Lompat ke isi

Polinomial: Perbedaan antara revisi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Akuindo (bicara | kontrib)
44.033 suntingan
Hadithfajri (bicara | kontrib)
933 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
(21 revisi perantara oleh 11 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: Baris 1:
{{Short description|Dalam matematika, jumlah produk variabel, kekuatan variabel, dan koefisien}}
Dalam [[matematika]], '''polinomial''' atau '''suku banyak''' (juga ditulis '''sukubanyak''') adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk seperti berikut:
{{for|aspek yang kurang mendasar dari subjek|Gelanggang polinomial}}
[[Berkas:Polynomialdeg3.svg|[[Grafik suatu fungsi|grafik]] dari fungsi polinom dengan derajat 3|thumb]]
Dalam [[matematika]], '''polinomial''' atau '''suku banyak''' (juga ditulis '''sukubanyak''') adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih [[Variabel (matematika)|variabel]] dengan [[koefisien]]. Secara umum, sebuah polinomial satu variabel memiliki bentuk seperti berikut:
:<math>
:<math>
a_nx^n + \ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0
a_nx^n + \ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0
</math>
</math>
dengan <math>
n
</math> merupakan bilangan cacah, dan dengan <math>
a_0, a_1, a_2,\ldots, a_n
</math> merupakan koefisien konstan.


Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan ''orde'' atau derajat dari polinomial tersebut.
Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan ''orde'' atau ''derajat'' dari polinomial tersebut.


== Grafik polinomial ==
== Operasi ==
Sebuah fungsi polinomial dalam satu variabel real dapat dinyatakan dalam [[grafik fungsi]].
* Grafik dari polinomial nol
::''f''(''x'') = 0
:adalah sumbu ''x''.


=== Penjumlahan dan pengurangan ===
* Grafik dari polinomial berderajat nol
::''f''(''x'') = ''a''<sub>0</sub>, dimana ''a''<sub>0</sub> ≠ 0,
:adalah garis horizontal dengan ''y'' memotong ''a''<sub>0</sub>


=== Perkalilan ===
* Grafik dari polinomial berderajat satu (atau fungsi linear)
::''f''(''x'') = ''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub>''x'' , dengan ''a''<sub>1</sub> ≠ 0,
:adalah berupa garis miring dengan ''y'' memotong di ''a''<sub>0</sub> dengan [[kemiringan]] sebesar ''a''<sub>1</sub>.


=== Pembagian dan pemfaktoran ===
* Grafik dari polinomial berderajat dua
::''f''(''x'') = ''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub>''x'' + ''a''<sub>2</sub>''x''<sup>2</sup>, dengan ''a''<sub>2</sub> ≠ 0
:adalah berupa [[parabola]].


* Grafik dari polinomial berderajat tiga
== Grafik polinomial ==
::''f''(''x'') = ''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub>''x'' + ''a''<sub>2</sub>''x''<sup>2</sup>, + ''a''<sub>3</sub>''x''<sup>3</sup>, dengan ''a''<sub>3</sub> ≠ 0
:adalah berupa kurva pangkat 3.


=== Graphs ===
* Grafik dari polinomial berderajat dua atau lebih
<div class="floatright"><gallery perrow="2" widths="120px" heights="120px">
::''f''(''x'') = ''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub>''x'' + ''a''<sub>2</sub>''x''<sup>2</sup> + ... + ''a''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup> , dengan ''a''<sub>''n''</sub> ≠ 0 and ''n'' ≥ 2
Berkas:Algebra1_fnz_fig037_pc.svg|Polinomial berderajat 0: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} 2}}</small>
:adalah berupa kurva non-linear.
Berkas:Fonction_de_Sophie_Germain.png|Polinomial berderajat 1: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} 2''x'' + 1}}</small>
Berkas:Polynomialdeg2.svg|Polinomial berderajat 2: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 2}}</small> <small>{{math|{{=}} (''x'' + 1)(''x'' − 2)}}</small>
Berkas:Polynomialdeg3.svg|Polinomial berderajat 3: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup>/4 + 3''x''<sup>2</sup>/4 − 3''x''/2 − 2}}</small> <small>{{math|{{=}} 1/4 (''x'' + 4)(''x'' + 1)(''x'' − 2)}}</small>
Berkas:Polynomialdeg4.svg|Polinomial berderajat 4: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} 1/14 (''x'' + 4)(''x'' + 1)(''x'' − 1)(''x'' − 3) <br/>+ 0.5}}</small>
Berkas:Quintic_polynomial.svg|Polinomial berderajat 5: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} 1/20 (''x'' + 4)(''x'' + 2)(''x'' + 1)(''x'' − 1)<br/>(''x'' − 3) + 2}}</small>
Berkas:Sextic_Graph.svg|Polinomial berderajat 6: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} 1/100 (''x''<sup>6</sup> − 2''x'' <sup>5</sup> − 26''x''<sup>4</sup> + 28''x''<sup>3</sup>}}</small> <small>{{math|+ 145''x''<sup>2</sup> − 26''x'' − 80)}}</small>
Berkas:Septic_graph.svg|Polinomial berderajat 7: <small>{{math|''f''(''x'') {{=}} (''x'' − 3)(''x'' − 2)(''x'' − 1)(''x'')(''x'' + 1)(''x'' + 2)}}</small> <small>{{math|(''x'' + 3)}}</small>
</gallery></div>Fungsi polinomial satu variabel dapat ditampilkan dalam bentuk [[Grafik fungsi|grafik]].


