Masalah Monty Hall

Dalam pencarian mobil baru, pemain menebak pintu 1. Pembawa acara kemudian membuka pintu 3 dan menampakkan seekor kambing dan kemudian menanyakan pemain apakah pemain ingin beralih ke pintu 2 atau tetap pada pintu 1.

Masalah Monty Hall adalah sebuah teka-teki yang melibatkan probabilitias dan berasal dari sebuah acara permainan Amerika Let's Make a Deal. Nama masalah ini berasal dari nama pembawa acara tersebut, Monty Hall. Masalah ini juga disebut sebagai paradoks Monty Hall; ia adalah paradoks dalam artian penyelesaian masalah tersebut adalah berlawanan dengan intuisi seseorang.

Pernyataan yang terkenal dari masalah ini dipublikasikan di majalah Parade:

Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice? (Whitaker 1990)

Terjemahannya:

Apabila Anda berada dalam suatu acara kuis di TV dan diberikan pilihan untuk memilih tiga pintu: Di belakang salah satu pintu tersebut terdapat sebuah mobil dan dua lainnya terdapat kambing. Anda memilih salah satu pintu, misalnya pintu No. 1, dan pembawa acara yang sudah tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut membuka pintu lainnya, misalnya pintu No.3, yang ternyata terdapat seekor kambing. Pembawa acara tersebut kemudian berkata kepada anda, "Apakah anda ingin memilih pintu No. 2?" Apakah mengalihkan pilihan lebih menguntungkan anda?

Oleh karena pemain tidak tahu apa yang ada di belakang kedua pintu sisanya, kebanyakan orang akan berasumsi bahwa setiap pintu akan memiliki probabilitas yang sama dan mengambil kesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak akan menaikkan probabilitas pemain untuk memenangkan mobil tersebut dari 1/3 menjadi 2/3.

Ketika masalah dan penyelesaiannya muncul di Parade, sekitar 10.000 pembaca, termasuk beratus-ratus profesor matematika, menulis surat kepada majalah tersebut dan mengklaim penyelesaian yang dipublikasikan adalah salah. Beberapa kontroversi ini disebabkan oleh pernyataan Parade atas masalah ini yang ambigu secara teknik. Namun, bahkan jika masalah ini dinyatakan secara tidak ambigu dan disertai dengan penjelasan-penjelasan, simulasi-simulasi, dan bukti matematika formal, banyak orang yang masih tidak percaya akan jawaban masalah tersebut.

Masalah

Steve Selvin menulis sebuah surat kepada majalah The American Statistician pada tahun 1975 yang menanyakan masalah yang berdasarkan pada acara permainan Let's Make a Deal (Selvin 1975a). Dalam surat tersebut, ia menamakannya "Masalah Monty Hall" (Selvin 1975b). Masalah ini secara matematika sama dengan (Morgan et al., 1991) Masalah Tiga Tahanan yang dideskripsikan pada kolom Mathematical GamesMartin Gardner di majalah Scientific American pada tahun 1959 (Gardner 1959).

Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice? (Whitaker 1990)

Terjemahannya:

Apabila Anda berada dalam suatu acara kuis di TV dan diberikan pilihan untuk memilih tiga pintu: Di belakang salah satu pintu tersebut terdapat sebuah mobil dan dua lainnya terdapat kambing. Anda memilih salah satu pintu, misalnya pintu No. 1, dan pembawa acara yang sudah tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut membuka pintu lainnya, misalnya pintu No.3, yang ternyata terdapat seekor kambing. Pembawa acara tersebut kemudian berkata kepada anda, "Apakah anda ingin memilih pintu No. 2?" Apakah mengalihkan pilihan lebih menguntungkan anda?

Sebenarnya terdapat beberapa ambiguitas dalam formulasi masalah ini, yaitu tidaklah jelas apakah pembawa acara tersebut akan selalu membuka pintu yang lainnya, menawarkan pilihan untuk mengalihkan pilihan, atau bahkan apakah ia akan membuka pintu yang di dalamnya terdapat mobil (Mueser and Granberg 1999). Analisa standar pada masalah ini memiliki asumsi bahwa pembawa acara tersebut dibatasi untuk selalu membuka pintu yang menampakkan kambing, menawarkan pemain untuk mengalihkan pilihannya, dan membuka dua pintu sembarang jika pilihan pertama pemain sebenarnya adalah mobil (Barbeau 2000:87). Oleh karena itu, pernyataan masalah yang lebih tepat adalah sebagai berikut:

Suppose you're on a game show and you're given the choice of three doors. Behind one door is a car; behind the others, goats. The car and the goats were placed randomly behind the doors before the show. The rules of the game show are as follows: After you have chosen a door, the door remains closed for the time being. The game show host, Monty Hall, who knows what is behind the doors, now has to open one of the two remaining doors, and the door he opens must have a goat behind it. If both remaining doors have goats behind them, he chooses one randomly. After Monty Hall opens a door with a goat, he will ask you to decide whether you want to stay with your first choice or to switch to the last remaining door. Imagine that you chose Door 1 and the host opens Door 3, which has a goat. He then asks you "Do you want to switch to Door Number 2?" Is it to your advantage to change your choice? (Krauss and Wang 2003:10)

Terjemahannya:

Apabila Anda berada dalam suatu acara kuis di TV dan diberikan pilihan untuk memilih tiga pintu: Di belakang salah satu pintu tersebut terdapat sebuah mobil dan dua lainnya terdapat kambing. Mobil dan kambing-kambing tersebut diletakkan secara acak di belakang pintu sebelum acara dimulai. Peraturan permainan ini adalah: Setelah anda memilih sebuah pintu, pintu akan tetap tertutup. Pembawa acara Monty Hall yang tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu diharuskan untuk memilih dua pintu sisanya, dan pintu yang dia buka haruslah pintu yang terdapat kambing. Jika kedua pintu sisa tersebut dua-duanya terdapat kambing di belakangnya, maka dia akan memilih secara acak. Setelah Monty Hall membuka sebuah pintu yang terdapat kambing, dia akan menanyakan Anda apakah Anda ingin bertahan pada pilihan pertama anda atau beralih pada pintu terakhir yang tersisa. Bayangkan anda memilih Pintu 1 dan pembawa acara membuka pintu 3 yang terdapat kambing. Dia kemudian bertanya, "Apakah Anda ingin beralih ke Pintu 2?" Apakah mengalihkan pilihan lebih menguntungkan anda?

Perlu dicatat bahwa pemain pada awalnya memilih pintu sembarang (bukan hanya pintu 1) dan pembawa acara membuka pintu yang terdapat kambing (tidak seperlunya pintu 3). Selain itu, kita juga berasumsi bahwa pemain tersebut berusaha untuk memenangkan mobil tersebut.

Penyelesaian

Keseluruhan probabilitas kemenangan dari pengalihan pilihan adalah tergantung pada lokasi mobil tersebut. Apabila kita mengikuti asumsi masalah di atas dan pemain memilih pintu 1, maka terdapat tiga skenario:

• Pemain memilih pintu yang di belakangnya terdapat mobil. Pembawa acara harus membuka salah satu dari dua pintu sisanya secara acak.
• Mobil tersebut berada di belakang pintu 2 dan pembawa acara harus membuka pintu 3.
• Mobil tersebut berada di belakang pintu 3 dan pembawa acara harus membuka pintu 2.

Pemain memilih Pintu 1
Mobil di belakang Pintu 1		Mobil di belakang Pintu 2	Mobil di belakang Pintu 3
Pembawa acara membuka salah satu dari dua pintu		Pembawa acara harus membuka Pintu 3	Pembawa acara harus membuka Pintu 2
Probabilitas kalah jika mengalihkan pilihan adalah 1/6	Probabilitas kalah jika mengalihkan pilihan adalah 1/6	Probabilitas menang jika mengalihkan pilihan adalah 1/3	Probabilitas menang jika mengalihkan pilihan adalah 1/3

Pemain yang memilih untuk mengalihkan pilihannya akan menang jika mobil tersebut berada di dua pintu yang tidak terpilih. Dalam dua kasus tersebut, masing-masing terdapat 1/3 probabilitas kemenangan jika mengalihkan pilihan, sehingga total probabilitas kemenangan adalah 2/3.

Penalaran di atas berlaku untuk semua kondisi tanpa perlu kita tahu pembuka acara akan membuka pintu yang mana (Morgan dkk. 1991). Hal ini berarti jika banyak pemain secara acak memilih untuk mengalihkan pilihan atau tetap pada pilihan semula, maka 1/3 dari mereka yang memilih untuk tetap pada pilihan semula dan 2/3 dari mereka yang memilih untuk mengalihkan pilihan akan memenangkan mobil tersebut. Hasil ini telah diverifikasi secara eksperimen dengan menggunakan komputer dan teknik-teknik simulasi lainnya. (Lihat pula bagian Simulasi di bawah).

