Kompleks Amitsur: Perbedaan antara revisi
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
k fix |
||
(4 revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
{{Periksa terjemahan|en|Amitsur complex}} |
{{Periksa terjemahan|en|Amitsur complex}} |
||
Dalam aljabar, '''kompleks Amitsur''' adalah [[kompleks rantai|kompleks]] alami yang terkait dengan [[homomorfisme gelanggang]]. Kompleks ini diperkenalkan oleh Shimshon Amitsur. Ketika homomorfisme |
Dalam aljabar, '''kompleks Amitsur''' adalah [[kompleks rantai|kompleks]] alami yang terkait dengan [[homomorfisme gelanggang]]. Kompleks ini diperkenalkan oleh Shimshon Amitsur. Ketika homomorfisme dikatakan ''[[Wikipedia:PDMA/MTK#faithfully flat|datar dan setia]]'' ({{Lang-en|faithfully flat}}), maka kompleks Amitsur adalah eksak (yang menentukan resolusi) dasar dari teori [[penurunan rata tepat]]. |
||
Gagasan tersebut seharusnya dipandang sebagai mekanisme untuk melampaui konvensional [[lokalisasi gelanggang dan modul]].<ref>{{harvnb|Artin|1999|loc=III.7.}}</ref> |
Gagasan tersebut seharusnya dipandang sebagai mekanisme untuk melampaui konvensional [[lokalisasi gelanggang dan modul]].<ref>{{harvnb|Artin|1999|loc=III.7.}}</ref> |
||
Baris 8: | Baris 8: | ||
Misal <math>\theta\colon R \to S</math> adalah homomorfisme dari gelanggang yang tidak memerlukan sifat komutatif. Untuk memulainya, yang harus dilakukan pertama adalah mendefinisikan [[himpunan kosimplisial]] <math>C^\bullet = S^{\otimes \bullet+1}</math> (dengan <math>\otimes</math> merujuk pada <math>\otimes_R</math>, bukan <math>\otimes_{\Z}</math>). Kemudian, definisikan wajah peta <math>d^i\colon S^{\otimes {n+1}} \to S^{\otimes n+2}</math> dengan menyisipkan 1 pada titik ke-''i'' :{{efn|Dalam referensi (M. Artin), tampaknya memiliki kesalahan ketik, dan ini harus menjadi rumus yang benar; lihat perhitungan <math>s_0</math> dan <math>d^2</math> di catatan.}} |
Misal <math>\theta\colon R \to S</math> adalah homomorfisme dari gelanggang yang tidak memerlukan sifat komutatif. Untuk memulainya, yang harus dilakukan pertama adalah mendefinisikan [[himpunan kosimplisial]] <math>C^\bullet = S^{\otimes \bullet+1}</math> (dengan <math>\otimes</math> merujuk pada <math>\otimes_R</math>, bukan <math>\otimes_{\Z}</math>). Kemudian, definisikan wajah peta <math>d^i\colon S^{\otimes {n+1}} \to S^{\otimes n+2}</math> dengan menyisipkan 1 pada titik ke-''i'' :{{efn|Dalam referensi (M. Artin), tampaknya memiliki kesalahan ketik, dan ini harus menjadi rumus yang benar; lihat perhitungan <math>s_0</math> dan <math>d^2</math> di catatan.}} |
||
:<math>d^i(x_0 \otimes \cdots \otimes x_n) = x_0 \otimes \cdots \otimes x_{i-1} \otimes 1 \otimes x_i \otimes \cdots \otimes x_n.</math> |
:<math>d^i(x_0 \otimes \cdots \otimes x_n) = x_0 \otimes \cdots \otimes x_{i-1} \otimes 1 \otimes x_i \otimes \cdots \otimes x_n.</math> |
||
Kemudian, definisikan degenerasi <math>s^i\colon S^{\otimes n+1} \to S^{\otimes n}</math> dengan mengalikan ke-''i'' dan titik-(''i' ' |
Kemudian, definisikan degenerasi <math>s^i\colon S^{\otimes n+1} \to S^{\otimes n}</math> dengan mengalikan ke-''i'' dan titik-(''i' ' + 1): |
||
:<math>s^i(x_0 \otimes \cdots \otimes x_n) = x_0 \otimes \cdots \otimes x_i x_{i+1} \otimes \cdots \otimes x_n.</math> |
:<math>s^i(x_0 \otimes \cdots \otimes x_n) = x_0 \otimes \cdots \otimes x_i x_{i+1} \otimes \cdots \otimes x_n.</math> |
||
Definisi-definisi di atas memenuhi identitas sederhana "jelas", dan dengan demikian, <math>S^{\otimes \bullet + 1}</math> adalah himpunan kosimplisial. Hal tersebut menentukan kompleks dengan augumentasi <math>\theta</math> pada '''kompleks Amitsur''':<ref>{{harvnb|Artin|1999|loc=III.6.}}</ref> |
Definisi-definisi di atas memenuhi identitas sederhana "jelas", dan dengan demikian, <math>S^{\otimes \bullet + 1}</math> adalah himpunan kosimplisial. Hal tersebut menentukan kompleks dengan augumentasi <math>\theta</math> pada '''kompleks Amitsur''':<ref>{{harvnb|Artin|1999|loc=III.6.}}</ref> |
||
Baris 46: | Baris 46: | ||
==Catatan== |
==Catatan== |
||
{{div col|colwidth=30em}} |
|||
{{notelist}} |
{{notelist}} |
||
{{div col end}} |
|||
== Referensi == |
== Referensi == |
Revisi terkini sejak 12 Juni 2023 05.18
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Amitsur complex di en.wiki-indonesia.club. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel) |
Dalam aljabar, kompleks Amitsur adalah kompleks alami yang terkait dengan homomorfisme gelanggang. Kompleks ini diperkenalkan oleh Shimshon Amitsur. Ketika homomorfisme dikatakan datar dan setia (bahasa Inggris: faithfully flat), maka kompleks Amitsur adalah eksak (yang menentukan resolusi) dasar dari teori penurunan rata tepat.
Gagasan tersebut seharusnya dipandang sebagai mekanisme untuk melampaui konvensional lokalisasi gelanggang dan modul.[1]
Definisi
[sunting | sunting sumber]Misal adalah homomorfisme dari gelanggang yang tidak memerlukan sifat komutatif. Untuk memulainya, yang harus dilakukan pertama adalah mendefinisikan himpunan kosimplisial (dengan merujuk pada , bukan ). Kemudian, definisikan wajah peta dengan menyisipkan 1 pada titik ke-i :[a]
Kemudian, definisikan degenerasi dengan mengalikan ke-i dan titik-(i' ' + 1):
Definisi-definisi di atas memenuhi identitas sederhana "jelas", dan dengan demikian, adalah himpunan kosimplisial. Hal tersebut menentukan kompleks dengan augumentasi pada kompleks Amitsur:[2]
dengan
Ketepatan kompleks Amitsur
[sunting | sunting sumber]Kasus faithfully flat
[sunting | sunting sumber]Dalam notasi di atas, jika adalah rata tepat kanan, maka teorema Alexander Grothendieck menyatakan bahwa kompleks (imbuhan) adalah eksak dan karenanya adalah resolusi. Lebih umum, jika adalah rata tepat kanan, maka M untuk setiap modul kiri-R,
adalah eksak.[3]
Bukti:
Langkah 1: Pernyataan benar jika terbagi sebagai homomorfisme gelanggang.
Bahwa "terbagi " adalah menyatakan untuk beberapa homomorfisme ( merupakan retraksi dan terbagi ). Diberikan sebagai
oleh
Perhitungan yang mudah menunjukkan identitas berikut: dengan ,
- .
Hal ini untuk menyebutkan bahwa h adalah operator homotopi dan dengan demikian sebagai menentukan nol peta pada kohomologi: yaitu, kompleksnya adalah eksak.
Langkah 2: Pernyataan tersebut benar secara umum.
Kami berkomentar bahwa adalah bagian dari . Jadi, Langkah 1 yang diterapkan pada homomorfisme gelanggang terbagi menyatakan:
dimana adalah eksak. Karena , dsg., dengan "rata tepat" maka urutan aslinya adalah eksak.
Kasus topologi busur
[sunting | sunting sumber]Bhargav Bhatt and Peter Scholze (2019, §8) tunjukkan bahwa kompleks Amitsur eksak jika R dan S adalah gelanggang sempurna (komutatif), dan peta harus menjadi peliputan pada topologi busur (yang merupakan kondisi yang lebih lemah daripada peliputan pada topologi datar).
Catatan
[sunting | sunting sumber]- ^ Dalam referensi (M. Artin), tampaknya memiliki kesalahan ketik, dan ini harus menjadi rumus yang benar; lihat perhitungan dan di catatan.
Referensi
[sunting | sunting sumber]- ^ Artin 1999, III.7.
- ^ Artin 1999, III.6.
- ^ Artin 1999, Theorem III.6.6.
Bibliografi
[sunting | sunting sumber]- Artin, Michael (1999), Noncommutative rings (Berkeley lecture notes) (PDF)
- Amitsur, Shimshon (1959), "Simple algebras and cohomology groups of arbitrary fields", Transactions of the American Mathematical Society, 90 (1): 73–112
- Bhatt, Bhargav; Scholze, Peter (2019), Prisms and Prismatic Cohomology, arXiv:1905.08229
- Amitsur complex di nLab