*Grafik dari polinomial nol{{block indent|<math>f(x)=0</math>}}adalah sumbu-<math> x </math>.
Ilustrasi dari grafik-grafik tersebut adalah di bawah ini.
* Grafik dari polinomial berderajat nol (disebut juga [[fungsi konstan]]){{block indent|<math>f(x)=a_0</math> dengan <math>a_0\neq0</math>}}adalah garis mendatar yang berpotongan di titik (0,''a''<sub>0</sub>)

* Grafik dari polinomial berderajat satu (disebut juga [[Fungsi linear (kalkulus)|fungsi linear]]){{block indent|<math>f(x)=a_0+a_1x</math> dengan <math>a_1\neq0</math>}}adalah berupa garis miring dengan ''y'' memotong di ''a''<sub>0</sub> dengan [[kemiringan]] sebesar ''a''<sub>1</sub>.
<gallery perrow="3" widths="200px">
* Grafik dari polinomial berderajat dua (disebut juga [[fungsi kuadrat]]){{block indent|<math>f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2</math> dengan <math>a_2\neq0</math>}}merupakan [[parabola]].
File:Polynomialdeg2.svg|Polinomial berderajat 2:<br />''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> - ''x'' - 2 = (''x''+1)(''x''-2)
* Grafik dari polinomial berderajat tiga{{block indent|<math>f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3</math> dengan <math>a_3\neq0</math>}}merupakan kurva pangkat 3.
File:Polynomialdeg3.svg|Polinomial berderajat 3:<br />''f''(''x'') = ''x''<sup>3</sup>/4 + 3''x''<sup>2</sup>/4 - 3''x''/2 - 2 = 1/4 (''x''+4)(''x''+1)(''x''-2)
* Grafik dari polinomial berderajat dua atau lebih{{block indent|<math>f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n</math> dengan <math>a_n\neq0</math> dan <math>n\geq2</math>}}merupakan kurva kontinu tak lurus.
File:Polynomialdeg4.svg|Polinomial berderajat 4:<br />''f''(''x'') = 1/14 (''x''+4)(''x''+1)(''x''-1)(''x''-3) + 0.5
File:Polynomialdeg5.svg|Polinomial berderajat 5:<br />''f''(''x'') = 1/20 (''x''+4)(''x''+2)(''x''+1)(''x''-1)(''x''-3) + 2
File:Sextic Graph.png|Polinomial berderajat 6:<br />''f''(''x'') = 1/30 (''x''+3.5)(''x''+2)(''x''+1)(''x''-1)(''x''-3)(''x''-4) + 2
File:Septic graph.svg|Polinomial berderajat 7:<br />''f''(''x'') = (''x''-3)(''x''-2)(''x''-1)(''x'')(''x''+1)(''x''+2)(''x''+3)
</gallery>


== Polinomial dan kalkulus ==
== Polinomial dan kalkulus ==
Baris 50: Baris 50:
maka turunan terhadap ''x'' adalah
maka turunan terhadap ''x'' adalah
:<math>\sum_{i=1}^n a_i i x^{i-1}</math>
:<math>\sum_{i=1}^n a_i i x^{i-1}</math>
dan integral tak tentu terhadap ''x'' adalah
dan [[integral tak tentu]] terhadap ''x'' adalah
:<math>\sum_{i=0}^n {a_i\over i+1} x^{i+1}+c.</math>
:<math>\sum_{i=0}^n {a_i\over i+1} x^{i+1}+c.</math>

== Pembagian Polinomial ==
Bentuk umum adalah
<math>F(x) = P(x) \cdot H(x) + S(x)</math>

* Keterangan:
# F(x) : suku banyak
# P(x) : pembagi
# H(x) : hasil bagi
# S(x) : sisa

=== Teorema sisa ===
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k).
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a).
: Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah <math>\frac{F(a) - F(b)}{a - b} x + \frac{a F(b) - b F(a)}{a -b}</math>.

Contoh
: Berapa sisa dari F(x): <math>x^2 - 7x + 10</math> dibagi dengan P(x): <math>x - 3</math>?
:: F(x - 3) maka F(3)
:: F(x): <math>x^2 - 7x + 10</math>
:: F(3): <math>(3)^2 - 7(3) + 10 = 9 - 21 + 10 = - 2</math>

pembuktian sesuai dengan di atas:

{| class="wikitable"
|-
| <math>x - 3</math> || <math>x^2</math> || <math>- 7x</math> || <math>+ 10</math> || <math>x - 4</math>
|-
| || <math>x^2</math> || <math>- 3x</math> || ||
|-
| || || <math>- 4x</math> || <math>+ 10</math> ||
|-
| || || <math>- 4x</math> || <math>+ 12</math> ||
|-
| || || || <math>- 2</math> ||
|}

: Suatu F(x) dibagi x - 2 bersisa 4, dibagi x - 3 bersisa 7. suatu G(x) dibagi x - 2 bersisa 3, dibagi x - 3 bersisa 2. Jika <math>H(x) = F(x) \cdot G(x)</math> maka berapa sisa jika H(x) dibagi <math>x^2 - 5x + 6</math>?

: <math>h(x) = P(x) \cdot H(x) + S(x)</math>
: <math>h(x) = (x^2 - 5x + 6) \cdot H(x) + S(x)</math>
: <math>h(x) = (x - 2)(x - 3) \cdot H(x) + S(x)</math>

karena variabel pembagi derajat dua maka variabel sisa derajat satu yaitu <math>S(x) = ax + b</math>
: <math>h(x) = (x - 2)(x - 3) \cdot H(x) + ax + b</math>

: persamaan pertama
:: <math>h(2) = S_{f(x)} (2) \cdot S_{g(x)} (2)</math>
:: <math>(2 - 2)(2 - 3) \cdot H(x) + 2a + b = 4 \cdot 3</math>
:: <math>2a + b = 12</math>

: persamaan kedua
:: <math>h(3) = S_{f(x)} (3) \cdot S_{g(x)} (3)</math>
:: <math>(3 - 2)(3 - 3) \cdot H(x) + 3a + b = 7 \cdot 2</math>
:: <math>3a + b = 14</math>

dari persamaan pertama dan kedua dihitung menggunakan metode eliminasi maka menjadi a = 2 dan b = 8

: jadi sisa tersebut adalah 2x + 8.

=== Metode ===
Metode ada 3 jenis yaitu:

; Biasa
Contoh
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>x^3 + x^2 - 9x + 3</math> dibagi dengan P(x): <math>x^2 + 2x - 8</math>?

{| class="wikitable"
|-
| <math>x^2 + 2x - 8</math> || <math>x^3</math> || <math>+ x^2</math> || <math>- 9x</math> || <math>+ 3</math> || <math>x - 1</math>
|-
| || <math>x^3</math> || <math>+ 2x^2</math> || <math>- 8x</math> || ||
|-
| || || <math>- x^2</math> || <math>- x</math> || <math>+ 3</math> ||
|-
| || || <math>- x^2</math> || <math>- 2x</math> || <math>+ 8</math> ||
|-
| || || || <math>x</math> || <math>- 5</math> ||
|}

: H(x) = <math>x - 1</math>
: S(x) = <math>x - 5</math>

: Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2 + 5x - 3</math>?

{| class="wikitable"
|-
| <math>2x^2 + 5x - 3</math> || <math>2x^3</math> || <math>+ 19x^2</math> || <math>+ 33x</math> || <math>- 26</math> || <math>x + 7</math>
|-
| || <math>2x^3</math> || <math>+ 5x^2</math> || <math>- 3x</math> || ||
|-
| || || <math>14x^2</math> || <math>36x</math> || <math>- 26</math> ||
|-
| || || <math>14x^2</math> || <math>35x</math> || <math>- 21</math> ||
|-
| || || || <math>x</math> || <math>- 5</math> ||
|}

: H(x) = <math>x + 7</math>
: S(x) = <math>x - 5</math>

; Horner
cara ini dapat digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1.

Cara:
* Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)
Contoh: untuk <math>4x^3 - 1</math>, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)
; Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
; Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:
: Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1
: Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1
: Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1 dan seterusnya

Jika hasil bagi adalah bukan bilangan pecahan maka proses rumus tetap. Contoh:
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>x^3 + x^2 - 9x + 3</math> dibagi dengan P(x): <math>x^2 + 2x - 8</math>?

misalkan P: <math>x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)</math> maka:
: P1 : <math>x - 2 = 0 -> x = 2</math>
: P2 : <math>x + 4 = 0 -> x = - 4</math>

{| class="wikitable"
|-
| 2 || 1 || 1 || -9 || 3
|-
| || 0 || 2 || 6 || -6
|-
| -4 || 1 || 3 || -3 || -3 (S1)
|-
| || 0 || -4 || 4 ||
|-
| || 1 || -1 || 1 (S2) ||
|}

: H(x) = <math>x - 1</math>
: S(x) = P1 S2 + S1 = <math>(x - 2) \cdot 1 + (- 3) = x - 5</math>

Jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sbb:
; posisi suku banyak tidak berubah maka hasil bagi harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya. Contoh:
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2 + 5x - 3</math>?

: Pilihan A
misalkan P: <math>2x^2 + 5x - 3 = (x + 3)(2x - 1)</math> maka:
: P1 : <math>x + 3 = 0 -> x = - 3</math>
: P2 : <math>2x - 1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math>

{| class="wikitable"
|-
| -3 || 2 || 19 || 33 || -26
|-
| || 0 || -6 || -39 || 18
|-
| 1/2 || 2 || 13 || -6 || -8 (S1)
|-
| || 0 || 1 || 7 ||
|-
| || 2 || 14 || 1 (S2) ||
|}

: H(x) = <math>2x + 14</math> harus bagi 1/2 menjadi <math>x + 7</math>
: S(x) = P1 S2 + S1 = <math>(x + 3) \cdot 1 + (- 8) = x - 5</math>

: Pilihan B
misalkan P: <math>2x^2 + 5x - 3 = (x + 3)(2x - 1)</math> maka:
: P1 : <math>2x - 1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math>
: P2 : <math>x + 3 = 0 -> x = - 3</math>

{| class="wikitable"
|-
| 1/2 || 2 || 19 || 33 || -26
|-
| || 0 || 1 || 10 || 43/2
|-
| -3 || 2 || 20 || 43 || -9/2 (S1)
|-
| || 0 || -6 || -42 ||
|-
| || 2 || 14 || 1 (S2) ||
|}

: H(x) = <math>2x + 14</math> harus bagi 1/2 menjadi <math>x + 7</math>
: S(x) = P1 S2 + S1 = <math>(x - \frac{1}{2}) \cdot 1 + (- \frac{9}{2}) = x - \frac{10}{2} = x - 5</math>

; posisi suku banyak dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka sisa harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh:
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2 + 5x - 3</math>?

: Pilihan A
misalkan P: <math>2x^2 + 5x - 3 = (x + 3)(2x - 1)</math> maka:
: P1 : <math>x + 3 = 0 -> x = - 3</math>
: P2 : <math>2x - 1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math>

<math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26</math> dibagi 1/2 menjadi <math>x^3 + \frac{19}{2}x^2 + \frac{33}{2}x - 13</math>
{| class="wikitable"
|-
| -3 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13
|-
| || 0 || -3 || -39/2 || 9
|-
| 1/2 || 1 || 13/2 || -3 || -4 (S1)
|-
| || 0 || 1/2 || 7/2 ||
|-
| || 1 || 7 || 1/2 (S2) ||
|}

: H(x) = <math>x + 7</math>
: S(x) = P1 S2 + S1 = <math>(x + 3) \cdot \frac{1}{2} + (- 4) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} - 4 = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}</math> harus kali 2 menjadi <math>x - 5</math>

: Pilihan B
misalkan P: <math>2x^2 + 5x - 3 = (x + 3)(2x - 1)</math> maka:
: P1 : <math>2x - 1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math>
: P2 : <math>x + 3 = 0 -> x = - 3</math>

<math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26</math> dibagi 1/2 menjadi <math>x^3 + \frac{19}{2}x^2 + \frac{33}{2}x - 13</math>
{| class="wikitable"
|-
| 1/2 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13
|-
| || 0 || 1/2 || 5 || 43/4
|-
| -3 || 1 || 10 || 43/2 || -9/4 (S1)
|-
| || 0 || -3 || -21 ||
|-
| || 1 || 7 || 1/2 (S2) ||
|}

: H(x) = <math>x + 7</math>
: S(x) = P1 S2 + S1 = <math>(x - \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} + (- \frac{9}{4}) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} - \frac{9}{4} = \frac{1}{2}x - \frac{10}{4} = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}</math> harus kali 2 menjadi <math>x - 5</math>

; Koefisien tak tentu
Contoh
: Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>x^3 + x^2 - 9x + 3</math> dibagi dengan P(x): <math>x^2 + 2x - 8</math>?

