Integral Lebesgue: Perbedaan antara revisi
Tampilan
Konten dihapus Konten ditambahkan
k +{{Authority control}} |
k Bersih-bersih (via JWB) |
||
Baris 8: | Baris 8: | ||
=== Ruang ukuran === |
=== Ruang ukuran === |
||
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu [[Ukuran (matematika)|ruang ukuran]] <math> ( |
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu [[Ukuran (matematika)|ruang ukuran]] <math> (X, \Sigma, \mu) </math>. |
||
=== Integral dari fungsi sederhana === |
=== Integral dari fungsi sederhana === |
||
Baris 19: | Baris 19: | ||
Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana <math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> sebagai |
Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana <math> \phi = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> sebagai |
||
:<math> \int _X \phi\, d \mu = \sum _{i=1} ^n \, \alpha _i \mu ( |
:<math> \int _X \phi\, d \mu = \sum _{i=1} ^n \, \alpha _i \mu (A _i) .</math> |
||
=== Integral dari fungsi tak negatif === |
=== Integral dari fungsi tak negatif === |
||
Misalnya <math> f: ( |
Misalnya <math> f: (X, \Sigma) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B} (\mathbb{R})) </math> suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana <math> \mathcal{B} (\mathbb{R}) </math> aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai |
||
:<math> \int _X f \, d \mu = \sup \left\{ \int _X \phi \, d \mu: \phi \text{ sederhana, } 0 \leq \phi \leq f \right\} .</math> |
:<math> \int _X f \, d \mu = \sup \left\{ \int _X \phi \, d \mu: \phi \text{ sederhana, } 0 \leq \phi \leq f \right\} .</math> |
||
Perhatikan bahwa <math> \int _X f \, d \mu \in [ 0, \infty ] </math>. |
Perhatikan bahwa <math> \int _X f \, d \mu \in [ 0, \infty ] </math>. |
||
=== Integral dari fungsi terukur sembarang === |
=== Integral dari fungsi terukur sembarang === |
||
Misalnya <math> f: ( |
Misalnya <math> f: (X, \Sigma) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B} (\mathbb{R})) </math> suatu fungsi terukur. |
||
Selanjutnya fungsi tak negatif <math> f ^+ </math> dan <math> f^- </math> adalah didefinisikan tik demi tik sebagai <math> f ^+ = \max \{ f, 0 \} </math> dan <math> f ^- = \max \{ - f, 0 \} </math>. |
Selanjutnya fungsi tak negatif <math> f ^+ </math> dan <math> f^- </math> adalah didefinisikan tik demi tik sebagai <math> f ^+ = \max \{ f, 0 \} </math> dan <math> f ^- = \max \{ - f, 0 \} </math>. |
||
Perhatikan bahwa <math> f = f ^+ - f ^- </math> dan <math> | f | = f ^+ + f ^- </math>. |
Perhatikan bahwa <math> f = f ^+ - f ^- </math> dan <math> | f | = f ^+ + f ^- </math>. |
Revisi per 3 Desember 2022 10.57
Kalkulus |
---|
Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.
Konstruksi
Ruang ukuran
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran .
Integral dari fungsi sederhana
Fungsi karakteristik untuk himpunan adalah
Suatu fungsi tersebut fungsi sederhana, jika
untuk , dan .
Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana sebagai
Integral dari fungsi tak negatif
Misalnya suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai
Perhatikan bahwa .
Integral dari fungsi terukur sembarang
Misalnya suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif dan adalah didefinisikan tik demi tik sebagai dan . Perhatikan bahwa dan .
Jika dan , maka dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan
Jelas, terintegralkan jika dan hanya jika .
Sifat-sifat dasar
- Integral itu linear, yaitu jika dan fungsi terintegralkan, maka juga terintegralkan dengan
- Integral itu monoton, yaitu jika fungsi terintegralkan dan , maka