Lompat ke isi

Fungsi delta Dirac: Perbedaan antara revisi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Tidak ada ringkasan suntingan
Kim Nansa (bicara | kontrib)
3.224 suntingan
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala
 
(16 revisi perantara oleh 7 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: Baris 1:
{{Cleanup|2=halaman masih berantakan, dimulai dari tata penulisan yang berantakan, judul yang masih acak-acakan, masih ada kalimat bahasa Inggris, hingga istilah matematika yang diterjemahkan belum akurat.}}
⚫
'''Fungsi Delta Dirac''' adalah nama yang diberikan untuk [[struktur matematika]], dan dimaksudkan mewakili suatu objek titik ideal, seperti [[massa titik]] atau [[muatan titik]]. Fungsi Delta Dirac memiliki aplikasi yang luas dalam [[mekanika kuantum]] dan sisanya dari [[Fisika kuantumx|fisika kuantum]]. Fungsi ini biasanya digunakan dalam fungsi [[gelombang kuantum]] . Fungsi ini diwakili dengan [[simbol]] [[Yunani]], dan ditulis dengan huruf kecil, sebagai fungsi: δ ( ''x'' ). <ref>{{Cite web|url=https://www.greelane.com/id/sains-teknologi-matematika/ilmu/dirac-delta-function-3862240/|title=Bagaimana Fungsi Dirac Delta Works · www.greelane.com - Sumber Daya Pendidikan Terbesar di Dunia|date=2018-01-31|website=www.greelane.com - Sumber Daya Pendidikan Terbesar di Dunia|language=id-ID|access-date=2020-02-16}}</ref> Fungsi Delta Dirac diiperkenalkan pertama kali, oleh [[fisikawan]] [[Inggris]] [[Paul A.M. Dirac|Paul. A. M. Dirac]], untuk mengambarkan suatu [[fenomena]] [[fisika]] yang memiliki nilai pada suatu titik (singular) , namun pada titik yang lain nilainya sama dengan nol. Selain itu, [[integral]] dari fungsi tersebut sepanjang [[Interval (matematika)|interval]], domainnya sama dengan satu. <ref name=":0">{{Cite journal|last=Wirianto|first=Marwan|year=Maret 2005|title=Fungsi Delta Dirac|url=https://docplayer.info/40336888-Fungsi-delta-dirac-marwan-wirianto-1-dan-wono-setya-budhi-2.html|journal=|volume=|issue=|pages=|doi=}}</ref>
Dalam [[matematika]], '''fungsi delta Dirac''' (fungsi '''δ'''), juga dikenal sebagai simbol impuls satuan,{{sfn|Bracewell|1986|loc=Chapter 5}} adalah fungsi umum atau distribusi atas bilangan real, yang nilainya nol di mana-mana kecuali di nol, dan yang integralnya di seluruh real garis sama dengan satu.{{sfn|Arfken|Weber|2000|p=84}}{{sfn|Dirac|1930|loc=§22 The ''δ'' function}}{{sfn|Gelfand|Shilov|1966–1968|loc=Volume I, §1.1}}
==Definisi yang lebih lengkap==
⚫
'''Fungsi Delta Dirac''' adalah nama yang diberikan untuk [[struktur matematika]], dan dimaksudkan mewakili suatu objek titik ideal, seperti [[massa titik]] atau [[muatan titik]]. Fungsi Delta Dirac memiliki aplikasi yang luas dalam [[mekanika kuantum]] dan sisanya dari [[Fisika kuantumx|fisika kuantum]]. Fungsi ini biasanya digunakan dalam fungsi [[gelombang kuantum]] . Fungsi ini diwakili dengan [[simbol]] [[Yunani]], dan ditulis dengan huruf kecil, sebagai fungsi: δ ( ''x'' ).<ref>{{Cite web|url=https://www.greelane.com/id/sains-teknologi-matematika/ilmu/dirac-delta-function-3862240/|title=Bagaimana Fungsi Dirac Delta Works · www.greelane.com - Sumber Daya Pendidikan Terbesar di Dunia|date=2018-01-31|website=www.greelane.com - Sumber Daya Pendidikan Terbesar di Dunia|language=id-ID|access-date=2020-02-16|archive-date=2022-06-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220611134405/https://www.greelane.com/id/sains-teknologi-matematika/ilmu/dirac-delta-function-3862240/|dead-url=no}}</ref> Fungsi Delta Dirac diiperkenalkan pertama kali, oleh [[fisikawan]] [[Inggris]] [[Paul A.M. Dirac|Paul. A. M. Dirac]], untuk mengambarkan suatu [[fenomena]] [[fisika]] yang memiliki nilai pada suatu titik (singular) , namun pada titik yang lain nilainya sama dengan nol. Selain itu, [[integral]] dari fungsi tersebut sepanjang [[Interval (matematika)|interval]], domainnya sama dengan satu.<ref name=":0">{{Cite journal|last=Wirianto|first=Marwan|year=Maret 2005|title=Fungsi Delta Dirac|url=https://docplayer.info/40336888-Fungsi-delta-dirac-marwan-wirianto-1-dan-wono-setya-budhi-2.html|journal=|volume=|issue=|pages=|doi=|access-date=2020-02-16|archive-date=2022-06-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20220611134319/https://docplayer.info/40336888-Fungsi-delta-dirac-marwan-wirianto-1-dan-wono-setya-budhi-2.html|dead-url=no}}</ref>


