Aljabar linear: Perbedaan antara revisi
k istilah indonesia |
|||
Baris 9: | Baris 9: | ||
: 2''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub> − 3''x''<sub>3</sub> = 9 |
: 2''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub> − 3''x''<sub>3</sub> = 9 |
||
dapat dinyatakan dalam '' |
dapat dinyatakan dalam ''matriks teraugmentasi'' sebagai berikut |
||
<math>\begin{bmatrix} |
<math>\begin{bmatrix} |
||
Baris 17: | Baris 17: | ||
\end{bmatrix}</math> |
\end{bmatrix}</math> |
||
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan ''eliminasi Gauss'' atau dapat juga dengan cara ''eliminasi Gauss-Jordan''. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan ''eliminasi Gauss'' untuk mengubah bentuk '' |
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan ''eliminasi Gauss'' atau dapat juga dengan cara ''eliminasi Gauss-Jordan''. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan ''eliminasi Gauss'' untuk mengubah bentuk ''matriks teraugmentasi'' ke dalam bentuk ''eselon-baris'' tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik. |
||
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk : |
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk : |
||
Baris 31: | Baris 31: | ||
---- |
---- |
||
=====Bentuk '' |
=====Bentuk ''Eselon-baris''===== |
||
Matriks dapat dikatakan '' |
Matriks dapat dikatakan ''Eselon-baris'' apabila memenuhi persyaratan berikut : |
||
: 1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (''leading 1''). |
: 1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (''leading 1''). |
||
: 2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks. |
: 2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks. |
||
: 3.) Jika ada baris yang ''leading 1'' maka ''leading 1'' di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari ''leading 1'' di atasnya. |
: 3.) Jika ada baris yang ''leading 1'' maka ''leading 1'' di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari ''leading 1'' di atasnya. |
||
: 4.) Jika kolom yang memiliki ''leading 1'' angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut '' |
: 4.) Jika kolom yang memiliki ''leading 1'' angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut ''Eselon-baris tereduksi'' |
||
Contoh: |
Contoh: |
||
Baris 67: | Baris 67: | ||
\end{bmatrix}</math> |
\end{bmatrix}</math> |
||
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut '' |
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut ''Eselon-baris tereduksi |
||
<math>\begin{bmatrix} |
<math>\begin{bmatrix} |
||
Baris 81: | Baris 81: | ||
\end{bmatrix}</math> |
\end{bmatrix}</math> |
||
=====Operasi |
=====Operasi Eliminasi Gauss===== |
||
'' |
''Eliminasi Gauss'' adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh [[Carl Friedrich Gauss]]). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang ''Row-Echelon''. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam ''matriks teraugmentasi'' dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks ''Eselon-baris'', lakukan ''substitusi balik'' untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. |
||
Contoh: |
Contoh: |
||
Baris 129: | Baris 129: | ||
0 & 0 & 1 & 3\\ |
0 & 0 & 1 & 3\\ |
||
\end{bmatrix}</math> |
\end{bmatrix}</math> |
||
Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi '' |
Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi ''Eselon-baris'') |
||
Maka mendapatkan 3 persamaan |
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu |
||
: <math>x + 2y + z =6</math> |
: <math>x + 2y + z =6</math> |
||
: <math>y + z = 3</math> |
: <math>y + z = 3</math> |
||
Baris 148: | Baris 148: | ||
=====Operasi eliminasi Gauss-Jordan===== |
=====Operasi eliminasi Gauss-Jordan===== |
||
⚫ | Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang ''Reduced Row-Echelon''. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam ''matriks teraugmentasi'' dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks ''eselon baris tereduksi'', maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa ''substitusi balik''. |
||
⚫ | Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang ''Reduced Row-Echelon''. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam '' |
||
Contoh: |
Contoh: |
||
Baris 216: | Baris 215: | ||
0 & 0 & 1 & 1\\ |
0 & 0 & 1 & 1\\ |
||
\end{bmatrix}</math> |
\end{bmatrix}</math> |
||
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi " |
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi "eselon baris tereduksi") |
||
Maka didapatkan nilai dari <math>x = 2</math> , <math>y = -1</math> ,dan <math>z = 1</math> |
Maka didapatkan nilai dari <math>x = 2</math> , <math>y = -1</math> ,dan <math>z = 1</math> |
||
Baris 237: | Baris 236: | ||
''c''<sub>ij</sub> = ''a''<sub>i1</sub> ''b''<sub>1j</sub> + ''a''<sub>i2</sub> ''b''<sub>2j</sub> + ... + ''a''<sub>ip</sub> ''b''<sub>pj</sub> |
''c''<sub>ij</sub> = ''a''<sub>i1</sub> ''b''<sub>1j</sub> + ''a''<sub>i2</sub> ''b''<sub>2j</sub> + ... + ''a''<sub>ip</sub> ''b''<sub>pj</sub> |
