Fonon

Fonon merupakan gelombang getaran dalam kristal seperti halnya pada gelombang cahaya. Getaran atom dalam kristal tak begitu banyak pada suhu rendah, gelombang getaran atom harus dipandang seperti fonon, agar dapat diterangkan hasil pengukuran perubahan kapasitas kalor terhadap suhu pada suhu rendah. Konduksi kalor dalam bahan padat secara mikroskopik hanya dapat diterangkan dengan adanya benturan antara fonon dengan fonon lainnya.

Fonon dalam fisika adalah kuantum kuantum moda vibrasi pada kisi kristal tegar, seperti kisi kristal pada zat padat. Kristal dapat dibentuk dari larutan, uap, lelehan atau gabungan dari ketiganya. Pembentukan kristal sangat dipengaruhi oleh laju nukleasi dan pertumbuhan. Bila pertumbuhan lambat, kristal yang terbentuk akan cukup besar, disertai dengan penataan atom–atom atau molekul-molekul secara teratur dengan berulang sehingga sehingga energi potensialnya minimum. Fisika zat padat sangat berkaitan erat dengan kristal dan elektron di dalamnya. Fisika zat padat mengalami perkembangan pesat setelah ditemukan Sinar-X dan keberhasilan di dalam memodelkan susunan atom dalam kristal. Atom-atom atau molekul–molekul dapat berbentuk kisi kristal melalui gaya tarik menarik (gaya coulomb). Kisi–kisi tersebut tersusun secara priodik membentuk kristal. Atom–atom yang menyusun zat padat bervibrasi terhadap posisi keseimbanganya sehingga kisi–kisi kristal pun ikut bervibrasi. Fenomena yang muncul dari kuantisasi sistem fisika zat padat tetapi memiliki perbedaan energi dengan panjang gelombang lebih panjang dibanding gelombang elektromagnetik disebut fonon. Energi kuantum dari vibrasi gerak dalam medan gelombang elastis dapat dianalogikan seperti dalam foton dalam gelombang elektromagnetik.

Pembahasan

Persamaan gelombang elastis:

E=1/2 KA²...................................................................(1)

Persamaan gel elektromagnetik adalah

E = hυ..................................................................................(2)

Hal ini berarti bahwa fonon berkaitan dengan transisi panjang gelombang yang lebih panjang. Perambatan kisi vibrasi kristal dapat dinyatakan sebagai gelombang suara dan kecepatan perambatannya identik dengan kecepatan suara dalam zat padat. Gelombang suara merupakan gelombang transversal:

λ_n= 2L/n....................................................................(3)

n = 3 → λ₃ = 2L/3 n = 2 → λ₂ = 2L/2 n = 1 → λ₁ = 2L/1=2L

Energi phonon

E=hυ E=hv_s E=hv_sn/2L....................................................................(4)

V_s = kecepatan suara dalam zat padat

Vibrasi kristal monoatomik

Terdapat dua mode vibrasi dari atom dalam kristal:

• 1. Vibrasi logitudinal merupakan mode vibrasi yang arah vibrasinya searah dengan arah rambatan.
• 2. Vibrasi transversal merupakan mode vibrasi yang arah vibrasinya tegak lurus arah rambatan

Sebuah kristal kubus sederhana monoatomik [100], [110], dan [111] yang bervibrasi mempunyai frekuensi gelombang elastis, ditinjau dari segi vektor gelombang akan merambat secara pararel dan tegak lurus terhadap arah vektor gelombang. Setiap perpindahan bidang (S) dari posisi keseimbangannya akan mempunyai vekktor gelombang dengan tiga bentuk mode: satu polarisasi longitudinal dan dua polarisasi transversal.