== Sejarah ==
== Sejarah ==
[[Berkas:Paul Dirac, 1933.gif|al=|jmpl|Paul A.M. Dirac,]]
[[Berkas:Paul Dirac, 1933.gif|al=|jmpl|Paul A.M. Dirac,]]
Fungsi delta muncul pada awal abad ke -19, dalam karya-karya [[Poission]] (1815), [[Fourier]] (1822) dan [[Cauchy]] (1823). <ref name=":1">{{Cite web|url=http://physics.unipune.ac.in/~phyed/27.1/1191%20revised(27.1).pdf|title=Fungsi delta Dirac|last=|first=|date=|website=|access-date=}}</ref> Selanjutnya [[O Heaviside]] (1883)dan [[G Kirchoff]] (1891) memberikan definisi matematika pertama dari fungsi delta. Paul. A. M. Dirac (1926), yang memperkenalkan fungsi delta dalam karya klasik dan fundamentalnya, yaitu mekanika kuantum. <ref>{{Cite web|url=http://functions.wolfram.com/GeneralizedFunctions/DiracDelta/35/|title=Dirac delta function: History|website=functions.wolfram.com|access-date=2020-02-16}}</ref>
Fungsi delta muncul pada awal abad ke -19, dalam karya-karya [[Poission]] (1815), [[Fourier]] (1822) dan [[Cauchy]] (1823).<ref name=":1">{{Cite web|url=http://physics.unipune.ac.in/~phyed/27.1/1191%20revised(27.1).pdf|title=Fungsi delta Dirac|last=|first=|date=|website=|access-date=|archive-date=2022-08-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20220810192234/http://physics.unipune.ac.in/~phyed/27.1/1191%20revised(27.1).pdf|dead-url=yes}}</ref> Selanjutnya [[O Heaviside]] (1883)dan [[G Kirchoff]] (1891) memberikan definisi [[matematika]] pertama dari fungsi delta. Paul. A. M. Dirac (1926), yang memperkenalkan fungsi delta dalam karya klasik dan fundamentalnya, yaitu [[mekanika kuantum]].<ref>{{Cite web|url=http://functions.wolfram.com/GeneralizedFunctions/DiracDelta/35/|title=Dirac delta function: History|website=functions.wolfram.com|access-date=2020-02-16|archive-date=2020-09-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20200922122819/https://functions.wolfram.com/GeneralizedFunctions/DiracDelta/35/|dead-url=no}}</ref>


Paul. A. M. Dirac mencatat beberapa daftar properti yang berguna dan penting dari fungsi delta. Penggunaan fungsi delta menjadi semakin umum kemudian. Fungsi δ ( x ) dikenal sebagai Fungsi Delta Dirac, karena alasan historis. Saat itu fungsi delta bukan merupakan fungsi x dalam pengertian konvensional, yang membutuhkan fungsi untuk memiliki definit nilai pada setiap titik dalam domainnya. Karenanya δ ( x ) tidak dapat digunakan dalam matematika analisis seperti fungsi biasa. Dalam literatur matematika dikenal sebagai fungsi atau distribusi umum, daripada fungsi yang didefinisikan dalam arti biasa. <ref name=":1" />
Paul. A. M. Dirac mencatat beberapa daftar properti yang berguna dan penting dari fungsi delta. Penggunaan fungsi delta menjadi semakin umum kemudian. Fungsi δ ( x ) dikenal sebagai Fungsi Delta Dirac, karena alasan historis. Saat itu fungsi delta bukan merupakan fungsi x dalam pengertian konvensional, yang membutuhkan fungsi untuk memiliki definit nilai pada setiap titik dalam domainnya. Karenanya δ ( x ) tidak dapat digunakan dalam matematika analisis seperti fungsi biasa. Dalam literatur matematika fungsi delta dikenal sebagai fungsi atau distribusi umum, daripada fungsi yang didefinisikan dalam arti biasa.<ref name=":1" />


== Properti ==
== Properti ==
Adapun komponen (properti) penting yang harus ada pada fungsi delta dirac antara lain:
Adapun komponen (properti) penting yang harus ada pada Fungsi Delta Dirac antara lain:


* '''Integral'''.
* '''Integral'''.


Merupakan salah satu properti paling penting dari fungsi delta. <ref name=":2">{{Cite web|url=https://www.physics.byu.edu/faculty/colton/courses/phy471-winter19/day%2022%20-%20Dirac%20delta%20functions.pdf|title=Delta Dirac Function|last=|first=|date=|website=|access-date=}}</ref>
Merupakan salah satu properti paling penting dari fungsi delta.<ref name=":2">{{Cite web|url=https://www.physics.byu.edu/faculty/colton/courses/phy471-winter19/day%2022%20-%20Dirac%20delta%20functions.pdf|title=Delta Dirac Function|last=|first=|date=|website=|access-date=|archive-date=2020-02-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20200216223611/https://www.physics.byu.edu/faculty/colton/courses/phy471-winter19/day%252022%2520-%2520Dirac%2520delta%2520functions.pdf|dead-url=yes}}</ref>


* '''Memilah properti'''
* '''Memilah properti'''


