Lema Titu: Perbedaan antara revisi
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) k Dedhert.Jr memindahkan halaman Lemma Titu ke Lema Titu: Yang benar itu "Lema", bukan "Lemma". |
||
(6 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
{{Periksa terjemahan|en|Cauchy–Schwarz inequality#Sedrakyan's lemma - Positive real numbers}} |
|||
{{Dalam perbaikan}} |
|||
{{Lihat|Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz}} |
|||
''' |
'''Lema Titu''' (ditemukan oleh [[Titu Andreescu]], atau dikenal juga '''lema T2''', bentuk Engel, atau '''pertidaksamaan Sedrakyan''') menyatakan untuk real positif, kita harus mencari |
||
:<math> \frac{\left( \sum_{i=1}^n u_i \right)^2 }{\sum_{i=1}^n v_i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{v_i}. </math> |
:<math> \frac{\left( \sum_{i=1}^n u_i \right)^2 }{\sum_{i=1}^n v_i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{v_i}. </math> |
||
Baris 7: | Baris 7: | ||
Konsekuensi dari Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah perolehan setelah menggunakan <math>u_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i}}</math> dan <math>v_i' = \sqrt{v_i}.</math> Bentuk ini membantu kita saat pertidaksamaan melibatkan pecahan di mana bilangannya adalah kuadrat sempurna. |
Konsekuensi dari Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah perolehan setelah menggunakan <math>u_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i}}</math> dan <math>v_i' = \sqrt{v_i}.</math> Bentuk ini membantu kita saat pertidaksamaan melibatkan pecahan di mana bilangannya adalah kuadrat sempurna. |
||
Maka |
|||
It then becomes |
|||
<math>\begin{aligned} \left( \frac{ x_1^2 }{ y_1 } + \frac{ x_2^2 }{ y_2 } + \cdots + \frac{ x_n^2 }{ y_n } \right) (y_1 + y_2 + \cdots + y_n ) &\geq ( x_1 + x_2 + \cdots + x_n )^2 \\ \frac{ x_1^2 }{ y_1 } + \frac{ x_2^2 }{ y_2 } + \cdots + \frac{ x_n^2 }{ y_n } &\geq \frac{ ( x_1 + x_2 + \cdots + x_n )^2 }{ (y_1 + y_2 + \cdots + y_n ) }. \end{aligned}</math> |
<math>\begin{aligned} \left( \frac{ x_1^2 }{ y_1 } + \frac{ x_2^2 }{ y_2 } + \cdots + \frac{ x_n^2 }{ y_n } \right) (y_1 + y_2 + \cdots + y_n ) &\geq ( x_1 + x_2 + \cdots + x_n )^2 \\ \frac{ x_1^2 }{ y_1 } + \frac{ x_2^2 }{ y_2 } + \cdots + \frac{ x_n^2 }{ y_n } &\geq \frac{ ( x_1 + x_2 + \cdots + x_n )^2 }{ (y_1 + y_2 + \cdots + y_n ) }. \end{aligned}</math> |
||
== Definisi == |
== Definisi dan bukti == |
||
=== Definisi === |
|||
Dari nilai biasa <math>a_1, a_2, \ldots, a_n</math> dan <math>b_1, b_2, \ldots, b_n</math>, yaitu |
Dari nilai biasa <math>a_1, a_2, \ldots, a_n</math> dan <math>b_1, b_2, \ldots, b_n</math>, yaitu |
||
:<math>\frac{ a_1^2 } { b_1 } + \frac{ a_2 ^2 } { b_2 } + \cdots + \frac{ a_n ^2 } { b_n } \geq \frac{ (a_1 + a_2 + \cdots+ a_n ) ^2 } { b_1 + b_2 + \cdots+ b_n }.</math> |
:<math>\frac{ a_1^2 } { b_1 } + \frac{ a_2 ^2 } { b_2 } + \cdots + \frac{ a_n ^2 } { b_n } \geq \frac{ (a_1 + a_2 + \cdots+ a_n ) ^2 } { b_1 + b_2 + \cdots+ b_n }.</math> |
