Fungsi ganjil dan genap

Fungsi sinus dan semua polinomial Taylorlnya merupakan fungsi ganjil. Gambar ini menunjukkan sin(x) dan perkiraan Taylornya, polinomial dengan derajat 1, 3, 5, 7, 9, 11 dan 13.

Fungsi kosinus dan semua polinomial Taylorlnya merupakan fungsi genap. Gambar ini menunjukkan cos(x) dan perkiraan Taylornya dengan derajat 4.

Fungsi ganjil dan fungsi genap dalam matematika adalah fungsi yang memenuhi hubungan simetris tertentu, terhadap invers aditifnya. Penting dalam banyak bidang analisis matematika, terutama teori deret pangkat dan deret Fourier. Fungsi-fungsi ini dinamai menurut parity pangkat dari fungsi pangkat yang memenuhi setiap kondisi tertentu:

• fungsi f(x) = xⁿ adalah suatu fungsi genap jika n adalah sebuah bilangan bulat genap.
• fungsi f(x) = xⁿ adalah suatu fungsi ganjil jika n adalah sebuah bilangan bulat ganjil.

Definisi dan contoh

Konsep ganjil atau genap hanya didefinisikan untuk fungsi-fungsi yang ranah (domain) dan rentang (range)nya keduanya memiliki suatu invers aditif. Ini meliputi grup-grup aditif, semua cincin (ring), semua field, dan semua ruang vektor. Jadi, misalnya, fungsi dengan nilai real dari variabel real dapat merupakan fungsi ganjil atau genap, sebagaimana juga fungsi bernilai kompleks dari suatu variabel vektor, dan seterusnya.

Contohnya adalah fungsi nilai riil dari variabel nyata, untuk menggambarkan simetri grafiknya.

Fungsi genap

ƒ(x) = x² adalah contoh dari fungsi genap.

Misalkan f ( x ) menjadi fungsi bernilai nyata dari variabel real. Maka f adalah 'even' jika persamaan berikut berlaku untuk semua x dan -x dalam domain f :

$f(x)=f(-x),\,$

atau

$f(x)-f(-x)=0.\,$

Secara geometris, permukaan grafik dari fungsi genap adalah simetris sehubungan dengan sumbu y , artinya grafik tetap tidak berubah setelah refleksi terhadap sumbu y .

Contoh fungsi genap adalah |x|, x², x⁴, cos( x ), dan cosh(x).

Fungsi ganjil

ƒ(x) = x³ adalah contoh dari fungsi ganjil.

Sekali lagi, misalkan f ( x ) menjadi fungsi bernilai nyata dari variabel riil. Maka f adalah 'ganjil' jika persamaan berikut berlaku untuk semua x dan -x dalam domain f :

$-f(x)=f(-x),\,$

atau

$f(x)+f(-x)=0.\,$

Secara geometris, grafik fungsi ganjil memiliki simetri rotasi terhadap asal, artinya grafik tidak berubah setelah rotasi sebesar 180 derajat s tentang asalnya.

Contoh fungsi ganjil adalah x, x³, sin(x), sinh(x), dan erf(x).

Sejumlah fakta

ƒ(x) = x³ + 1 bukan merupakan fungsi ganjil maupun fungsi genap.

Kontinuitas dan diferensiabilitas

Suatu fungsi menjadi ganjil atau genap tidak berarti diferensiabilitas, atau bahkan kontinuitas. Misalnya, Fungsi Dirichlet adalah genap, tetapi tidak ada yang kontinu. Properti yang melibatkan deret Fourier, deret Taylor, turunan, dan sebagainya hanya dapat digunakan jika dapat diasumsikan ada.

Properti aljabar

Sifat keunikan

• Jika suatu fungsi genap dan ganjil, itu sama dengan 0 di mana pun ia didefinisikan.

Properti yang melibatkan penjumlahan dan pengurangan

• Jumlah dari dua fungsi genap adalah genap, dan kelipatan konstan dari fungsi genap adalah genap.
• Jumlah dari dua fungsi ganjil adalah ganjil, dan kelipatan konstan dari fungsi ganjil adalah ganjil.
• Perbedaan antara dua fungsi ganjil adalah ganjil.
• Perbedaan antara dua fungsi genap adalah genap.
• jumlah dari fungsi genap dan ganjil tidak genap atau ganjil, kecuali salah satu fungsi sama dengan nol di atas domain.

Sifat yang melibatkan perkalian dan pembagian

• perkalian dari dua fungsi genap adalah fungsi genap.
• Produk dari dua fungsi ganjil adalah fungsi genap.
• Hasil kali dari fungsi genap dan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil.
• hasil bagi dari dua fungsi genap adalah fungsi genap.
• Hasil bagi dari dua fungsi ganjil adalah fungsi genap.
• Hasil bagi dari fungsi genap dan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil.

Sifat yang melibatkan komposisi

• komposisi dari dua fungsi genap adalah genap.
• Komposisi dua fungsi ganjil adalah ganjil.
• Komposisi fungsi genap dan fungsi ganjil genap.
• Komposisi fungsi ganjil atau genap dengan fungsi genap adalah genap (tetapi tidak sebaliknya).

Sifat aljabar lainnya

• Setiap kombinasi linear dari fungsi genap, dan fungsi genap membentuk ruang vektor di atas nyata. Demikian pula, kombinasi linear dari fungsi ganjil adalah ganjil, dan fungsi ganjil juga membentuk ruang vektor di atas real. Faktanya, ruang vektor dari semua fungsi bernilai riil adalah jumlah langsung dari subruang fungsi genap dan ganjil. Dengan kata lain, setiap fungsi f ( x ) dapat ditulis secara unik sebagai jumlah dari fungsi genap dan fungsi ganjil:

$f(x)=f_{\text{e}}(x)+f_{\text{o}}(x)\,,$

dimana

$f_{\text{e}}(x)={\tfrac {1}{2}}[f(x)+f(-x)]$

adalah genap dan

$f_{\text{o}}(x)={\tfrac {1}{2}}[f(x)-f(-x)]$

aneh. Misalnya, jika f adalah exp, maka f_e adalah cosh dan f_o is sinh.

• Fungsi genap membentuk aljabar komutatif di atas real. Namun, fungsi ganjil tidak tidak membentuk aljabar di atas real, karena mereka tidak tertutup dalam perkalian.

Sifat kalkulus

Sifat kalkulus dasar

• Turunan dari sebuah fungsi genap adalah fungsi ganjil.
• Turunan dari sebuah fungsi ganjil adalah fungsi genap.
• Integral dari sebuah fungsi ganjil dari −A ke +A adalah nol (dimana A adalah bilangan terhingga, dan fungsi itu tidak mempunyai asimptot vertikal di antara −A dan A).
• Integral dari sebuah fungsi genap dari −A ke +A adalah dua kali integral dari 0 ke +A (dimanaA adalah bilangan terhingga, dan fungsi itu tidak mempunyai asimptot vertikal di antara −A dan A. Ini juga benar ketika A adalah bilangan tak terhingga, tetapi hanya jika integral itu konvergen).

Sifat deret

• Deret Maclaurin dari sebuah fungsi genap hanya terdiri dari pangkat genap.
• Deret Maclaurin dari sebuah fungsi ganjil hanya terdiri dari pangkat ganjil.
• Deret Fourier dari sebuah fungsi genap periodik hanya terdiri dari fungsi kosinus.
• Deret Fourier dari sebuah fungsi ganjil periodik hanya terdiri dari fungsi sinus.

Harmonik

Dalam pemrosesan sinyal, distorsi harmonik terjadi ketika sinyal gelombang sinus dikirim melalui sistem nonlinear tanpa memori, yaitu, sistem yang keluarannya pada waktu $t$ hanya bergantung pada masukan pada saat $t$ dan tidak bergantung pada masukan pada waktu sebelumnya. Sistem seperti itu dijelaskan oleh fungsi respons $V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))$. Jenis harmonik yang dihasilkan bergantung pada fungsi respons $f$:

• Ketika fungsi respon genap, sinyal yang dihasilkan hanya akan terdiri dari harmonisa gelombang sinus masukan; $0f,2f,4f,6f,\dots \$
  • fundamental juga merupakan harmonik ganjil, jadi tidak akan ada.
  • Contoh sederhananya adalah penyearah gelombang penuh.
  • Komponen $0f$ mewakili DC offset, karena sifat satu sisi dari fungsi transfer simetris genap.
• Jika ganjil, sinyal yang dihasilkan hanya terdiri dari harmonik ganjil dari gelombang sinus masukan; $1f,3f,5f,\dots \$
  • Sinyal keluaran akan menjadi setengah gelombang simetris.
  • Contoh sederhananya adalah guntingan secara simetris push-pull amplifier.
• Jika asimetris, sinyal yang dihasilkan dapat berisi harmonisa genap atau ganjil; $1f,2f,3f,\dots \$
  • Contoh sederhana adalah penyearah setengah gelombang, dan kliping dalam penguat kelas-A asimetris.

Perhatikan bahwa ini tidak berlaku untuk bentuk gelombang yang lebih kompleks. Sebuah gelombang gigi gergaji berisi harmonik genap dan ganjil, misalnya Setelah penyearah gelombang penuh simetris genap, ini menjadi gelombang segitiga, yang selain offset DC, hanya berisi harmonik ganjil.

Lihat pula

• Fungsi Hermitian untuk generalisasi bilangan kompleks
• Deret Taylor
• Deret Fourier
• Metode Holstein–Herring

Pustaka

• Gelfand, I. M.; Glagoleva, E. G.; Shnol, E. E. (2002) [1969], Functions and Graphs, Mineola, N.Y: Dover Publications, diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-09-21