Kalkulus matriks: Perbedaan antara revisi
spam |
k bot kosmetik perubahan |
||
Baris 33: | Baris 33: | ||
</li> |
</li> |
||
<li>[[Diferensial]] fungsi '''f''' : '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup> dideskripsikan |
<li>[[Diferensial]] fungsi '''f''' : '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup> dideskripsikan oleh [[matriks Jacobi]] |
||
:<math> |
:<math> |
||
\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} = |
\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} = |
||
Baris 79: | Baris 79: | ||
</li> |
</li> |
||
<li>Diferensial atau turunan matriks dari fungsi <math>F : M(n,m) \Rightarrow M(p,q)</math> adalah unsur dari |
<li>Diferensial atau turunan matriks dari fungsi <math>F : M(n,m) \Rightarrow M(p,q)</math> adalah unsur dari <math>M(p,q) \otimes M(m,n)</math>, sebuah [[tensor]] peringkat empat (pembalikan ''m'' dan ''n'' di sini menandakan [[ruang dual]] dari ''M''(''n'',''m'')). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks ''m''×''n'' yang masing-masing entrinya adalah matriks ''p''×''q''. |
||
:<math>\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}= |
:<math>\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}= |
||
Baris 89: | Baris 89: | ||
</math> |
</math> |
||
Catat pula bahwa tiap |
Catat pula bahwa tiap ∂'''F'''/∂''X''<sub>''i'',''j''</sub> adalah matriks ''p''×''q'' yang didefinisikan seperti di atas. Catat pula bahwa matriks ini memiliki indeks yang dibalikkan: ''m'' baris dan ''n'' kolom. Diferensial sepanjang '''F''' dari sebuah matriks '''Y''' berukuran ''n''×''m'' dalam ''M''(''n'',''m'') adalah |
||
:<math>d\mathbf{F}(\mathbf{Y}) = \operatorname{tr}\left(\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}\mathbf{Y}\right).</math> |
:<math>d\mathbf{F}(\mathbf{Y}) = \operatorname{tr}\left(\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}\mathbf{Y}\right).</math> |
||
Baris 116: | Baris 116: | ||
== Pranala luar == |
== Pranala luar == |
||
* {{en}}[http://caswww.colorado.edu/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf Matrix calculus] Apendiks dari buku ''Introduction to Finite Element Methods'' di University of Colorado at Boulder. |
* {{en}}[http://caswww.colorado.edu/courses.d/IFEM.d/IFEM.AppD.d/IFEM.AppD.pdf Matrix calculus] Apendiks dari buku ''Introduction to Finite Element Methods'' di University of Colorado at Boulder. Menggunakan definisi Hessian untuk turunan vektor dan matriks. |
||
* {{en}}[http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/calculus.html Matrix calculus] Matrix Reference Manual , Imperial College London. |
* {{en}}[http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/calculus.html Matrix calculus] Matrix Reference Manual , Imperial College London. |
||
* {{en}}[http://matrixcookbook.com The Matrix Cookbook], dengan bab ''turunan''. Menggunakan definsi Hessian. |
* {{en}}[http://matrixcookbook.com The Matrix Cookbook], dengan bab ''turunan''. Menggunakan definsi Hessian. |
Revisi per 22 Juni 2010 07.02
Kalkulus |
---|
Dalam matematika kalkulus matriks adalah notasi khusus untuk menghitung kalkulus multivariabel (kalkulus peubah banyak), terutama pada ruang matriks. Pada ruang matriks notasi ini mendefinisikan turunan matriks. Notasi ini cocok untuk memerikan sistem persamaan diferensial, dan mengambil turunan dari fungsi matriks terhadap variabel berbentuk matriks pula. Kalkulus matriks umum digunakan dalam statistika dan rekayasa, sedangkan notasi indeks tensor lebih disukai dalam fisika.
Notasi
Misalkan M(n,m) melambangkan ruang matriks riil n x m dengan n baris dan m kolom. Unsur ruang matriks ini dilambangkan sebagai F, X, Y, dan seterusnya. Sebuah unsur M(n,1), yaitu vektor kolom, dilambangkan dengan huruf kecil tebal x, dengan xT melambangkan vektor baris transposnya. Unsur M(1,1) adalah skalar, dan dilambangkan dengan a, b, f, t, dan seterusnya.
Kalkulus vektor
Karena ruang M(n,1) diidentifikasikan dengan ruang Euklides Rn dan M(1,1) diidentifikasikan dengan R, notasi di sini dapat mengakomodasi operasi biasa dalam kalkulus vektor.
- Vektor singgung terhadap kurva x : R → Rn adalah
- Gradien fungsi skalar f : Rn → R
- Diferensial fungsi f : Rm → Rn dideskripsikan oleh matriks Jacobi
Kalkulus matriks
Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks.
- Vektor singgung kurva F : R → M(n,m)
- Gradien fungsi skalar f : M(n,m) → R
- Diferensial atau turunan matriks dari fungsi adalah unsur dari , sebuah tensor peringkat empat (pembalikan m dan n di sini menandakan ruang dual dari M(n,m)). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks m×n yang masing-masing entrinya adalah matriks p×q.
Persamaan identitas
Perkalian matriks tidak komutatif, karena itu agar identitas berikut berlaku, urutan perkalian tidak boleh diubah.
- Kaidah rantai: Bila Z adalah fungsi dari Y, yang pada gilirannya adalah fungsi dari X
- Kaidah darab:
Pranala luar
- (Inggris)Matrix calculus Apendiks dari buku Introduction to Finite Element Methods di University of Colorado at Boulder. Menggunakan definisi Hessian untuk turunan vektor dan matriks.
- (Inggris)Matrix calculus Matrix Reference Manual , Imperial College London.
- (Inggris)The Matrix Cookbook, dengan bab turunan. Menggunakan definsi Hessian.