Terdapat dua jenis fonon dalam kisi kristal:

1. optikal
2. akustik

Respon elastis yang terjadi merupakan fungsi linear dari gaya, yang ekivalen dengan energi, sebagai fungsi kuadrat dari perpindahan di antara dua titik dalam kristal. Energi saat keseimbangan mencapai minimum. Gaya pada bidang S disebabkan oleh perpindahan bidang S + P, sehingga terdapat selisih U_{s+ p} – U_s. Interaksi antara dua tetangga terdekat (P = ± 1), sehingga total gaya:

F_s = C(U_s+1-U_s)+(U_s-1–U_s)........(5)

Pernyataan di atas identik dengan Hukum Law. Harga konstanta C akan berbeda untuk gelombang longitudinal dan tranversal. Persamaan gerak untuk bidang s adalah:

M.d²U_s/dt²=C(U_s+1+U_s-1-2U_s).........................................................................(6)

Persamaan gerak di atas terbentuk pada waktu exp(-iωt)

d²U_s/dt^{2= -ω2U_s.............(7)}

Sehingga persamaan(5)menjadi:

-Mω²U_s = C(U_s+1+U_s-1-2U_s)........(8)

Dengan asumsi gelombang merupakan gelombang berjalan:

U_s±1= U exp(i_sKa)exp(±iKa.)............................(9)

Di mana:

a = jarak antara bidang

K = vektor gelombang

Subtitusi persamaan (6) dan (7) diperoleh:

-ω²MUexp(i_sKa) = Cu{exp[i(s+1)Ka]+exp[i(s-1)Ka]-2exp[isKa]} ω²M= -C[exp(iKa)+exp(-iKa)-2................................................(10)

Karena, 2cosKa=exp(iKa)+exp(-iKa), maka diperoleh hubungan ω dan k:

ω²=(2C/M)(1-cosKa)..........................................................(11)

Batas daerah Brillouin pertama terletak pada K=±π/a, Kemiringan ω terhadap K adalah nol pada zone batas,sehingga:

dω²/dK=(2C/M)sinKa = 0

Akan diperoleh:

Sin ka = sin(±π)= 0

Melalui identitas trigonometri persamaan (11) dapat ditulis menjadi:

ω²=(4C/M)sin₂1/2Ka.............................................(12)

Jika ω diturunkan terhadap akan diperoleh:

dω/dK = V_g.................................................................(13)

di mana: V_g = kecepatan kelompok

Vibrasi kristal sederhana diatomik

Penyebaran fonon untuk kristal sederhana diatomik atau lebih akan memberikan arah penyebaran yang berbeda dibanding kristal monoatomik. Tiap polarisasi akan memberikan arah hubungan penyebaran ω terhadap k dengan pola dua cabang: akustik dan optikal. Sehingga akan diperoleh LA dan TA (longitudinal acoustic dan transversal acoustic),serta LO dan TO (longitudinal optik dan tranversal optik).

Sel sederhana dengan P atom mempunyai 3P cabang dengan 3 cabang acoustic 3P-3 cabang optikal, jumlah cabang selanjutnya disebut derajat kebebasan. Untuk kristal kubus diatomik dengan masa M₁ dan M₂ yang berbeda. Persamaan gerak dengan anggapan tiap bidang berinteraksi hanya dengan atom tetangga terdekat dan konstanta gaya sama, diperoleh:

M₁ . d²U_s/dt² = C(sup>V_{s< + Vs-1 - 2Us..............................................................(14)}

M₂ . d²V_s/dt² = C(U_s+1 + U_s - 2V_s........................................................(14)

Persamaan di atas dapat diselesaikan dalam bentuk gelombang berjalan yang amplitudo keduanya berskala U dan V:

U_s = U exp(iska)exp(-iωt)...................................................(15) V_s = V exp(iska)exp(-iωt)...................................................(15)

Dengan substitusi persamaan 14 dengan 15 akan diperoleh:

-ω²M₁.U= C_V[1 + exp(-iKa)- 2 C_U............(16)

-ω²M₂.V= C_U[1 + exp(iKa+1)- 2 C_V...........(16)

Persamaan di atas diselesaikan jika koefisien determinan yang tidak diketahui U dan V direduksi sehingga akan diperoleh matriks: 2C – M₁ω² -C[1 + exp(-ika)] -C(1 + exp(ika) 2C– M₂ω²

Atau:

M₁M₂ω⁴ – 2c (M₁ + M₂)ω² + 2C²(1–cosKa) = 0 ......................................................(17)

Jika Ka << 1 dan Ka = ±π pada daerah batas, sehingga:

cos Ka ≈ 1 - 1/2 K²a²

Akan diperoleh persamaan:

ω²≈ 2C(1/M₁ + 1/M₂) (cabang optik).................(18)

ω²≈ ((1/2)C/(M₁ + M₂))) K²a² (cabang acoustic)..................................................................(19)