||
== Bukti == |
=== Bukti === |
||
Setelah itu |
Setelah itu memperoleh dengan menerapkan substitusi <math>a_i= \frac{x_i}{ \sqrt{y_i} }</math> dan <math>b_i = \sqrt{y_i}</math> yang merupakan [[pertidaksamaan Cauchy-Schwarz]]. |
||
Maka |
|||
ke dalam [[Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz]]. |
|||
Setelah itu kemudian menjadi |
|||
<math>\begin{aligned} \left( \frac{ x_1^2 }{ y_1 } + \frac{ x_2^2 }{ y_2 } + \cdots + \frac{ x_n^2 }{ y_n } \right) (y_1 + y_2 + \cdots + y_n ) &\geq ( x_1 + x_2 + \cdots + x_n )^2 \\ \frac{ x_1^2 }{ y_1 } + \frac{ x_2^2 }{ y_2 } + \cdots + \frac{ x_n^2 }{ y_n } &\geq \frac{ ( x_1 + x_2 + \cdots + x_n )^2 }{ (y_1 + y_2 + \cdots + y_n ) }. \ _\square \end{aligned}</math> |
<math>\begin{aligned} \left( \frac{ x_1^2 }{ y_1 } + \frac{ x_2^2 }{ y_2 } + \cdots + \frac{ x_n^2 }{ y_n } \right) (y_1 + y_2 + \cdots + y_n ) &\geq ( x_1 + x_2 + \cdots + x_n )^2 \\ \frac{ x_1^2 }{ y_1 } + \frac{ x_2^2 }{ y_2 } + \cdots + \frac{ x_n^2 }{ y_n } &\geq \frac{ ( x_1 + x_2 + \cdots + x_n )^2 }{ (y_1 + y_2 + \cdots + y_n ) }. \ _\square \end{aligned}</math> |
||
==== Bukti konsekuensi ==== |
|||
== Aplikasi == |
|||
- Dalam pengembangan - |
|||
⚫ | Lemma Titu, konsekuensi langsung dari [[pertidaksamaan Cauchy–Schwarz]], menyatakan bahwa untuk setiap urutan <math>n</math> bilangan real <math>(x_k)</math> dan sembarang urutan bilangan positif <math>n</math> <math>(a_k)</math>, <math>\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{x_k^2}{a_k}\geq\frac{(\sum_{k=1}^n x_k)^2}{\sum_{k=1}^n a_k}</math>. Kami menggunakan contoh tiga istilahnya dengan <math>x</math> pada urutan <math>a,b,c</math> dan <math>a</math> pada urutan <math>a(b+c),b(c+a),c(a+b)</math>: |
||
⚫ | |||
Dengan mengalikan semua hasil kali di sisi yang lebih kecil dan mengumpulkan suku-suku sejenis, kita memperoleh |
|||
⚫ | |||
yang disederhanakan menjadi |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Umum == |
== Umum == |
||
Jika nilai <math>\displaystyle \bigg(\sum_{i=1}^n\sqrt[\frac{m}{m-1}]{a_i}^{\frac{m}{m-1}}\bigg)^{\frac{1}{\ \frac{m}{m-1}\ }}\left(\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i^m}{\left(\frac{a_i}{\sqrt[m]{a_i}}\right)^m}\right)^{\frac{1}{m}} \ge \sum_{i=1}^n x_i,</math> |
Jika nilai <math>\displaystyle \bigg(\sum_{i=1}^n\sqrt[\frac{m}{m-1}]{a_i}^{\frac{m}{m-1}}\bigg)^{\frac{1}{\ \frac{m}{m-1}\ }}\left(\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i^m}{\left(\frac{a_i}{\sqrt[m]{a_i}}\right)^m}\right)^{\frac{1}{m}} \ge \sum_{i=1}^n x_i,</math> yang merupakan rumus [[pertidaksamaan Holder]] |
||
⚫ | |||
Rumus diatas adalah [[Pertidaksamaan Holder]] |
|||
⚫ | |||