Diagram pohon yang menjelaskan probabilitas dari setiap kemungkinan jika pada awalnya pemain memilih Pintu 1.

Sumber kerancuan

Ketika masalah Monty Hall ini pertama kali dipaparkan, mayoritas orang akan berasumsi bahwa setiap pintu memiliki probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak akan ada bedanya (Mueser and Granberg, 1999). Dari 228 responden pada sebuah kajian, hanya 13% yang memilih untuk mengalihkan pilihan (Granberg and Brown, 1995:713). Dalam bukunya, The Power of Logical Thinking, vos Savant (1996:15) mengutip perkataan psikolog kognitif Massimo Piattelli-Palmarini, "... tidak ada teka-teki statistik lain yang begitu membodohi semua orang di setiap waktu" dan "[menyadari] bahwa bahkan fisikawan penerima hadiah Nobel pun secara sistematis memberikan jawaban yang salah, dan mereka bersikeras pada jawaban mereka yang salah itu, serta bersedia untuk mencacimaki siapapun yang memberikan jawaban yang benar."

Kebanyakan pernyataan masalah ini, terutama yang terdapat pada Majalah Parade tidak mengikuti peraturan acara kuis TV yang sebenarnya, dan tidak secara jelas menjelaskan tingkah laku pembawa acara dan lokasi mobil yang acak secara jelas (Granberg and Brown, 1995:712). Krauss dan Wang (2003:10) memberikan konjektur bahwa orang akan membuat asumsi standar bahkan jika tidak diberitahukan secara eksplisit. Walaupun ketidakjelasan pernyataan ini merupakan masalah yang sangat signifikan dalam matematika, bahkan ketika kita mengatasi faktor-faktor ketidakjelasan ini hampir semua orang masih tetap berpikir bahawa masing-masing pintu yang tidak terbuka memiliki probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihakn pilihan tidak ada bedanya. (Mueser and Granberg, 1999). Asumsi "probabilitas sama" ini berakar kuat pada intuisi seseorang (Falk 1992:202). Kebanyakan orang memiliki kecenderungan yang kuat untuk berpikir bahwa probabilitas akan terdistribusi secara seimbang di setiap anu (unknown) yang tersedia, baik itu benar maupun tidak. (Fox and Levav, 2004:637).

Intuisi lainnya yang juga bertanggung jawab atas kerancuan ini adalah keyakinan bahwa pemberitahukan informasi yang telah kita ketahui tidak akan mempengaruhi probabilitas (Falk 1992:207). Intuisi ini adalah dasar penyelesaian dari masalah yang menegaskan bahwa pembawa acara yang membuka sebuah pintu tidak akan mengubah probabilitas pemain sebesar 1/3 untuk memilih mobil. Untuk masalah yang eksplisit, intuisi ini akan mengantarkan kita pada jawaban yang benar, yaitu 2/3 peluang menang jika mengalihkan pilihan, namun intuisi ini juga mengantarkan kita pada jawaban yang sama ketika diberikan variasi masalah yang berbeda, dan jawaban intuisi tersebut tidaklah benar (Falk 1992:207).

Sumber kerancuan lainnya terdapat pada susunan kata-kata dari penyataan masalah yang menanyakan probabilitas bersyarat kemenangan dengan memberitahukan pintu mana yang pembawa acara buka ketimbang probabilitas keseluruhan atau probabilitas takbersyarat. Kedua hal ini adalah pertanyaan yang berbeda secara matematika dan memiliki jawaban yang berbeda bergantung pada bagaimana pembawa acara memilih pintu yang dia buka apabila pilihan awal pemain adalah mobil (Morgan dkk., 1991; Gillman 1992). Sebagai contoh, jika pembawa acara sebisa mungkin berusaha membuka Pintu 3, maka probabilitas kemenangan pemain yang pada awalnya memilih Pintu 1 dan kemudian mengalihkan pilihan adalah 2/3, namun probabilitas ini akan menjadi 1/2 apabila pembawa acara telah membuka Pintu 3. Oleh karena itu, bentuk kalimat pernyataan yang tidak menjelaskan secara detail tingkah laku pembawa acara menjadikan jawaban probabilitas 2/3 tidak dibenarkan secara matematika. Kebanyakan penyelesaian yang diberikan mengalamatkan probabilitas takbersyarat dan menghiraukan pintu mana yang pembawa acara buka; Morgan dkk. menjulukinya sebagai "penyelesaian salah" (false solutions) (1991).