Aljabar linear: Perbedaan antara revisi
Baris 477: | Baris 477: | ||
Vektor di dalam n-Ruang |
Vektor di dalam n-Ruang |
||
Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real ( |
Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a<sub>1</sub>.a<sub>2</sub>.....a<sub>n</sub>). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn. |
||
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istialh grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini. |
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istialh grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini. |
||
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari ( |
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a<sub>2</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ...., a<sub>n</sub>) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5. |
||
<br><center> |
<br><center><b> |
||
u<sub>1</sub> = v<sub>1</sub> u<sub>2</sub> = v<sub>2</sub> u<sub>n</sub> = v<sub>n</sub> </br></center> |
|||
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh |
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh |
||
<br><center> |
<br><center></b> |
||
u + v = (u<sub>1</sub> + v<sub>2</sub>, u<sub>2</sub> + v<sub>2</sub>, ...., u<sub>n</sub> + v<sub>n</sub>) </br></center> |
|||
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh |
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh |
Revisi per 2 Juli 2006 14.47
Aljabar linier adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linier dan solusinya, vektor, serta transformasi linier. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linier.
Persamaan Linier & Matriks
Persamaan linier dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
- 3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5
- x1 − 5x2 + 2x3 = 7
- 2x1 + x2 − 3x3 = 9
dapat dinyatakan dalam augmented matrix sebagai berikut
Untuk menyelesaikan persamaan linier diatas dalam bentuk matriks, ada beberapa cara, yaitu dengan Gaussian Elimination atau dapat juga dengan cara Gauss-Jordan Elimination. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan Gaussian Elimination untuk mengubah bentuk augmented matrix ke dalam bentuk row-echelon tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan subtitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
- a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
- a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
- am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.
Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
Bentuk Row-Echelon
Matriks dapat dikatakan Row-Echelon apabila memenuhi persyaratan berikut :
- 1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
- 2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
- 3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
- 4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Reduced Row-Echelon
Contoh: syarat 1: baris pertama disebut leading 1
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Reduced Row-Echelon
Operasi Gaussian Elimination
Gauss Elimination adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Row-Echelon. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam augmented matriks dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Row-Echelon, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Row-Echelon)
Maka mendapatkan 3 persamaan linear baru yaitu
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
Jadi nilai dari , ,dan
Operasi Gauss-Jordan Elimination
Gauss-Jordan Elimination adalah pengembangan dari Gauss Elimination yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari Gauss Elimination sehingga menghasilkan matriks yang Reduced Row-Echelon. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam augmented matriks dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Reduced Row-Echelon, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Contoh: Diketahui persamaan linear
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi "Reduced Row-Echelon")
Maka didapatkan nilai dari , ,dan
Operasi Dalam Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
- a.) A + B = B + A
- b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
- c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj
Matrix Diagonal, Triangular, dan Matrix simetris
Matrix Diagonal
Sebuah matrix kotak yang mana angka-angkanya berada di garis diagonal utama dari matrix dan angka lainnya adalah nol disebut dengan Matrix Diagonal. contoh :
secara umum matrix n x n bisa ditulis sebagai
Matrix diagonal dapat di inverse dengan menggunakan rumus ini :
=
jika D adalah matrix diagonal dan k adalah angka yang positif maka
=
Contoh :
A=
maka
=
Matrix Segitiga
Matrix segitiga adalah matrix persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matrix segitiga bawah adalah matrix persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matrix segitiga atas adalah matrix persegi yang di atas garis diagonal utama nol.
Matrix segitiga
Matrix segitiga bawah
Determinan
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matrik A2x2
- A = tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
- detA = ad - bc
Determinan dengan Minor dan kofaktor
- A = tentukan determinan A
Pertama buat minor dari a11
- M11 = = detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
- c11 = (a11)1+1M11 = (a11)1+1a22a33 x a23a32
Begitu juga dengan minor dari a32
- M32 = = detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah
- c32 = (a32)3+2M32 = (a32)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
- det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
Misalkan ada sebuah matrik A3x3
- A =
maka determinan dari matrik tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
- det(A) = a11 - a12 + a13
- = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
- = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
- det(A) = a11 - a12 + a13
Contoh Soal:
- A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor
Jawab:
- det(A) = = 1 - 2 + 3 = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8
Mencari determinan dengan cara Sarrus
- A = tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
- detA = (aei + bfg + edh) - (bdi + afh + ceg)
Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3
- A =
kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
menjadi matrix kofaktor
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehingga menjadi
- adj(A) =
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
Vektor dalam Ruang Euclidean
Euclidan n-Space
Vektor di dalam n-Ruang
Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istialh grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a1, a2, a3 merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2, ...., an) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vector
Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh
Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh
atau, dalam istilah komponen,
Perkalian dot product didefinisikan sebagai