||
=== Matriks Balikan ('' |
=== Matriks Balikan (''Invers'')=== |
||
---- |
---- |
||
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau '' |
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau ''invers'' dari A dan dapat dituliskan <math>B = A^{-1}</math> ( B sama dengan ''invers'' A ). Matriks B juga mempunyai ''invers'' yaitu A maka dapat dituliskan <math>A = B^{-1}</math>. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan '''matriks tunggal''' (singular). Jika matriks B dan C adalah ''invers'' dari A maka B = C. |
||
Matriks A = |
Matriks A = |
||
Baris 248: | Baris 247: | ||
c & d \\ |
c & d \\ |
||
\end{bmatrix}</math> |
\end{bmatrix}</math> |
||
dapat di-'' |
dapat di-''invers'' apabila ad - bc ≠ 0 |
||
Dengan Rumus = |
Dengan Rumus = |
||
Baris 260: | Baris 259: | ||
\end{bmatrix}</math> |
\end{bmatrix}</math> |
||
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-'' |
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-''invers'' dan <math>(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}</math> |
||
Baris 296: | Baris 295: | ||
\end{bmatrix}</math> = I (matriks identitas) |
\end{bmatrix}</math> = I (matriks identitas) |
||
Maka dapat dituliskan bahwa <math>B = A^{-1}</math> (B Merupakan '' |
Maka dapat dituliskan bahwa <math>B = A^{-1}</math> (B Merupakan ''invers'' dari A) |
||
Baris 334: | Baris 333: | ||
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut '''matriks tunggal'''. |
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut '''matriks tunggal'''. |
||
===Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks |
===Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris=== |
||
---- |
---- |
||
Baris 431: | Baris 430: | ||
Teorema |
Teorema |
||
* Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
Contoh : |
Contoh : |
||
Matriks segitiga yang bisa di |
Matriks segitiga yang bisa di invers |
||
A =<math>\begin{bmatrix} |
A =<math>\begin{bmatrix} |
||
Baris 449: | Baris 444: | ||
\end{bmatrix}</math> |
\end{bmatrix}</math> |
||
Inversnya adalah |
|||
<math>A^{-1}</math>=<math>\begin{bmatrix} |
<math>A^{-1}</math>=<math>\begin{bmatrix} |
||
Baris 457: | Baris 452: | ||
\end{bmatrix}</math> |
\end{bmatrix}</math> |
||
Matriks yang tidak bisa di |
Matriks yang tidak bisa di invers |
||
B =<math>\begin{bmatrix} |
B =<math>\begin{bmatrix} |
||
Baris 484: | Baris 479: | ||
Teorema |
Teorema |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
<math>A^T</math> adalah simetris |
<math>A^T</math> adalah simetris |
||
A + B dan A - B adalah simetris |
A + B dan A - B adalah simetris |
||
''k''A adalah simetris |
''k''A adalah simetris |
||
<math>(AB)^T = B^T A^T = BA</math> |
<math>(AB)^T = B^T A^T = BA</math> |
||
Baris 498: | Baris 488: | ||
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar. |
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar. |
||
Sebagai contoh, kita ambil matriks A<sub>2x2</sub> |
Sebagai contoh, kita ambil matriks A<sub>2x2</sub> |
||
Baris 531: | Baris 520: | ||
:: c<sub>11</sub> = (-1)<sup>1+1</sup>M<sub>11</sub> = (-1)<sup>1+1</sup>a<sub>22</sub>a<sub>33</sub> x a<sub>23</sub>a<sub>32</sub> |
:: c<sub>11</sub> = (-1)<sup>1+1</sup>M<sub>11</sub> = (-1)<sup>1+1</sup>a<sub>22</sub>a<sub>33</sub> x a<sub>23</sub>a<sub>32</sub> |
||
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda C<sub>ij</sub>=±M<sub>ij</sub> untuk membedakan apakah |
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda C<sub>ij</sub>=±M<sub>ij</sub> untuk membedakan apakah kofaktor pada <sub>ij</sub> adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini |
||
<math>\begin{bmatrix} |
<math>\begin{bmatrix} |
||
Baris 624: | Baris 613: | ||
\end{bmatrix}</math> = 1<math>\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix}</math> - 4<math>\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}</math> + 3<math>\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}</math> = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8 |
\end{bmatrix}</math> = 1<math>\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix}</math> - 4<math>\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}</math> + 3<math>\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}</math> = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8 |
||
==== |
====Adjoin Matriks 3 x 3==== |
||
Bila ada sebuah matriks A<sub>3x3</sub> |
Bila ada sebuah matriks A<sub>3x3</sub> |
||
Baris 699: | Baris 688: | ||
<center><b>det(''R'')=det(''E''<sub>''r''</sub>)...det(''E''<sub>2</sub>)det(''E''<sub>1</sub>)det(''E''<sub>A</sub>)</b></center> |
<center><b>det(''R'')=det(''E''<sub>''r''</sub>)...det(''E''<sub>2</sub>)det(''E''<sub>1</sub>)det(''E''<sub>A</sub>)</b></center> |
||
Jika ''A'' |
Jika ''A'' dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema ''equivalent statements'' , maka ''R'' = ''I'', jadi det(''R'') = 1 ≠ 0 dan det(''A'') ≠ 0. Sebaliknya, jika det(''A'') ≠ 0, maka det(''R'') ≠ 0, jadi ''R'' tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema ''R'' = ''I'', maka ''A'' adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers. |
