Deret Fourier

Dalam matematika, Deret Fourier merupakan penguraian fungsi periodik menjadi jumlahan fungsi-fungsi berosilasi, yaitu fungsi sinus dan kosinus, ataupun eksponensial kompleks. Studi deret Fourier merupakan cabang analisis Fourier. Deret Fourier diperkenalkan oleh Joseph Fourier (1768-1830) untuk memecahkan masalah persamaan panas di lempeng logam.

Persamaan panas merupakan persamaan diferensial parsial. Sebelum Fourier, pemecahan persamaan panas ini tidak diketahui secara umum, meskipun solusi khusus diketahui bila sumber panas berperilaku dalam cara sederhana, terutama bila sumber panas merupakan gelombang sinus atau kosinus. Solusi sederhana ini saat ini kadang-kadang disebut sebagai solusi eigen. Gagasan Fourier adalah memodelkan sumber panas ini sebagai superposisi (atau kombinasi linear) gelombang sinus dan kosinus sederhana, dan menuliskan pemecahannya sebagai superposisi solusi eigen terkait. Superposisi kombinasi linear ini disebut sebagai deret Fourier.

Meskipun motivasi awal adalah untuk memecahkan persamaan panas, kemudian terlihat jelas bahwa teknik serupa dapat diterapkan untuk sejumlah besar permasalahan fisika dan matematika. Deret Fourier saat ini memiliki banyak penerapan di bidang teknik elektro, analisis vibrasi, akustika, optika, pengolahan citra, mekanika kuantum, dan lain-lain.

Definisi

Deret Fourier dari fungsi $f$ pada $\mathbb {R}$ dengan periode $2\pi$ adalah (jika eksis)

${\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right)$,

di mana koefisien-koefisien Fourier $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ dan $(b_{n})_{n=1}^{\infty }$ ditentukan oleh

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(\theta )\cos(n\theta )d\theta \quad {\mbox{dan}}\quad b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(\theta )\sin(n\theta )d\theta .$

Konvergen

Teorema

Jika $f$ periodik dengan periode $2\pi$, kontinu dan mulus bagian demi bagian, maka deret Fourier dari $f$ konvergen mutlak dan secara seragam pada $\mathbb {R}$.

Pranala luar

• Tutorial flash interaktif untuk deret Fourier
• Phasor Phactory Allows custom control of the harmonic amplitudes for arbitrary terms
• Java applet Ekspansi deret Fourier untuk fungsi sembarang
• Example problems - Contoh perhitungan deret Fourier
• Fourier series explanation - pendekatan nonmatematis sederhana
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Fourier Series". MathWorld. 
• Modul deret Fourier oleh John H. Mathews
• Joseph Fourier - Situs web tentang riwayat Fourier historical section of this article
• SFU.ca - 'Teorema Fourier'
• In the bottom of this interactive lecture, animasi Java yang menunjukkan bagaimana pengaruh terhadap deret Fourier bila suku orde ke-n+1 ditambahkan ke suku ke-n