Kalkulus matriks: Perbedaan antara revisi
k lanjutan terjemahan |
Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.8 |
||
(13 revisi perantara oleh 12 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
⚫ | |||
{{Kalkulus}} |
{{Kalkulus}} |
||
Baris 13: | Baris 14: | ||
<ul> |
<ul> |
||
<li>[[Vektor singgung]] terhadap kurva '''x''' |
<li>[[Vektor singgung]] terhadap kurva '''x''': '''R''' → '''R'''<sup>''n''</sup> adalah |
||
:<math>\frac{\partial \mathbf{x}} {\partial t} = |
:<math>\frac{\partial \mathbf{x}} {\partial t} = |
||
\begin{bmatrix} |
\begin{bmatrix} |
||
Baris 23: | Baris 24: | ||
</li> |
</li> |
||
<li>[[Gradien]] fungsi skalar ''f'' |
<li>[[Gradien]] fungsi skalar ''f'': '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''' |
||
:<math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} = |
:<math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} = |
||
\begin{bmatrix} |
\begin{bmatrix} |
||
Baris 33: | Baris 34: | ||
</li> |
</li> |
||
<li>[[Diferensial]] fungsi '''f''' |
<li>[[Diferensial]] fungsi '''f''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup> dideskripsikan oleh [[matriks Jacobi]] |
||
:<math> |
:<math> |
||
\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} = |
\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} = |
||
Baris 52: | Baris 53: | ||
<ul> |
<ul> |
||
<li>Vektor singgung kurva '''F''' |
<li>Vektor singgung kurva '''F''': '''R''' → ''M''(''n'',''m'') |
||
:<math> |
:<math> |
||
\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial t} = |
\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial t} = |
||
Baris 63: | Baris 64: | ||
</li> |
</li> |
||
<li>Gradien fungsi skalar ''f'' |
<li>Gradien fungsi skalar ''f'': ''M''(''n'',''m'') → '''R''' |
||
:<math> |
:<math> |
||
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} = |
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} = |
||
Baris 79: | Baris 80: | ||
</li> |
</li> |
||
<li>Diferensial atau turunan matriks dari fungsi <math>F |
<li>Diferensial atau turunan matriks dari fungsi <math>F: M(n,m) \Rightarrow M(p,q)</math> adalah unsur dari <math>M(p,q) \otimes M(m,n)</math>, sebuah [[tensor]] peringkat empat (pembalikan ''m'' dan ''n'' di sini menandakan [[ruang dual]] dari ''M''(''n'',''m'')). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks ''m''×''n'' yang masing-masing entrinya adalah matriks ''p''×''q''. |
||
:<math>\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}= |
:<math>\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}= |
||
Baris 89: | Baris 90: | ||
</math> |
</math> |
||
Catat pula bahwa tiap |
Catat pula bahwa tiap ∂'''F'''/∂''X''<sub>''i'',''j''</sub> adalah matriks ''p''×''q'' yang didefinisikan seperti di atas. Catat pula bahwa matriks ini memiliki indeks yang dibalikkan: ''m'' baris dan ''n'' kolom. Diferensial sepanjang '''F''' dari sebuah matriks '''Y''' berukuran ''n''×''m'' dalam ''M''(''n'',''m'') adalah |
||
:<math>d\mathbf{F}(\mathbf{Y}) = \operatorname{tr}\left(\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}\mathbf{Y}\right).</math> |
:<math>d\mathbf{F}(\mathbf{Y}) = \operatorname{tr}\left(\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}\mathbf{Y}\right).</math> |
||
Definisi ini meliputi semua definisi sebelumnya sebagai kasus khusus. |
Definisi ini meliputi semua definisi sebelumnya sebagai kasus khusus. |
||
</li> |
</li> |
||
</ul> |
</ul> |
||
== Persamaan identitas == |
|||
Perkalian matriks tidak [[komutatif]], karena itu agar identitas berikut berlaku, urutan perkalian tidak boleh diubah. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
* {{en}}[http://www.stanford.edu/~dattorro/matrixcalc.pdf Matrix calculus] Apendiks untuk to Jon Dattorro, [http://www.convexoptimization.com Convex Optimization & Euclidean Distance Geometry]. Menggunakan definisi Hessian. |
