Aljabar sigma: Perbedaan antara revisi
Tampilan
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Robot: Perubahan kosmetika |
Hadithfajri (bicara | kontrib) |
||
(6 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
Dalam [[matematika]], khususnya dalam ilmu [[teori peluang]] dan [[Ukuran (matematika)|teori ukuran]], '''aljabar-σ''' pada himpunan ''X'' adalah koleksi dari subhimpunan ''X'' yang dilambangkan dengan Σ yang mengandung X itu sendiri, tertutup terhadap operasi komplemen, dan tertutup terhadap operasi gabungan hingga. |
|||
Dalam matematika, '''aljabar-σ''' adalah konsep keluarga himpunan yang penting. |
|||
Aljabar-σ merupakan salah satu contoh dari aljabar himpunan. |
|||
== Definisi == |
== Definisi == |
||
Misalkan <math> X </math> himpunan dan <math> \mathcal{P}(X) </math> [[Himpunan (matematika)#Himpunan kuasa|himpunan kuasa]]. Keluarga bagian <math> \Sigma \subseteq \mathcal{P} (X) </math> disebut '''aljabar-σ''', jika memenuhi sifat-sifat: |
Misalkan <math> X </math> himpunan dan <math> \mathcal{P}(X) </math> [[Himpunan (matematika)#Himpunan kuasa|himpunan kuasa]]. Keluarga bagian <math> \Sigma \subseteq \mathcal{P} (X) </math> disebut '''aljabar-σ''', jika memenuhi sifat-sifat: |
||
# <math> X \in \Sigma </math> |
# <math> X \in \Sigma </math>, |
||
# Jika <math> A \in \Sigma </math>, maka <math> X \setminus A \in \Sigma </math> |
# Jika <math> A \in \Sigma </math>, maka <math> X \setminus A \in \Sigma </math>, |
||
# Jika <math> A _1, A_2 |
# Jika <math> A _1, A_2, \ldots \in \Sigma </math>, maka <math> \bigcup _{k \in \mathbb{N}} A _k \in \Sigma </math>. |
||
Dalam [[Ukuran (matematika)|teori ukuran]], pasangan <math> ( X |
Dengan kata lain, kita punyai <math>\Sigma</math> tertutup atas operasi gabungan terhitung dan komplemen. Dalam [[Ukuran (matematika)|teori ukuran]], pasangan <math> ( X, \Sigma ) </math> disebut '''ruang terukur'''. |
||
== Contoh == |
== Contoh == |
||
* Untuk suatu himpunan <math> X </math>, <math> \{ \emptyset |
* Untuk suatu himpunan <math> X </math>, <math> \{ \emptyset, X \} </math> aljabar-σ yang terkecil dan <math> \mathcal{P} </math> aljabar-σ yang terbesar. |
||
* Untuk suatu [[ruang topologi]] <math> ( X |
* Untuk suatu [[ruang topologi]] <math> ( X, \tau ) </math>, '''aljabar Borel''' adalah aljabar-σ terkecil yang memuat semua himpunan dari <math> \tau </math>. |
||
== Referensi == |
== Referensi == |
Revisi terkini sejak 5 Maret 2021 09.55
Dalam matematika, khususnya dalam ilmu teori peluang dan teori ukuran, aljabar-σ pada himpunan X adalah koleksi dari subhimpunan X yang dilambangkan dengan Σ yang mengandung X itu sendiri, tertutup terhadap operasi komplemen, dan tertutup terhadap operasi gabungan hingga.
Aljabar-σ merupakan salah satu contoh dari aljabar himpunan.
Definisi
[sunting | sunting sumber]Misalkan himpunan dan himpunan kuasa. Keluarga bagian disebut aljabar-σ, jika memenuhi sifat-sifat:
- ,
- Jika , maka ,
- Jika , maka .
Dengan kata lain, kita punyai tertutup atas operasi gabungan terhitung dan komplemen. Dalam teori ukuran, pasangan disebut ruang terukur.
Contoh
[sunting | sunting sumber]- Untuk suatu himpunan , aljabar-σ yang terkecil dan aljabar-σ yang terbesar.
- Untuk suatu ruang topologi , aljabar Borel adalah aljabar-σ terkecil yang memuat semua himpunan dari .