Ketika fungsi delta dikalikan dengan fungsi lain, maka semua produk harus menjadi nol, kecuali di lokasi puncak tanpa batas. Di lokasi itu produk tidak terbatas (seperti fungsi delta) harus berupa infinity "lebih besar" atau "lebih kecil". Perumpamaan tersebut masuk akal untuk digunakan, tergantung pada apakah nilai pada saat itu lebih besar atau lebih kecil dari 1. Dengan kata lain, area dari fungsi produk tidak hanya 1 lagi, tetapi itu adalah 1 kali nilai pada puncak yang tak terbatas. Dalam fungsi delta, ini disebut "[[Properti pengayakan|Sifting Property]] ". <ref name=":2" />
Ketika fungsi delta dikalikan dengan fungsi lain, maka semua produk harus menjadi nol, kecuali di lokasi puncak tanpa batas. Di lokasi itu produk tidak terbatas (seperti fungsi delta) harus berupa infinity "lebih besar" atau "lebih kecil". Perumpamaan tersebut masuk akal untuk digunakan, tergantung pada apakah nilai pada saat itu lebih besar atau lebih kecil dari 1. Dengan kata lain, area dari fungsi produk tidak hanya 1 lagi, tetapi itu adalah 1 kali nilai pada puncak yang tak terbatas. Dalam fungsi delta, ini disebut "[[Properti pengayakan|Sifting Property]] ".<ref name=":2" />


* '''Simetri'''
* '''Simetri'''


Beberapa properti lain dapat dengan mudah dilihat dari definisi fungsi delta. <ref name=":2" />
Beberapa properti lain dapat dengan mudah dilihat dari definisi fungsi delta.<ref name=":2" />


* '''Sistem linear'''
* '''Sistem linear'''


Jika sistem fisik memiliki respons linier dan jika responsnya terhadap fungsi delta (Impulsnya diketahui), maka output dari sistem ini dapat ditentukan untuk hampir semua input, tidak masalah betapa rumit prosesnya. Properti yang luar biasa dari sistem linear ini merupakan hasil dari hampir semua fungsi sewenang-wenang yang dapat didekomposisi menjadi (atau "disampel oleh") kombinasi linear dari fungsi delta (dengan syarat masing-masing fungsi tertimbang dengan tepat, dan menghasilkan respons impulsnya sendiri). Jadi, dengan penerapan [[prinsip superposisi]], respons keseluruhan terhadap input sewenang-wenang dapat ditemukan dengan menjumlahkan semua tanggapan impuls nilai-nilai sampel dari fungsi. <ref name=":2" />
Jika sistem fisik memiliki respons linier dan jika responsnya terhadap fungsi delta (Impulsnya diketahui), maka output dari sistem ini dapat ditentukan untuk hampir semua input, tidak masalah betapa rumit prosesnya. Properti yang luar biasa dari sistem linear ini merupakan hasil dari hampir semua fungsi sewenang-wenang yang dapat didekomposisi menjadi (atau "disampel oleh") [[kombinasi linear]] dari fungsi delta (dengan syarat masing-masing fungsi tertimbang dengan tepat, dan menghasilkan respons impulsnya sendiri). Jadi, dengan penerapan [[prinsip superposisi]], respons keseluruhan terhadap input sewenang-wenang dapat ditemukan dengan menjumlahkan semua tanggapan impuls nilai-nilai sampel dari fungsi.<ref name=":2" />


Fungsi Delta Dirac juga digunakan untuk mendapatkan notasi yang tepat untuk berurusan dengan jumlah yang melibatkan jenis tak terbatas tertentu. Lebih khusus lagi terkait dengan fakta bahwa [[fungsi eigen]] milik [[nilai eigen]] dalam [[kontinum]] adalah tidak dinormalisasi, atau dengan kata lain, normanya adalah tak terbatas. <ref name=":1" />
Fungsi Delta Dirac juga digunakan untuk mendapatkan notasi yang tepat untuk berurusan dengan jumlah yang melibatkan jenis tak terbatas tertentu. Lebih khusus lagi terkait dengan fakta bahwa [[fungsi eigen]] milik [[nilai eigen]] dalam [[kontinum]] adalah tidak dinormalisasi, atau dengan kata lain, normanya adalah tak terbatas.<ref name=":1" />