||
Contoh Soal : |
Contoh Soal : |
||
Baris 707: | Baris 696: | ||
2 & 4 & 6\\ |
2 & 4 & 6\\ |
||
\end{bmatrix}</math></center> |
\end{bmatrix}</math></center> |
||
karena det(''A'') = 0. Maka ''A'' adalah |
karena det(''A'') = 0. Maka ''A'' adalah dapat diinvers. |
||
===Mencari determinan dengan cara Sarrus=== |
===Mencari determinan dengan cara Sarrus=== |
||
Baris 768: | Baris 757: | ||
==Vektor dalam Ruang |
==Vektor dalam Ruang Euklide== |
||
=== |
===Euklidian dalam n-Ruang=== |
||
---- |
---- |
||
Vektor di dalam n-Ruang |
Vektor di dalam n-Ruang |
||
Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a<sub>1</sub>.a<sub>2</sub>.....a<sub>n</sub>). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn. |
Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a<sub>1</sub>.a<sub>2</sub>.....a<sub>n</sub>). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn. |
||
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan |
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini. |
||
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a<sub>2</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ...., a<sub>n</sub>) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5. |
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a<sub>2</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ...., a<sub>n</sub>) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5. |
||
Baris 793: | Baris 781: | ||
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn |
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn |
||
Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke |
Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor |
||
<br><center> 0 = (0, 0,...., 0)</br></center> |
<br><center> 0 = (0, 0,...., 0)</br></center> |
||
Baris 813: | Baris 801: | ||
* '''Data Eksperimen''' – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector <math>y= (y1,y2,...,yn)</math> dalam <math>R^n</math> dalam setiap <math>y_1,y_2,....,y_n</math> adalah nilai yang terukur. |
|||
* '''Penyimpanan dan Gudang''' – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel <math>x= (x_1,x_2,...,x_15)</math> dalam setiap <math>x_1</math> adalah jumlah truk dalam depot pertama dan <math>x_2</math> adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya. |
|||
* '''Rangkaian listrik''' – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam <math>R^4</math> dan tegangan output bisa ditulis sebagai<math> R^3</math>. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input <math>v = (v_1,v_2,v_3,v_4)</math> dalam <math>R^4</math> ke vector keluaran <math>w = (w_1,w_2,w_3)</math> dalam<math> R^3</math>. |
|||
⚫ | * '''Analisis citra''' – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan [[hue]], [[saturasi]], dan [[kecerahan]] dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk <math>v = (x,y,h,s,b)</math> dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness. |
||
⚫ | * '''Ekonomi''' – Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel <math>s = (s_1,s_2,s_3,...,s_10)</math> dalam setiap angka <math>s_1,s_2,...,s_10</math> adalah output dari sektor individual. |
||
• '''Sirkuit Elektris''' – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam <math>R^4</math> dan tegangan output bisa ditulis sebagai<math> R^3</math>. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vector input <math>v = (v_1,v_2,v_3,v_4)</math> dalam <math>R^4</math> ke vector keluaran <math>w = (w_1,w_2,w_3)</math> dalam<math> R^3</math>. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
<math>V = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6,t)</math> |
<math>V = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6,t)</math> |
||
Dalam <math>R^13</math>. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t. |
Dalam <math>R^13</math>. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t. |
||
⚫ | |||
===Menemukan norm dan jarak=== |
|||
⚫ | |||
===Finding [[Norm and distance]]=== |
|||
---- |
---- |
||
Menghitung Panjang vektor '''u''' dalam ruang <math>R^n</math> |
Menghitung Panjang vektor '''u''' dalam ruang <math>R^n</math> |
||
Baris 846: | Baris 828: | ||
=== |
===Bentuk Newton=== |
||
⚫ | Interpolasi polinominal p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0} ditulis secara standar , tetapi ada juga yang menggunakan penulisan bentuk lain , contohnya : kita mencari interpolasi titik dengan data (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}) , jika kita tuliskan : p(x)= a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} , dalama bentuk equivalent : p(x)=a_{3}(x-x_{0})^{3}+ |
||
⚫ | |||
===Interpolasi Polinomial=== |
|||
---- |
---- |
||
Revisi per 7 Juli 2006 08.56
Aljabar linier adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linier dan solusinya, vektor, serta transformasi linier. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linier.
Persamaan Linier & Matriks
Persamaan linier dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
- 3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5
- x1 − 5x2 + 2x3 = 7
- 2x1 + x2 − 3x3 = 9
dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
- a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
- a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
- am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.
Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
Bentuk Eselon-baris
Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
- 1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
- 2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
- 3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
- 4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
Contoh: syarat 1: baris pertama disebut leading 1
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi
Operasi Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Row-Echelon. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
Jadi nilai dari , ,dan
Operasi eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Reduced Row-Echelon. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks eselon baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Contoh: Diketahui persamaan linear
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi "eselon baris tereduksi")
Maka didapatkan nilai dari , ,dan
Operasi Dalam Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
- a.) A + B = B + A
- b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
- c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj
Matriks Balikan (Invers)
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan . Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan
Contoh 1:
Matriks
A = dan B =
AB = = = I (matriks identitas)
BA = = = I (matriks identitas)
Maka dapat dituliskan bahwa (B Merupakan invers dari A)
Contoh 2:
Matriks
A = dan B =
AB = =
BA = =
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.
Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris
Matriks Diagonal
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :
secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai
Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
=
jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
=
Contoh :
A=
maka
=
Matriks Segitiga
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga
Matriks segitiga bawah
Teorema
- Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
- Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
- Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
- Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Contoh :
Matriks segitiga yang bisa di invers
A =
Inversnya adalah
=
Matriks yang tidak bisa di invers
B =
Matriks Simetris
Matriks kotak A disebut simetris jika
Contoh matriks simetris
Teorema
- Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka
adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris
Determinan
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
- A = tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
- detA = ad - bc
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Determinan dengan Minor dan kofaktor
- A = tentukan determinan A
Pertama buat minor dari a11
- M11 = = detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
- c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
Begitu juga dengan minor dari a32
- M32 = = detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah
- c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
- det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
- A =
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
- det(A) = a11 - a12 + a13
- = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
- = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
- det(A) = a11 - a12 + a13
Contoh Soal:
- A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
Jawab:
- det(A) = = 1 - 2 + 3 = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
- A =
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
- det(A) = a11 - a21 + a31
- = a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)
- = a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32
- det(A) = a11 - a21 + a31
Contoh Soal:
- A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
Jawab:
- det(A) = = 1 - 4 + 3 = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8
Adjoin Matriks 3 x 3
Bila ada sebuah matriks A3x3
- A =
Kofaktor dari matriks A adalah
- C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
- C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
- C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
- adj(A) =
Metode Cramer
jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
- x1 + x3 = 6
- -3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
- -x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab:
bentuk matrik A dan b
- A = b =
kemudian ganti kolom j dengan matrik b
- A1 = A2 = A3 =
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
maka,
Tes Determinan untuk Invertibilitas
Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E1,E2,...,Er menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A. Maka,
dan,
Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal :
karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.
Mencari determinan dengan cara Sarrus
- A = tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
- detA = (aei + bfg + edh) - (bdi + afh + ceg)
Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3
- A =
kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
menjadi matrix kofaktor
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehingga menjadi
- adj(A) =
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
Vektor dalam Ruang Euklide
Euklidian dalam n-Ruang
Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a1, a2, a3 merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2, ...., an) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor
Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh
Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh
atau, dalam istilah komponen,
Perkalian dot product didefinisikan sebagai
Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi
- Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector dalam dalam setiap adalah nilai yang terukur.
- Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel dalam setiap adalah jumlah truk dalam depot pertama dan adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.
- Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam dan tegangan output bisa ditulis sebagai. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input dalam ke vector keluaran dalam.
- Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
- Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel dalam setiap angka adalah output dari sektor individual.
- Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalah dan kecepatan mereka adalah . Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector
Dalam . Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.
- Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi
Menemukan norm dan jarak
Menghitung Panjang vektor u dalam ruang
jika u =
Maka Panjang vektor u
dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v
Bentuk Newton
Interpolasi polinominal p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0} ditulis secara standar , tetapi ada juga yang menggunakan penulisan bentuk lain , contohnya : kita mencari interpolasi titik dengan data (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}) , jika kita tuliskan : p(x)= a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} , dalama bentuk equivalent : p(x)=a_{3}(x-x_{0})^{3}+
Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x0,y0)...., (xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = am + am-1 + ... + a1x + a0 dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi
karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini
=
Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):
= (1)
Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.
Contoh soal:
Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.
Jawab:
Bentuk Sistem Vandermonde(1):
=
Untuk data di atas, kita mempunyai =
Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama
Baris ke-3 dibagi dengan 2 Baris ke-4 dibagi dengan 3