Fungsi rasional: Perbedaan antara revisi
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
(3 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 4: | Baris 4: | ||
== Definisi == |
== Definisi == |
||
Sebuah fungsi <math>f(x)</math> disebut fungsi rasional jika dan hanya jika fungsi tersebut dapat ditulis dalam bentuk |
Sebuah fungsi <math>f(x)</math> disebut fungsi rasional [[jika dan hanya jika]] fungsi tersebut dapat ditulis dalam bentuk |
||
:<math> f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} </math> |
:<math> f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} </math> |
||
di mana <math>P\,</math> dan <math>Q\,</math> adalah [[polinomial]] dari <math>x\,</math> dan <math>Q\,</math> bukan [[0|fungsi nol]]. [[Domain fungsi|Domain]] dari <math>f\,</math> adalah himpunan semua nilai <math>x\,</math> untuk yang penyebutnya <math>Q(x)\,</math> bukan nol. |
|||
Namun jika <math>P\,</math> dan <math>Q\,</math> memiliki [[pembagi umum terbesar polinomial]] non-konstan <math>R\,</math>, lalu <math>P=P_1R\,</math> dan <math>Q=Q_1R\,</math> menghasilkan fungsi rasional |
Namun jika <math>P\,</math> dan <math>Q\,</math> memiliki [[pembagi umum terbesar polinomial]] non-konstan <math>R\,</math>, lalu <math>P=P_1R\,</math> dan <math>Q=Q_1R\,</math> menghasilkan fungsi rasional |
||
Baris 14: | Baris 14: | ||
:<math> f_1(x) = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)}, </math> |
:<math> f_1(x) = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)}, </math> |
||
yang mungkin memiliki domain lebih besar dari <math>f(x)</math>, dan sama dengan |
yang mungkin memiliki domain lebih besar dari <math>f(x)</math>, dan sama dengan <math>f(x)</math> pada domain <math>f(x)</math>. Bentuk ini umumnya digunakan untuk mengidentifikasi <math>f(x)</math> dan <math>f_1(x)</math> untuk memperluas "kontinuitas" domain <math>f(x)</math> untuk <math>f_1(x)</math>. |
||
'''Fungsi rasional yang tepat''' adalah fungsi rasional di mana [[derajat polinomial|derajat]] <math>P\,</math> tidak lebih besar dari derajat <math>Q\,</math> dan keduanya [[polinomial nyata]]. |
'''Fungsi rasional yang tepat''' adalah fungsi rasional di mana [[derajat polinomial|derajat]] <math>P\,</math> tidak lebih besar dari derajat <math>Q\,</math> dan keduanya [[polinomial nyata]]. |
||
Baris 46: | Baris 46: | ||
:<math>f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 + 1}</math> |
:<math>f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 + 1}</math> |
||
didefinisikan untuk semua [[bilangan riil]], tetapi tidak untuk semua [[bilangan kompleks]], karena jika ''x'' |
didefinisikan untuk semua [[bilangan riil]], tetapi tidak untuk semua [[bilangan kompleks]], karena jika ''x'' adalah [[akar kuadrat]] dari <math>-1</math> ([[bilangan imajiner]] atau negatifnya), maka penghitungan normal akan mengarah kepada pembagian nol: |
||
:<math>f(i) = \frac{i^2 + 2}{i^2 + 1} = \frac{-1 + 2}{-1 + 1} = \frac{1}{0},</math> |
:<math>f(i) = \frac{i^2 + 2}{i^2 + 1} = \frac{-1 + 2}{-1 + 1} = \frac{1}{0},</math> |
||
Baris 54: | Baris 54: | ||
[[Fungsi konstan]] seperti <math>f(x)=\pi,</math> adalah fungsi rasional karena konstanta merupakan polinomial. Fungsi itu sendiri merupakan rasional meskipun nilai dari <math>f(x)</math> tidak rasional untuk semua <math>x</math> |