== Deskripsi ==
== Deskripsi ==
[[Berkas:Dirac function approximation.gif|jmpl|Ilustratsi Fungsi Delta Dirac ]]
[[Berkas:Dirac function approximation.gif|jmpl|Ilustratsi Fungsi Delta Dirac]]
Dalam satu [[dimensi]] Fungsi Delta Dirac dituliskan dengan δ ( x − a), merupakan suatu “fungsi” yang secara matematis tidak memenuhi kriteria sebagai sebuah fungsi, karena bernilai tak hingga pada suatu titik. Namun, dalam fisika, Fungsi Delta Dirac merupakan konstruksi yang penting. Jika Fungsi Delta Dirac berbentuk δ ( ''x'' ), artinya ''x'' = 0 maka fungsi ini bernilai tak hingga pada titik = 0 dan bernilai nol pada titik lainnya. Fungsi Delta Dirac mirip dengan [[fungsi gaussian]] dengan area yang sangat sempit dan dengan puncak yang tak hingga. <ref>{{Cite web|url=http://staff.unila.ac.id/wsuane/files/2012/11/4.-Potensial-Fungsi-Delta.pdf|title=Potensial Fungsi Delta|last=|first=|date=|website=|access-date=}}</ref>
Dalam satu [[dimensi]] Fungsi Delta Dirac dituliskan dengan δ ( x − a), merupakan suatu “fungsi” yang secara matematis tidak memenuhi kriteria sebagai sebuah fungsi, karena bernilai tak hingga pada suatu titik. Namun, dalam fisika, Fungsi Delta Dirac merupakan konstruksi yang penting. Jika Fungsi Delta Dirac berbentuk δ ( ''x'' ), artinya ''x'' = 0 maka fungsi ini bernilai tak hingga pada titik = 0 dan bernilai nol pada titik lainnya. Fungsi Delta Dirac mirip dengan [[fungsi gaussian]] dengan area yang sangat sempit dan dengan puncak yang tak hingga.<ref>{{Cite web|url=http://staff.unila.ac.id/wsuane/files/2012/11/4.-Potensial-Fungsi-Delta.pdf|title=Potensial Fungsi Delta|last=|first=|date=|website=|access-date=|archive-date=2016-03-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20160327042923/http://staff.unila.ac.id/wsuane/files/2012/11/4.-Potensial-Fungsi-Delta.pdf|dead-url=yes}}</ref>


Fungsi Delta Dirac merupakan fungsi yang luar biasa, karena hanya mempunyai nilai di satu titik, dan nol di tempat lain, dan hasil integralnya = 1. Fungsi ini merupakan fungsi yang benar-benar singular dan memiliki nilai tak hingga di satu titik, dan nol di tempat lain. Integral fungsi delta adalah satu, sedang integral dengan fungsi lain menghasilkan nilai fungsi di tempat tersebut atau bersifat mencuplik fungsi. <ref>{{Cite web|url=https://studylibid.com/doc/345050/fungsi-delta-dirac|title=Fungsi Delta Dirac|website=studylibid.com|language=en|access-date=2020-02-16}}</ref>
Fungsi Delta Dirac merupakan fungsi yang luar biasa, karena hanya mempunyai nilai di satu titik, dan nol di tempat lain, dan hasil integralnya = 1. Fungsi ini merupakan fungsi yang benar-benar singular dan memiliki nilai tak hingga di satu titik, dan nol di tempat lain. Integral Fungsi Delta Dirac adalah satu, sedang integral dengan fungsi lain menghasilkan nilai fungsi di tempat tersebut atau bersifat mencuplik fungsi.<ref>{{Cite web|url=https://studylibid.com/doc/345050/fungsi-delta-dirac|title=Fungsi Delta Dirac|website=studylibid.com|language=en|access-date=2020-02-16|archive-date=2022-08-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20220801092109/https://studylibid.com/doc/345050/fungsi-delta-dirac|dead-url=no}}</ref>


Fungsi Delta Dirac seringkali ditemukan pada fenomena - fenomena fisika tetapi maknanya tidak seperti fungsi yang dikenal dalam [[matematika]]. Selain itu integral fungsi tersebut sepanjang interval domainnya sama dengan satu. Beberapa masalah yang hendak diselesaikan dengan fungsi Delta Dirac adalah untuk mengetahui bagaiamana bentuk dari fungsi Delta Dirac tersebut, Bentuk transforasi laplace dari fungsi Delta Dirac, Sifat-sifat dari Fungsi Delta Dirac, Konvolusi fungsi Delta Dirac serta Aplikasi fungsi Delta Dirac pada persamaan differensial. <ref>{{Cite web|url=http://eprints.umm.ac.id/2526/1/KAJIAN_FUNGSI_DELTA_DIRAC.pdf|title=Fungsi Delta Dirac|last=|first=|date=|website=|access-date=}}</ref>
Fungsi Delta Dirac sering kali ditemukan pada beberapa fenomena fisika, tetapi maknanya tidak seperti fungsi yang ada pada [[matematika]]. Selain itu integral fungsi tersebut sepanjang interval, domainnya sama dengan satu. Beberapa masalah yang hendak diselesaikan dengan Fungsi Delta Dirac adalah untuk mengetahui bagaiamana bentuk dari Fungsi Delta Dirac tersebut, Bentuk transforasi laplace dari Fungsi Delta Dirac, Sifat-sifat dari Fungsi Delta Dirac, Konvolusi Fungsi Delta Dirac serta Aplikasi Fungsi Delta Dirac pada persamaan differensial.<ref>{{Cite web|url=http://eprints.umm.ac.id/2526/1/KAJIAN_FUNGSI_DELTA_DIRAC.pdf|title=Fungsi Delta Dirac|last=|first=|date=|website=|access-date=|archive-date=2019-08-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20190819230224/http://eprints.umm.ac.id/2526/1/KAJIAN_FUNGSI_DELTA_DIRAC.pdf|dead-url=no}}</ref>


Dalam beberapa fenomena fisika. manusia berhubungan dengan suatu kejadian yang sifatnya impulsif (terjadi pada selang waktu yang singkat). Contoh peristiwa tersebut diantaranya: saat bola golf dipukul dengan stik, saat kejutan listrik, saat tumbukan antar massa, maupun saat transfer panas, dan sebagainya. Pada kasus bola golf, ketika bola golf yang dipukul dengan stik, tentunya bola golf tidak akan menempel pada alat pemukul untuk jangka waktu yang lama. Misalkan fungsi δ menyatakan besarnya gaya yang diberikan stik terhadap bola golf dan bekerja pada saat t = t, maka akan diperoleh nilai = untuk t < t maupun t > t. Sedangkan reaksi dari gaya ini dapat dituliskan , setelah dinormalisasi, sebagai: = 1. Nilai pada ruas kanan persamaan tersebut tidak boleh sama dengan nol karena reaksi pada kejadian ini ada, yaitu ketika bola golf yang melesat akibat pukulan stik tersebut. <ref name=":0" />
Dalam beberapa fenomena fisika. manusia berhubungan dengan suatu kejadian yang sifatnya impulsif (terjadi pada selang waktu yang singkat). Contoh peristiwa tersebut diantaranya: saat bola golf dipukul dengan stik, saat kejutan listrik, saat tumbukan antar massa, maupun saat transfer panas, dan lain sebagainya. Pada kasus bola golf misalnya, ketika bola golf dipukul menggunakan stik, tentunya bola golf tidak akan menempel pada alat pemukul dalam jangka waktu yang lama. Misalkan fungsi δ menyatakan besarnya gaya yang diberikan stik terhadap bola golf dan bekerja pada saat t = t, maka akan diperoleh nilai = untuk t < t maupun t > t. Sedangkan reaksi dari gaya ini dapat dituliskan, setelah dinormalisasi, sebagai: = 1. Nilai pada ruas kanan persamaan tersebut tidak boleh sama dengan nol, karena terjadi reaksi pada kejadian ini, yaitu ketika bola golf yang melesat akibat pukulan stik tersebut.<ref name=":0" />


Fungsi Delta Dirac juga sangat berguna sebagai perkiraan untuk fungsi lonjakan sempit dan tinggi, seperti suatu impuls. Misalnya, untuk menghitung dinamika [[bisbol]] yang terkena [[Pemukul bisbol|bat]]. Perkiraan kekuatan bat yang digunakan untuk mukul bisbol dapa dihitung dengan fungsi delta. Fungsi delta tidak hanya memungkinkan persamaan untuk disederhanakan, tetapi juga memungkinkan gerakan bisbol dihitung dengan hanya mempertimbangkan impuls total pukulan bat terhadap bola, daripada rincian tentang bagaimana bat mentransfer energi ke bola. Namun, tercatat bahwa Fungsi Delta Dirac tidak sepenuhnya bekerja. Meskipun demikian, Fungsi Delta Dirac dapat dimanipulasi untuk banyak tujuan dan dapat secara resmi didefinisikan sebagai fungsi umum ataupun sebagai distribusi yang juga merupakan ukuran. <ref>{{Cite web|url=https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/dirac-delta-function|title=Dirac Delta Function - an overview {{!}} ScienceDirect Topics|website=www.sciencedirect.com|access-date=2020-02-16}}</ref>
Fungsi Delta Dirac juga sangat berguna sebagai perkiraan untuk fungsi lonjakan sempit dan tinggi, seperti suatu impuls. Misalnya, untuk menghitung dinamika [[bisbol]] yang terkena [[Pemukul bisbol|bat]]. Perkiraan kekuatan bat yang digunakan untuk mukul bisbol dapa dihitung dengan Fungsi Delta Dirac. Fungsi Delta Dirac tidak hanya memungkinkan persamaan untuk disederhanakan, tetapi juga memungkinkan gerakan bisbol dihitung dengan hanya mempertimbangkan impuls total pukulan bat terhadap bola, daripada rincian tentang bagaimana bat mentransfer energi ke bola. Namun, tercatat bahwa Fungsi Delta Dirac tidak sepenuhnya bekerja. Meskipun demikian, Fungsi Delta Dirac dapat dimanipulasi untuk banyak tujuan dan dapat secara resmi didefinisikan sebagai fungsi umum ataupun sebagai distribusi yang juga merupakan ukuran.<ref>{{Cite web|url=https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/dirac-delta-function|title=Dirac Delta Function - an overview {{!}} ScienceDirect Topics|website=www.sciencedirect.com|access-date=2020-02-16|archive-date=2023-04-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20230405174454/https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/dirac-delta-function|dead-url=no}}</ref>


== Fungsi Definisi ==
== Fungsi Definisi ==
Baris 44: Baris 47:
* '''Definisi sebagai batas'''
* '''Definisi sebagai batas'''


Fungsi Dirac delta dapat dianggap sebagai bentuk persegi panjang yang tumbuh lebih sempit dan sementara secara bersamaan tumbuh lebih besar. <ref name=":2" />
Fungsi Dirac delta dapat dianggap sebagai bentuk [[persegi panjang]] yang tumbuh lebih sempit dan sementara secara bersamaan tumbuh lebih besar.<ref name=":2" />


* '''Definisi sebagai turunan dari fungsi langkah'''
* '''Definisi sebagai turunan dari fungsi langkah'''


Fungsi langkah, juga disebut "fungsi langkah Heaviside" biasanya didefinisikan seperti ini: <ref name=":2" />
Fungsi langkah, juga disebut "fungsi langkah Heaviside" biasanya didefinisikan seperti ini:<ref name=":2" />


H(x) = 0 for x < 0, H(x) = 0.5 for x = 0 H(x) = 1 for x > 0
H(x) = 0 for x < 0, H(x) = 0.5 for x = 0 H(x) = 1 for x > 0
Baris 58: Baris 61:
* '''Definisi sebagai transformasi Fourier'''
* '''Definisi sebagai transformasi Fourier'''


Transformasi Fourier dari suatu fungsi memberi Anda frekuensi komponen fungsi. Yang kita dapatkan ketika mengambil transformasi Fourier dari sinus murni atau kosinus berosilasi di gelombang, hanyalah satu komponen frekuensi, jadi transformasi Fourier harus a tunggal, dengan puncak yang sangat besar tepat di Fungsi delta. <ref name=":2" />
Transformasi Fourier dari suatu fungsi memberi Anda frekuensi komponen fungsi. Yang kita dapatkan ketika mengambil [[transformasi Fourier]] dari sinus murni atau kosinus berosilasi di gelombang, hanyalah satu komponen frekuensi, jadi transformasi Fourier harus a tunggal, dengan puncak yang sangat besar tepat di Fungsi Delta Dirac.<ref name=":2" />


* '''Definisi sebagai kepadatan'''
* '''Definisi sebagai kepadatan'''


Fungsi yang mewakili kepadatan 1 kg titik massa yang terletak diasal, adalah fungsi yang harus nol di mana-mana kecuali pada titik asal. Selain itu, harus tanpa batas besar pada titik asal, karena untuk massa yang benar-benar hanya menempati satu titik, massa per volume adalah tak terbatas. <ref name=":2" />
Fungsi yang mewakili kepadatan 1&nbsp;kg titik massa yang terletak diasal, adalah fungsi yang harus nol di mana-mana kecuali pada titik asal. Selain itu, harus tanpa batas besar pada titik asal, karena untuk massa yang benar-benar hanya menempati satu titik, massa per volume adalah tak terbatas.<ref name=":2" />


Yang ada pada daftar dibawah merupakan beberapa properti dari Fungsi Delta Dirac, tanpa asumsi dan representasi khusus. Bahkan, sifat-sifat ini adalah persamaan, yang pada dasarnya adalah aturan untuk manipulasi untuk pekerjaan aljabar yang melibatkan fungsi δ ( x ). Arti dari persamaan ini adalah bahwa sisi kiri dan kanan ketika digunakan sebagai faktor pengali di bawah integral mengarah ke hasil yang sama. <ref name=":1" />
Yang ada pada daftar dibawah merupakan beberapa properti dari Fungsi Delta Dirac, tanpa asumsi dan representasi khusus. Bahkan, sifat-sifat ini adalah persamaan, yang pada dasarnya adalah aturan untuk manipulasi untuk pekerjaan aljabar yang melibatkan fungsi δ ( x ). Arti dari persamaan ini adalah bahwa sisi kiri dan kanan ketika digunakan sebagai faktor pengali di bawah integral mengarah ke hasil yang sama.<ref name=":1" />


* δ ( x ) = δ ( - x )
* δ ( x ) = δ ( - x )
Baris 71: Baris 74:


== Referensi ==
== Referensi ==
<references />
<references />{{Daftar fungsi matematika}}{{Authority control}}


[[Kategori:Fisika]]
[[Kategori:Fisika]]

Revisi terkini sejak 4 Juli 2024 00.03

Dalam matematika, fungsi delta Dirac (fungsi δ), juga dikenal sebagai simbol impuls satuan,[1] adalah fungsi umum atau distribusi atas bilangan real, yang nilainya nol di mana-mana kecuali di nol, dan yang integralnya di seluruh real garis sama dengan satu.[2][3][4]

Definisi yang lebih lengkap

[sunting | sunting sumber]

Fungsi Delta Dirac adalah nama yang diberikan untuk struktur matematika, dan dimaksudkan mewakili suatu objek titik ideal, seperti massa titik atau muatan titik. Fungsi Delta Dirac memiliki aplikasi yang luas dalam mekanika kuantum dan sisanya dari fisika kuantum. Fungsi ini biasanya digunakan dalam fungsi gelombang kuantum . Fungsi ini diwakili dengan simbol Yunani, dan ditulis dengan huruf kecil, sebagai fungsi: δ ( x ).[5] Fungsi Delta Dirac diiperkenalkan pertama kali, oleh fisikawan Inggris Paul. A. M. Dirac, untuk mengambarkan suatu fenomena fisika yang memiliki nilai pada suatu titik (singular) , namun pada titik yang lain nilainya sama dengan nol. Selain itu, integral dari fungsi tersebut sepanjang interval, domainnya sama dengan satu.[6]

Sejarah

[sunting | sunting sumber]
Paul A.M. Dirac,

Fungsi delta muncul pada awal abad ke -19, dalam karya-karya Poission (1815), Fourier (1822) dan Cauchy (1823).[7] Selanjutnya O Heaviside (1883)dan G Kirchoff (1891) memberikan definisi matematika pertama dari fungsi delta. Paul. A. M. Dirac (1926), yang memperkenalkan fungsi delta dalam karya klasik dan fundamentalnya, yaitu mekanika kuantum.[8]

Paul. A. M. Dirac mencatat beberapa daftar properti yang berguna dan penting dari fungsi delta. Penggunaan fungsi delta menjadi semakin umum kemudian. Fungsi δ ( x ) dikenal sebagai Fungsi Delta Dirac, karena alasan historis. Saat itu fungsi delta bukan merupakan fungsi x dalam pengertian konvensional, yang membutuhkan fungsi untuk memiliki definit nilai pada setiap titik dalam domainnya. Karenanya δ ( x ) tidak dapat digunakan dalam matematika analisis seperti fungsi biasa. Dalam literatur matematika fungsi delta dikenal sebagai fungsi atau distribusi umum, daripada fungsi yang didefinisikan dalam arti biasa.[7]

Properti

[sunting | sunting sumber]

Adapun komponen (properti) penting yang harus ada pada Fungsi Delta Dirac antara lain:

  • Integral.

