Aljabar linear

Aljabar linier adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linier dan solusinya, vektor, serta transformasi linier. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linier.

Persamaan Linier & Matriks

Persamaan linier dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3x₁ + 4x₂ − 2 x₃ = 5

x₁ − 5x₂ + 2x₃ = 7

2x₁ + x₂ − 3x₃ = 9

dapat dinyatakan dalam augmented matrix sebagai berikut

${\begin{bmatrix}3&4&-2&5\\1&-5&2&7\\2&1&-3&9\\\end{bmatrix}}$

Untuk menyelesaikan persamaan linier diatas dalam bentuk matriks, ada beberapa cara, yaitu dengan Gaussian Elimination atau dapat juga dengan cara Gauss-Jordan Elimination. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan Gaussian Elimination untuk mengubah bentuk augmented matrix ke dalam bentuk row-echelon tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan subtitusi balik.

Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = 0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = 0

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = 0

Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x₁ = 0 , x₂ = 0 , ... , x_n = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks

---

Bentuk Row-Echelon

Matriks dapat dikatakan Row-Echelon apabila memenuhi persyaratan berikut :

1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).

2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.

3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.

4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Reduced Row-Echelon

Contoh: syarat 1: baris pertama disebut leading 1

${\begin{bmatrix}1&4&-2&5\\0&-5&2&7\\0&0&-3&9\\0&0&-8&8\\\end{bmatrix}}$

syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

${\begin{bmatrix}1&4&-2&5\\0&-5&2&7\\0&0&-3&9\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}$

syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

${\begin{bmatrix}1&4&-2&5\\0&1&2&7\\0&0&-3&9\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}$

syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Reduced Row-Echelon

${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&2&5\\0&0&3&0\\0&0&0&6\\\end{bmatrix}}$

Operasi Gaussian Elimination

Gauss Elimination adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Row-Echelon. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam augmented matriks dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Row-Echelon, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

$x+2y+z=6$

$x+3y+2z=9$

$2x+y+2z=12$

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks: ${\begin{bmatrix}1&2&1&6\\1&3&2&9\\2&1&2&12\\\end{bmatrix}}$

Operasikan Matriks tersebut

${\begin{bmatrix}1&2&1&6\\0&1&1&3\\2&1&2&12\\\end{bmatrix}}$ Baris ke 2 dikurangi baris ke 1

${\begin{bmatrix}1&2&1&6\\0&1&1&3\\0&-3&0&0\\\end{bmatrix}}$ Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

${\begin{bmatrix}1&2&1&6\\0&1&1&3\\0&0&3&9\\\end{bmatrix}}$ Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2

${\begin{bmatrix}1&2&1&6\\0&1&1&3\\0&0&1&3\\\end{bmatrix}}$ Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Row-Echelon)

Maka mendapatkan 3 persamaan linear baru yaitu

$x+2y+z=6$

$y+z=3$

$z=3$

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

$y+z=3$

$y+3=3$

$y=0$

$x+2y+z=6$

$x+0+3=6$

$x=3$

Jadi nilai dari $x=3$ , $y=0$ ,dan $z=3$

Operasi Gauss-Jordan Elimination

Gauss-Jordan Elimination adalah pengembangan dari Gauss Elimination yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari Gauss Elimination sehingga menghasilkan matriks yang Reduced Row-Echelon. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam augmented matriks dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Reduced Row-Echelon, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

Contoh: Diketahui persamaan linear

$x+2y+3z=3$

$2x+3y+2z=3$

$2x+y+2z=5$

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks: ${\begin{bmatrix}1&2&3&3\\2&3&2&3\\2&1&2&5\\\end{bmatrix}}$

Operasikan Matriks tersebut

${\begin{bmatrix}1&2&3&3\\0&-1&-4&-3\\2&1&2&5\\\end{bmatrix}}$ Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1

${\begin{bmatrix}1&2&3&3\\0&-1&-4&-3\\0&-3&-4&-1\\\end{bmatrix}}$ Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

${\begin{bmatrix}1&2&3&3\\0&-1&-4&-3\\0&0&8&8\\\end{bmatrix}}$ Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2

${\begin{bmatrix}1&2&3&3\\0&1&4&3\\0&0&1&1\\\end{bmatrix}}$ Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1

${\begin{bmatrix}1&2&3&3\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\\\end{bmatrix}}$ Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3

${\begin{bmatrix}1&2&0&0\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\\\end{bmatrix}}$ Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3

${\begin{bmatrix}1&0&0&2\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\\\end{bmatrix}}$ Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi "Reduced Row-Echelon")

Maka didapatkan nilai dari $x=2$ , $y=-1$ ,dan $z=1$

Operasi Dalam Matriks

---

Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.

Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :

a.) A + B = B + A

b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar

Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ c_ij ] berordo m x n dimana c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + ... + a_ip b_pj

Matrix Diagonal, Triangular, dan Matrix simetris

---

Matrix Diagonal

Sebuah matrix kotak yang mana angka-angkanya berada di garis diagonal utama dari matrix dan angka lainnya adalah nol disebut dengan Matrix Diagonal. contoh :

${\begin{bmatrix}1&0\\0&-5\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-5&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

secara umum matrix n x n bisa ditulis sebagai

${\begin{bmatrix}d_{1}&0&\cdots &0\\0&d_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &d_{n}\\\end{bmatrix}}$

Matrix diagonal dapat di inverse dengan menggunakan rumus ini :

$D^{-1}$=${\begin{bmatrix}1/d_{1}&0&\cdots &0\\0&1/d_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &1/d_{n}\\\end{bmatrix}}$

$DD^{-1}=D^{-1}D=I$

jika D adalah matrix diagonal dan k adalah angka yang positif maka

$D^{k}$=${\begin{bmatrix}d_{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&d_{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &d_{n}^{k}\\\end{bmatrix}}$

Contoh :

A=${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-3&0\\0&0&2\\\end{bmatrix}}$

maka

$A^{5}$=${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-243&0\\0&0&32\\\end{bmatrix}}$

Matrix Segitiga

Matrix segitiga adalah matrix persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matrix segitiga bawah adalah matrix persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matrix segitiga atas adalah matrix persegi yang di atas garis diagonal utama nol.

Matrix segitiga

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\\\end{bmatrix}}$

Matrix segitiga bawah

${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\a_{21}&a_{22}&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{bmatrix}}$

Determinan

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matrik A_2x2

A = ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}$ tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad - bc

Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$ tentukan determinan A

Pertama buat minor dari a₁₁

M₁₁ = ${\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$ = detM = a₂₂a₃₃ x a₂₃a₃₂

Kemudian kofaktor dari a₁₁ adalah

c₁₁ = (a₁₁)¹⁺¹M₁₁ = (a₁₁)¹⁺¹a₂₂a₃₃ x a₂₃a₃₂

Begitu juga dengan minor dari a₃₂

M₃₂ = ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\\\end{bmatrix}}$ = detM = a₁₁a₂₃ x a₁₃a₂₁

Maka kofaktor dari a₃₂ adalah

c₃₂ = (a₃₂)³⁺²M₃₂ = (a₃₂)³⁺² x a₁₁a₂₃ x a₁₃a₂₁

Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah

det(A) = a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matrik A_3x3

A = ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$

maka determinan dari matrik tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a₁₁${\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$ - a₁₂${\begin{bmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$ + a₁₃${\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{bmatrix}}$

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

Contoh Soal:

A = ${\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}$ tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor

Jawab:

det(A) = ${\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}$ = 1${\begin{bmatrix}5&4\\2&1\\\end{bmatrix}}$ - 2${\begin{bmatrix}4&4\\3&1\\\end{bmatrix}}$ + 3${\begin{bmatrix}4&5\\3&2\\\end{bmatrix}}$ = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

Mencari determinan dengan cara Sarrus

A = ${\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}$ tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = (aei + bfg + edh) - (bdi + afh + ceg)

Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3

A = ${\begin{bmatrix}3&2&-1\\1&6&3\\2&-4&0\\\end{bmatrix}}$

kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C₁₁ = 12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

menjadi matrix kofaktor

${\begin{bmatrix}12&6&-16\\4&2&16\\12&-10&16\\\end{bmatrix}}$

cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehingga menjadi

adj(A) = ${\begin{bmatrix}12&4&12\\6&2&-10\\-16&16&16\\\end{bmatrix}}$

$A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}adj(A)$

dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A

${\mathit {det(A)=64}}$

$A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}adj(A)={\frac {1}{64}}{\begin{bmatrix}12&4&12\\6&2&-10\\-16&16&16\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {12}{64}}&{\frac {4}{64}}&{\frac {12}{64}}\\{\frac {6}{64}}&{\frac {2}{64}}&-{\frac {10}{64}}\\-{\frac {16}{64}}&{\frac {16}{64}}&{\frac {16}{64}}\\\end{bmatrix}}$

Vektor dalam Ruang Euclidean

Euclidan n-Space

---

Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a₁.a₂.....a_n). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.

Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istialh grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.

Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a₁, a₂, a₃) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a₂, a₂, a₃ merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a₁, a₂, a₃ merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a₁, a₂, ...., a_n) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.

u₁ = v₁ u₂ = v₂ u_n = v_n

Penjumlahan u + v didefinisikan oleh

u + v = (u₁ + v₂, u₂ + v₂, ...., u_n + v_n)

Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh

ku = (k u1, k u2,...,k un)

Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vector

0 = (0, 0,...., 0)

Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh

-u = (-u1, -u2, ...., -un)

Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh

v – u = v + (-u)

atau, dalam istilah komponen,

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle v – u = (v1-u1, v2-u2, ....,vn-un) } v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)

Perkalian dot product $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v}$ didefinisikan sebagai

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\cdots +u_{n}v_{n}$