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
: H(x) berderajat 3 – 2 = 1
: S(x) berderajat 2 – 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d

maka:
: <math>x^3 + x^2 - 9x + 3 = (x^2 + 2x - 8)(ax + b) + (cx + d)</math>
: <math>x^3 + x^2 - 9x + 3 = ax^3 + 2ax^2 - 8ax + bx^2 + 2bx - 8b + cx + d</math>
: <math>x^3 + x^2 - 9x + 3 = ax^3 + (2a + b)x^2 + (-8a + 2b + c)x + (-8b + d)</math>

samakan pada koefisien:
: <math>x^3 -> 1 = a</math>
: <math>x^2 -> 1 = 2(1) + b -> b = -1</math>
: <math>x -> -9 = -8(1) + 2(-1) + c -> c = 1</math>
: <math>k -> 3 = -8(-1) + d -> d = -5</math>

Jadi
: H(x) = ax + b = x - 1
: S(x) = cx + d = x - 5

: Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2 + 5x - 3</math>?

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
: H(x) berderajat 3 – 2 = 1
: S(x) berderajat 2 – 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d

maka:
: <math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26 = (2x^2 + 5x - 3)(ax + b) + (cx + d)</math>
: <math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26 = 2ax^3 + 5ax^2 - 3ax + 2bx^2 + 5bx - 3b + cx + d</math>
: <math>2x^3 + 19x^2 + 33x - 26 = 2ax^3 + (5a + 2b)x^2 + (-3a + 5b + c)x + (-3b + d)</math>

samakan pada koefisien:
: <math>x^3 -> 2 = 2a -> a = 1</math>
: <math>x^2 -> 19 = 5(1) + 2b -> 2b = 14 -> b = 7</math>
: <math>x -> 33 = -3(1) + 5(7) + c -> c = 1</math>
: <math>k -> -26 = -3(7) + d -> d = -5</math>

Jadi
: H(x) = ax + b = x + 7
: S(x) = cx + d = x - 5

=== Teorema faktor ===
Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Beberapa memungkinkan yang diketahui:
* Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
* Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1.
* Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya:
: untuk <math>x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0</math>, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2
: untuk <math>4x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0</math>, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4

Contoh:
: Tentukan himpunan penyelesaian dari <math>x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0</math>!
apakah salah satu akarnya adalah 1? <math>(1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0</math>
:: Ya

faktorkan tersebut
{| class="wikitable"
|-
| 1 || 1 || -2 || -5 || 6
|-
| || 0 || 1 || -1 || -6
|-
| || 1 || -1 || -6 || 0
|}

: <math>x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0</math>
: <math>(x - 1)(x^2 - x - 6) = 0</math>
: <math>(x - 1)(x - 3)(x + 2) = 0</math>
: <math>x = 1 v x = 3 v x = - 2</math>

jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3}

=== Sifat Akar-akar Suku Banyak ===
Pada persamaan berderajat 3:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat:
:Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a
:Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
:Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Pada persamaan berderajat 4:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat:
:Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
:Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
:Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
:Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a , e/a, …)

=== Pembagian istimewa ===
Ada 3 jenis yaitu:
* Jika n adalah bilangan asli maka:
: <math>\frac{a^n - b^n}{a - b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + .... + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}</math>
* Jika 2n adalah bilangan genap maka:
: <math>\frac{a^{2n} - b^{2n}}{a + b} = a^{2n-1} - a^{2n-2}b + a^{2n-3}b^2 - .... - a^2b^{2n-3} + ab^{2n-2} - b^{2n-1}</math>
* Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka:
: <math>\frac{a^{2n + 1} + b^{2n + 1}}{a + b} = a^{2n} - a^{2n-1}b + a^{2n-2}b^2 - .... + a^2b^{2n-2} - ab^{2n-1} + b^{2n}</math>