Merupakan salah satu properti paling penting dari fungsi delta.[9]

  • Memilah properti

Ketika fungsi delta dikalikan dengan fungsi lain, maka semua produk harus menjadi nol, kecuali di lokasi puncak tanpa batas. Di lokasi itu produk tidak terbatas (seperti fungsi delta) harus berupa infinity "lebih besar" atau "lebih kecil". Perumpamaan tersebut masuk akal untuk digunakan, tergantung pada apakah nilai pada saat itu lebih besar atau lebih kecil dari 1. Dengan kata lain, area dari fungsi produk tidak hanya 1 lagi, tetapi itu adalah 1 kali nilai pada puncak yang tak terbatas. Dalam fungsi delta, ini disebut "Sifting Property ".[9]

  • Simetri

Beberapa properti lain dapat dengan mudah dilihat dari definisi fungsi delta.[9]

  • Sistem linear

Jika sistem fisik memiliki respons linier dan jika responsnya terhadap fungsi delta (Impulsnya diketahui), maka output dari sistem ini dapat ditentukan untuk hampir semua input, tidak masalah betapa rumit prosesnya. Properti yang luar biasa dari sistem linear ini merupakan hasil dari hampir semua fungsi sewenang-wenang yang dapat didekomposisi menjadi (atau "disampel oleh") kombinasi linear dari fungsi delta (dengan syarat masing-masing fungsi tertimbang dengan tepat, dan menghasilkan respons impulsnya sendiri). Jadi, dengan penerapan prinsip superposisi, respons keseluruhan terhadap input sewenang-wenang dapat ditemukan dengan menjumlahkan semua tanggapan impuls nilai-nilai sampel dari fungsi.[9]

Fungsi Delta Dirac juga digunakan untuk mendapatkan notasi yang tepat untuk berurusan dengan jumlah yang melibatkan jenis tak terbatas tertentu. Lebih khusus lagi terkait dengan fakta bahwa fungsi eigen milik nilai eigen dalam kontinum adalah tidak dinormalisasi, atau dengan kata lain, normanya adalah tak terbatas.[7]

Deskripsi

[sunting | sunting sumber]
Ilustratsi Fungsi Delta Dirac

Dalam satu dimensi Fungsi Delta Dirac dituliskan dengan δ ( x − a), merupakan suatu “fungsi” yang secara matematis tidak memenuhi kriteria sebagai sebuah fungsi, karena bernilai tak hingga pada suatu titik. Namun, dalam fisika, Fungsi Delta Dirac merupakan konstruksi yang penting. Jika Fungsi Delta Dirac berbentuk δ ( x ), artinya x = 0 maka fungsi ini bernilai tak hingga pada titik = 0 dan bernilai nol pada titik lainnya. Fungsi Delta Dirac mirip dengan fungsi gaussian dengan area yang sangat sempit dan dengan puncak yang tak hingga.[10]

Fungsi Delta Dirac merupakan fungsi yang luar biasa, karena hanya mempunyai nilai di satu titik, dan nol di tempat lain, dan hasil integralnya = 1. Fungsi ini merupakan fungsi yang benar-benar singular dan memiliki nilai tak hingga di satu titik, dan nol di tempat lain. Integral Fungsi Delta Dirac adalah satu, sedang integral dengan fungsi lain menghasilkan nilai fungsi di tempat tersebut atau bersifat mencuplik fungsi.[11]

Fungsi Delta Dirac sering kali ditemukan pada beberapa fenomena fisika, tetapi maknanya tidak seperti fungsi yang ada pada matematika. Selain itu integral fungsi tersebut sepanjang interval, domainnya sama dengan satu. Beberapa masalah yang hendak diselesaikan dengan Fungsi Delta Dirac adalah untuk mengetahui bagaiamana bentuk dari Fungsi Delta Dirac tersebut, Bentuk transforasi laplace dari Fungsi Delta Dirac, Sifat-sifat dari Fungsi Delta Dirac, Konvolusi Fungsi Delta Dirac serta Aplikasi Fungsi Delta Dirac pada persamaan differensial.[12]