|||
⚫ | |||
<ul> |
|||
⚫ | |||
<li> '''[[Kaidah rantai]]:''' Bila '''Z''' adalah fungsi dari '''Y''', yang pada gilirannya adalah fungsi dari '''X''' |
|||
:<math> |
|||
\frac{\partial \mathbf{Z}} {\partial \mathbf{X}} = \frac{\partial \mathbf{Z}} {\partial \mathbf{Y}} \frac{\partial \mathbf{Y}} {\partial \mathbf{X}}</math> |
|||
</li> |
|||
<li>'''[[Kaidah darab]]:''' |
|||
⚫ | |||
:<math> |
|||
\frac{\partial (\mathbf{Y}^T\mathbf{Z})}{\partial \mathbf{X}} = (\mathbf{Z}^T)\frac{\partial\mathbf{Y}}{\partial \mathbf{X}} + (\mathbf{Y}^T)\frac{\partial\mathbf{Z}}{\partial \mathbf{X}} |
|||
</math> |
|||
</li> |
|||
</ul> |
|||
[[en:Matrix calculus]] |
|||
⚫ | |||
[[pt:Cálculo matricial]] |
|||
⚫ | * {{en}}[http://caswww.colorado.edu/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf Matrix calculus] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20030613050921/http://caswww.colorado.edu/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf |date=2003-06-13 }} Apendiks dari buku ''Introduction to Finite Element Methods'' di University of Colorado at Boulder. Menggunakan definisi Hessian untuk turunan vektor dan matriks. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ |
Revisi terkini sejak 7 Mei 2021 18.48
![]() | Bagian ini memerlukan pengembangan. Anda dapat membantu dengan mengembangkannya. |
Kalkulus |
---|
Dalam matematika kalkulus matriks adalah notasi khusus untuk menghitung kalkulus multivariabel (kalkulus peubah banyak), terutama pada ruang matriks. Pada ruang matriks notasi ini mendefinisikan turunan matriks. Notasi ini cocok untuk memerikan sistem persamaan diferensial, dan mengambil turunan dari fungsi matriks terhadap variabel berbentuk matriks pula. Kalkulus matriks umum digunakan dalam statistika dan rekayasa, sedangkan notasi indeks tensor lebih disukai dalam fisika.
Notasi
[sunting | sunting sumber]Misalkan M(n,m) melambangkan ruang matriks riil n x m dengan n baris dan m kolom. Unsur ruang matriks ini dilambangkan sebagai F, X, Y, dan seterusnya. Sebuah unsur M(n,1), yaitu vektor kolom, dilambangkan dengan huruf kecil tebal x, dengan xT melambangkan vektor baris transposnya. Unsur M(1,1) adalah skalar, dan dilambangkan dengan a, b, f, t, dan seterusnya.
Kalkulus vektor
[sunting | sunting sumber]Karena ruang M(n,1) diidentifikasikan dengan ruang Euklides Rn dan M(1,1) diidentifikasikan dengan R, notasi di sini dapat mengakomodasi operasi biasa dalam kalkulus vektor.
- Vektor singgung terhadap kurva x: R → Rn adalah
- Gradien fungsi skalar f: Rn → R
- Diferensial fungsi f: Rm → Rn dideskripsikan oleh matriks Jacobi
Kalkulus matriks
[sunting | sunting sumber]Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks.
- Vektor singgung kurva F: R → M(n,m)
- Gradien fungsi skalar f: M(n,m) → R
- Diferensial atau turunan matriks dari fungsi adalah unsur dari , sebuah tensor peringkat empat (pembalikan m dan n di sini menandakan ruang dual dari M(n,m)). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks m×n yang masing-masing entrinya adalah matriks p×q.
Persamaan identitas
[sunting | sunting sumber]Perkalian matriks tidak komutatif, karena itu agar identitas berikut berlaku, urutan perkalian tidak boleh diubah.
- Kaidah rantai: Bila Z adalah fungsi dari Y, yang pada gilirannya adalah fungsi dari X
- Kaidah darab:
Pranala luar
[sunting | sunting sumber]- (Inggris)Matrix calculus Diarsipkan 2003-06-13 di Wayback Machine. Apendiks dari buku Introduction to Finite Element Methods di University of Colorado at Boulder. Menggunakan definisi Hessian untuk turunan vektor dan matriks.
- (Inggris)Matrix calculus Matrix Reference Manual, Imperial College London.
- (Inggris)The Matrix Cookbook, dengan bab turunan. Menggunakan definsi Hessian.