Kalkulus matriks: Perbedaan antara revisi
k +Kalkulus vektor, tahap 3 lanjutan terjemahan en |
k lanjutan terjemahan |
||
Baris 44: | Baris 44: | ||
Diferensial sepanjang '''f''' dari vektor '''v''' dalam '''R'''<sup>''m''</sup> adalah |
Diferensial sepanjang '''f''' dari vektor '''v''' dalam '''R'''<sup>''m''</sup> adalah |
||
:<math>d\,\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \mathbf{v}.</math> |
:<math>d\,\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \mathbf{v}.</math> |
||
</li> |
|||
</ul> |
|||
== Kalkulus matriks == |
|||
Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks. |
|||
<ul> |
|||
<li>Vektor singgung kurva '''F''' : '''R''' → ''M''(''n'',''m'') |
|||
:<math> |
|||
\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial t} = |
|||
\begin{bmatrix} |
|||
\frac{\partial F_{1,1}}{\partial t} & \cdots & \frac{\partial F_{1,m}}{\partial t}\\ |
|||
\vdots & \ddots & \vdots\\ |
|||
\frac{\partial F_{n,1}}{\partial t} & \cdots & \frac{\partial F_{n,m}}{\partial t}\\ |
|||
\end{bmatrix}. |
|||
</math> |
|||
</li> |
|||
<li>Gradien fungsi skalar ''f'' : ''M''(''n'',''m'') → '''R''' |
|||
:<math> |
|||
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} = |
|||
\begin{bmatrix} |
|||
\frac{\partial f}{\partial X_{1,1}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_{n,1}}\\ |
|||
\vdots & \ddots & \vdots\\ |
|||
\frac{\partial f}{\partial X_{1,m}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_{n,m}}\\ |
|||
\end{bmatrix}. |
|||
</math> |
|||
Perhatikan bahwa urutan indeks gradien terhadap ''X'' terbalik dibandingkan dengan urutan indeks '''X'''. Turunan berarah ''f'' ke arah matriks '''Y''' diberikan oleh |
|||
:<math>\nabla_\mathbf{Y} f = \operatorname{tr} \left(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} \mathbf{Y}\right),</math> |
|||
dengan ''tr'' melambangkan ''[[trace]]'' dari matriks. |
|||
</li> |
|||
<li>Diferensial atau turunan matriks dari fungsi <math>F : M(n,m) \Rightarrow M(p,q)</math> adalah unsur dari <math>M(p,q) \otimes M(m,n)</math>, sebuah [[tensor]] peringkat empat (pembalikan ''m'' dan ''n'' di sini menandakan [[ruang dual]] dari ''M''(''n'',''m'')). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks ''m''×''n'' yang masing-masing entrinya adalah matriks ''p''×''q''. |
|||
:<math>\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}= |
|||
\begin{bmatrix} |
|||
\frac{\partial\mathbf{F}}{\partial X_{1,1}} & \cdots & \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial X_{n,1}}\\ |
|||
\vdots & \ddots & \vdots\\ |
|||
\frac{\partial\mathbf{F}}{\partial X_{1,m}} & \cdots & \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial X_{n,m}}\\ |
|||
\end{bmatrix}, |
|||
</math> |
|||
Catat pula bahwa tiap ∂'''F'''/∂''X''<sub>''i'',''j''</sub> adalah matriks ''p''×''q'' yang didefinisikan seperti di atas. Catat pula bahwa matriks ini memiliki indeks yang dibalikkan: ''m'' baris dan ''n'' kolom. Diferensial sepanjang '''F''' dari sebuah matriks '''Y''' berukuran ''n''×''m'' dalam ''M''(''n'',''m'') adalah |
|||
:<math>d\mathbf{F}(\mathbf{Y}) = \operatorname{tr}\left(\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}\mathbf{Y}\right).</math> |
|||
Definisi ini meliputi semua definisi sebelumnya sebagai kasus khusus. |
|||
</li> |
</li> |
||
</ul> |
</ul> |
Revisi per 29 November 2008 11.42
Kalkulus |
---|
Dalam matematika kalkulus matriks adalah notasi khusus untuk menghitung kalkulus multivariabel (kalkulus peubah banyak), terutama pada ruang matriks. Pada ruang matriks notasi ini mendefinisikan turunan matriks. Notasi ini cocok untuk memerikan sistem persamaan diferensial, dan mengambil turunan dari fungsi matriks terhadap variabel berbentuk matriks pula. Kalkulus matriks umum digunakan dalam statistika dan rekayasa, sedangkan notasi indeks tensor lebih disukai dalam fisika.
Notasi
Misalkan M(n,m) melambangkan ruang matriks riil n x m dengan n baris dan m kolom. Unsur ruang matriks ini dilambangkan sebagai F, X, Y, dan seterusnya. Sebuah unsur M(n,1), yaitu vektor kolom, dilambangkan dengan huruf kecil tebal x, dengan xT melambangkan vektor baris transposnya. Unsur M(1,1) adalah skalar, dan dilambangkan dengan a, b, f, t, dan seterusnya.
Kalkulus vektor
Karena ruang M(n,1) diidentifikasikan dengan ruang Euklides Rn dan M(1,1) diidentifikasikan dengan R, notasi di sini dapat mengakomodasi operasi biasa dalam kalkulus vektor.
- Vektor singgung terhadap kurva x : R → Rn adalah
- Gradien fungsi skalar f : Rn → R
- Diferensial fungsi f : Rm → Rn dideskripsikan oleh matriks Jacobi
Kalkulus matriks
Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks.
- Vektor singgung kurva F : R → M(n,m)
- Gradien fungsi skalar f : M(n,m) → R
- Diferensial atau turunan matriks dari fungsi adalah unsur dari , sebuah tensor peringkat empat (pembalikan m dan n di sini menandakan ruang dual dari M(n,m)). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks m×n yang masing-masing entrinya adalah matriks p×q.
Pranala luar
- (Inggris)Matrix calculus Apendiks dari buku Introduction to Finite Element Methods di University of Colorado at Boulder. Menggunakan definisi Hessian untuk turunan vektor dan matriks.
- (Inggris)Matrix calculus Matrix Reference Manual , Imperial College London.
- (Inggris)Matrix calculus Apendiks untuk to Jon Dattorro, Convex Optimization & Euclidean Distance Geometry. Menggunakan definisi Hessian.
- (Inggris)The Matrix Cookbook, dengan bab turunan. Menggunakan definsi Hessian.