Dalam beberapa fenomena fisika. manusia berhubungan dengan suatu kejadian yang sifatnya impulsif (terjadi pada selang waktu yang singkat). Contoh peristiwa tersebut diantaranya: saat bola golf dipukul dengan stik, saat kejutan listrik, saat tumbukan antar massa, maupun saat transfer panas, dan lain sebagainya. Pada kasus bola golf misalnya, ketika bola golf dipukul menggunakan stik, tentunya bola golf tidak akan menempel pada alat pemukul dalam jangka waktu yang lama. Misalkan fungsi δ menyatakan besarnya gaya yang diberikan stik terhadap bola golf dan bekerja pada saat t = t, maka akan diperoleh nilai = untuk t < t maupun t > t. Sedangkan reaksi dari gaya ini dapat dituliskan, setelah dinormalisasi, sebagai: = 1. Nilai pada ruas kanan persamaan tersebut tidak boleh sama dengan nol, karena terjadi reaksi pada kejadian ini, yaitu ketika bola golf yang melesat akibat pukulan stik tersebut.[6]

Fungsi Delta Dirac juga sangat berguna sebagai perkiraan untuk fungsi lonjakan sempit dan tinggi, seperti suatu impuls. Misalnya, untuk menghitung dinamika bisbol yang terkena bat. Perkiraan kekuatan bat yang digunakan untuk mukul bisbol dapa dihitung dengan Fungsi Delta Dirac. Fungsi Delta Dirac tidak hanya memungkinkan persamaan untuk disederhanakan, tetapi juga memungkinkan gerakan bisbol dihitung dengan hanya mempertimbangkan impuls total pukulan bat terhadap bola, daripada rincian tentang bagaimana bat mentransfer energi ke bola. Namun, tercatat bahwa Fungsi Delta Dirac tidak sepenuhnya bekerja. Meskipun demikian, Fungsi Delta Dirac dapat dimanipulasi untuk banyak tujuan dan dapat secara resmi didefinisikan sebagai fungsi umum ataupun sebagai distribusi yang juga merupakan ukuran.[13]

Fungsi Definisi

[sunting | sunting sumber]
  • Definisi sebagai batas

Fungsi Dirac delta dapat dianggap sebagai bentuk persegi panjang yang tumbuh lebih sempit dan sementara secara bersamaan tumbuh lebih besar.[9]

  • Definisi sebagai turunan dari fungsi langkah

Fungsi langkah, juga disebut "fungsi langkah Heaviside" biasanya didefinisikan seperti ini:[9]

H(x) = 0 for x < 0, H(x) = 0.5 for x = 0 H(x) = 1 for x > 0

  1. H ( x ) = 0 untuk x < 0
  2. H ( x ) = 0,5 untuk x = 0
  3. H ( x ) = 1 untuk x > 0
  • Definisi sebagai transformasi Fourier

Transformasi Fourier dari suatu fungsi memberi Anda frekuensi komponen fungsi. Yang kita dapatkan ketika mengambil transformasi Fourier dari sinus murni atau kosinus berosilasi di gelombang, hanyalah satu komponen frekuensi, jadi transformasi Fourier harus a tunggal, dengan puncak yang sangat besar tepat di Fungsi Delta Dirac.[9]

  • Definisi sebagai kepadatan

Fungsi yang mewakili kepadatan 1 kg titik massa yang terletak diasal, adalah fungsi yang harus nol di mana-mana kecuali pada titik asal. Selain itu, harus tanpa batas besar pada titik asal, karena untuk massa yang benar-benar hanya menempati satu titik, massa per volume adalah tak terbatas.[9]

Yang ada pada daftar dibawah merupakan beberapa properti dari Fungsi Delta Dirac, tanpa asumsi dan representasi khusus. Bahkan, sifat-sifat ini adalah persamaan, yang pada dasarnya adalah aturan untuk manipulasi untuk pekerjaan aljabar yang melibatkan fungsi δ ( x ). Arti dari persamaan ini adalah bahwa sisi kiri dan kanan ketika digunakan sebagai faktor pengali di bawah integral mengarah ke hasil yang sama.[7]

  • δ ( x ) = δ ( - x )
  • δ * ( x ) = δ ( x )
  • x δ ( x ) = 0

Referensi

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ Bracewell 1986, Chapter 5.
  2. ^ Arfken & Weber 2000, hlm. 84.
  3. ^ Dirac 1930, §22 The δ function.
  4. ^ Gelfand & Shilov 1966–1968, Volume I, §1.1.
  5. ^ "Bagaimana Fungsi Dirac Delta Works · www.greelane.com - Sumber Daya Pendidikan Terbesar di Dunia". www.greelane.com - Sumber Daya Pendidikan Terbesar di Dunia. 2018-01-31. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2022-06-11. Diakses tanggal 2020-02-16. 
  6. ^ a b Wirianto, Marwan (Maret 2005). "Fungsi Delta Dirac". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2022-06-11. Diakses tanggal 2020-02-16. 
  7. ^ a b c d "Fungsi delta Dirac" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2022-08-10. 
  8. ^ "Dirac delta function: History". functions.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-09-22. Diakses tanggal 2020-02-16. 
  9. ^ a b c d e f g h "Delta Dirac Function" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2020-02-16. 
  10. ^ "Potensial Fungsi Delta" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-03-27. 
  11. ^ "Fungsi Delta Dirac". studylibid.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2022-08-01. Diakses tanggal 2020-02-16. 
  12. ^ "Fungsi Delta Dirac" (PDF). Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2019-08-19. 
  13. ^ "Dirac Delta Function - an overview | ScienceDirect Topics". www.sciencedirect.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-04-05. Diakses tanggal 2020-02-16. 
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/w/index.php?title=Fungsi_delta_Dirac&oldid=25991857"