== Bacaan lebih lanjut ==
== Bacaan lebih lanjut ==
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-503-3 }} {{id icon}}
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-503-3 }} {{id icon}}
* Abdillah Ahmad, dkk (2023). Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A. Bandung: Tim KTO Matematika


== Pranala luar ==
== Pranala luar ==
{{Commons category|Polynomials}}
{{Commons category|Polynomials}}
* {{en}}[http://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html Polynomial] Artikel tentang polinomial di Wolfram MathWorld
* {{en}}[http://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html Polinomial] Artikel tentang polinomial di Wolfram MathWorld
{{matematika-stub}}


[[Kategori:Polinomial]]
[[Kategori:Polinomial| ]]

Revisi per 27 Maret 2024 14.33

Untuk aspek yang kurang mendasar dari subjek, lihat Gelanggang polinomial.
grafik dari fungsi polinom dengan derajat 3

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Secara umum, sebuah polinomial satu variabel memiliki bentuk seperti berikut:

dengan merupakan bilangan cacah, dan dengan merupakan koefisien konstan.

Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan orde atau derajat dari polinomial tersebut.

Operasi

Penjumlahan dan pengurangan

Perkalilan

Pembagian dan pemfaktoran

Grafik polinomial

Graphs

  • Polinomial berderajat 0: f(x) = 2
    Polinomial berderajat 0: f(x) = 2
  • Polinomial berderajat 1: f(x) = 2x + 1
    Polinomial berderajat 1: f(x) = 2x + 1
  • Polinomial berderajat 2: f(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2)
    Polinomial berderajat 2: f(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2)
  • Polinomial berderajat 3: f(x) = x3/4 + 3x2/4 − 3x/2 − 2 = 1/4 (x + 4)(x + 1)(x − 2)
    Polinomial berderajat 3: f(x) = x3/4 + 3x2/4 − 3x/2 − 2 = 1/4 (x + 4)(x + 1)(x − 2)
  • Polinomial berderajat 4: f(x) = 1/14 (x + 4)(x + 1)(x − 1)(x − 3) + 0.5
    Polinomial berderajat 4: f(x) = 1/14 (x + 4)(x + 1)(x − 1)(x − 3)
    + 0.5
  • Polinomial berderajat 5: f(x) = 1/20 (x + 4)(x + 2)(x + 1)(x − 1) (x − 3) + 2
    Polinomial berderajat 5: f(x) = 1/20 (x + 4)(x + 2)(x + 1)(x − 1)
    (x − 3) + 2
  • Polinomial berderajat 6: f(x) = 1/100 (x6 − 2x 5 − 26x4 + 28x3 + 145x2 − 26x − 80)
    Polinomial berderajat 6: f(x) = 1/100 (x6 − 2x 5 − 26x4 + 28x3 + 145x2 − 26x − 80)
  • Polinomial berderajat 7: f(x) = (x − 3)(x − 2)(x − 1)(x)(x + 1)(x + 2) (x + 3)
    Polinomial berderajat 7: f(x) = (x − 3)(x − 2)(x − 1)(x)(x + 1)(x + 2) (x + 3)

Fungsi polinomial satu variabel dapat ditampilkan dalam bentuk grafik.

  • Grafik dari polinomial nol
    adalah sumbu-.
  • Grafik dari polinomial berderajat nol (disebut juga fungsi konstan)
    dengan
    adalah garis mendatar yang berpotongan di titik (0,a0)
  • Grafik dari polinomial berderajat satu (disebut juga fungsi linear)
    dengan
    adalah berupa garis miring dengan y memotong di a0 dengan kemiringan sebesar a1.
  • Grafik dari polinomial berderajat dua (disebut juga fungsi kuadrat)
    dengan
    merupakan parabola.
  • Grafik dari polinomial berderajat tiga
    dengan
    merupakan kurva pangkat 3.
  • Grafik dari polinomial berderajat dua atau lebih
    dengan dan
    merupakan kurva kontinu tak lurus.

Polinomial dan kalkulus

Artikel utama: Kalkulus dengan polinomial

Untuk menghitung turunan dan integral dari polinomial tidaklah terlalu sulit. Untuk fungsi polinomial

maka turunan terhadap x adalah

dan integral tak tentu terhadap x adalah

Bacaan lebih lanjut

  • Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3.  (Indonesia)
  • Abdillah Ahmad, dkk (2023). Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A. Bandung: Tim KTO Matematika

Pranala luar

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Polynomials.
  • (Inggris)Polinomial Artikel tentang polinomial di Wolfram MathWorld
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/w/index.php?title=Polinomial&oldid=25482492"