<math>\begin{aligned}\displaystyle \bigg(\sum_{i=1}^n a_i\bigg)^{\frac{m-1}{m}}\bigg(\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i^m}{a_i^{m-1}}\bigg)^{\frac{1}{m}}&\ge \sum_{i=1}^n x_i \\\bigg(\sum_{i=1}^n a_i\bigg)^{m-1}\bigg(\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i^m}{a_i^{m-1}}\bigg)&\ge \bigg(\sum_{i=1}^n x_i\bigg)^m \\ \bigg(\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i^m}{a_i^{m-1}}\bigg)&\ge \dfrac{\bigg(\sum_{i=1}^n x_i\bigg)^m}{\bigg(\sum_{i=1}^n a_i\bigg)^{m-1}}.\end{aligned}</math> |
<math>\begin{aligned}\displaystyle \bigg(\sum_{i=1}^n a_i\bigg)^{\frac{m-1}{m}}\bigg(\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i^m}{a_i^{m-1}}\bigg)^{\frac{1}{m}}&\ge \sum_{i=1}^n x_i \\\bigg(\sum_{i=1}^n a_i\bigg)^{m-1}\bigg(\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i^m}{a_i^{m-1}}\bigg)&\ge \bigg(\sum_{i=1}^n x_i\bigg)^m \\ \bigg(\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i^m}{a_i^{m-1}}\bigg)&\ge \dfrac{\bigg(\sum_{i=1}^n x_i\bigg)^m}{\bigg(\sum_{i=1}^n a_i\bigg)^{m-1}}.\end{aligned}</math> |
||
== Lemma Titu dalam Bukti == |
|||
- Dalam pengembangan - |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
By multiplying out all the products on the lesser side and collecting like terms, we obtain |
|||
⚫ | |||
which simplifies to |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Lihat pula == |
== Lihat pula == |
||
* [[Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz]] |
* [[Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz]] |
||
== Pranala luar == |
|||
{{Commons|Lemma Titu's}} |
Revisi terkini sejak 6 November 2021 12.52
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Cauchy–Schwarz inequality#Sedrakyan's lemma - Positive real numbers di en.wiki-indonesia.club. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel) |
Lema Titu (ditemukan oleh Titu Andreescu, atau dikenal juga lema T2, bentuk Engel, atau pertidaksamaan Sedrakyan) menyatakan untuk real positif, kita harus mencari
Konsekuensi dari Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah perolehan setelah menggunakan dan Bentuk ini membantu kita saat pertidaksamaan melibatkan pecahan di mana bilangannya adalah kuadrat sempurna.
Maka
Definisi dan bukti
[sunting | sunting sumber]Definisi
[sunting | sunting sumber]Dari nilai biasa dan , yaitu
Bukti
[sunting | sunting sumber]Setelah itu memperoleh dengan menerapkan substitusi dan yang merupakan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz.
Maka
Bukti konsekuensi
[sunting | sunting sumber]Lemma Titu, konsekuensi langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, menyatakan bahwa untuk setiap urutan bilangan real dan sembarang urutan bilangan positif , . Kami menggunakan contoh tiga istilahnya dengan pada urutan dan pada urutan :
Dengan mengalikan semua hasil kali di sisi yang lebih kecil dan mengumpulkan suku-suku sejenis, kita memperoleh
yang disederhanakan menjadi
Dengan pertidaksamaan penataan ulang, maka sebagai pecahan di sisi yang lebih kecil . Maka,
Umum
[sunting | sunting sumber]Jika nilai yang merupakan rumus pertidaksamaan Holder
Maka menyederhanakan hasil, yaitu: