunan terhadap parameter t .[1] Vektor singgung satuan dituliskan sebagai
Contoh
[sunting | sunting sumber]Diberikan sebuah kurva
di , vektor singgung satuan pada diberikan oleh
- ^ J. Stewart (2001)
Pustaka
[sunting | sunting sumber]- Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Boca Raton: CRC Press
- Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Australia: Thomson/Brooks/Cole .
- Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, New York: McGraw-Hill .