[[Fungsi konstan]] seperti <math>f(x)=\pi,</math> adalah fungsi rasional karena konstanta merupakan polinomial. Fungsi itu sendiri merupakan rasional meskipun nilai dari <math>f(x)</math> tidak rasional untuk semua <math>x</math> |
||
Setiap [[fungsi polinom]] <math>f(x)=P(x)</math> adalah fungsi rasional dengan <math>Q(x)=1.</math> Fungsi yang tidak dapat ditulis dalam bentuk ini, seperti <math>f(x)=\sin(x),</math> bukan merupakan fungsi rasional. Kata sifat "irasional" umumnya tidak digunakan untuk fungsi. |
Setiap [[fungsi polinom]] <math>f(x)=P(x)</math> adalah fungsi rasional dengan <math>Q(x)=1.</math> Fungsi yang tidak dapat ditulis dalam bentuk ini, seperti <math>f(x)=\sin(x),</math> bukan merupakan fungsi rasional. [[Kata sifat]] "irasional" umumnya tidak digunakan untuk fungsi. |
||
Fungsi rasional <math>f(x)=\tfrac{x}{x}</math> sama dengan 1 untuk semua ''x'' kecuali 0. Jumlah, produk, atau hasil bagi (kecuali pembagian dengan polinomial nol) dari dua fungsi rasional itu sendiri adalah fungsi rasional. Namun, proses reduksi ke bentuk standar dapat secara tidak sengaja menghasilkan penghapusan singularitasseperti itu kecuali dilakukan perawatan. |
Fungsi rasional <math>f(x)=\tfrac{x}{x}</math> sama dengan 1 untuk semua ''x'' kecuali 0. Jumlah, produk, atau hasil bagi (kecuali pembagian dengan polinomial nol) dari dua fungsi rasional itu sendiri adalah fungsi rasional. Namun, proses reduksi ke bentuk standar dapat secara tidak sengaja menghasilkan penghapusan singularitasseperti itu kecuali dilakukan perawatan. |
Revisi terkini sejak 24 Juni 2024 00.15
Dalam matematika, fungsi rasional adalah fungsi yang dapat didefinisikan dengan fraksi rasional dalam fraksi aljabar sehingga pembilang dan penyebutnya adalah polinomial.
Definisi
[sunting | sunting sumber]Sebuah fungsi disebut fungsi rasional jika dan hanya jika fungsi tersebut dapat ditulis dalam bentuk
di mana dan adalah polinomial dari dan bukan fungsi nol. Domain dari adalah himpunan semua nilai untuk yang penyebutnya bukan nol.
Namun jika dan memiliki pembagi umum terbesar polinomial non-konstan , lalu dan menghasilkan fungsi rasional
yang mungkin memiliki domain lebih besar dari , dan sama dengan pada domain . Bentuk ini umumnya digunakan untuk mengidentifikasi dan untuk memperluas "kontinuitas" domain untuk .
Fungsi rasional yang tepat adalah fungsi rasional di mana derajat tidak lebih besar dari derajat dan keduanya polinomial nyata.
Contoh
[sunting | sunting sumber]Fungsi rasional
tidak didefinisikan pada
Ini asimptot untuk sebagai
Fungsi rasional
didefinisikan untuk semua bilangan riil, tetapi tidak untuk semua bilangan kompleks, karena jika x adalah akar kuadrat dari (bilangan imajiner atau negatifnya), maka penghitungan normal akan mengarah kepada pembagian nol:
yang tidak terdefinisi.
Fungsi konstan seperti adalah fungsi rasional karena konstanta merupakan polinomial. Fungsi itu sendiri merupakan rasional meskipun nilai dari tidak rasional untuk semua
Setiap fungsi polinom adalah fungsi rasional dengan Fungsi yang tidak dapat ditulis dalam bentuk ini, seperti bukan merupakan fungsi rasional. Kata sifat "irasional" umumnya tidak digunakan untuk fungsi.
Fungsi rasional sama dengan 1 untuk semua x kecuali 0. Jumlah, produk, atau hasil bagi (kecuali pembagian dengan polinomial nol) dari dua fungsi rasional itu sendiri adalah fungsi rasional. Namun, proses reduksi ke bentuk standar dapat secara tidak sengaja menghasilkan penghapusan singularitasseperti itu kecuali dilakukan perawatan.